届天津市部分区高三上学期期末数学试题解析版0612185555.docx
《届天津市部分区高三上学期期末数学试题解析版0612185555.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《届天津市部分区高三上学期期末数学试题解析版0612185555.docx（32页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
届天津市部分区高三上学期期末数学试题解析版0612185555
2020届天津市部分区高三上学期期末数学试题
、单选题
1.设全集U{1,2,3,
4,5,6,7,8}，集合A{2,3,
4,
6}，
B{1，4,7,
8}，则A（CuB）（
A.{4}
B.
{2,3,6}
C.{2,3,7}
D.
{2,3,4,7}
【答案】B
【解析】先求出CuB再与A取交集，即可得到答案
【详解】
因为CuB{235,6},A{2,3,4,6},
所以A（CuB）{2,3,6}.
故选：
B.
【点睛】
本题考查集合的交、补运算，考查基本运算求解能力，属于基础题
2.抛物线y2
4x的准线方程为（
A.X
b.y1
C.X1
D.
【答案】
【解析】
利用
2px的准线方程为
2，能求出抛物线
4x的准线方程•
【详解】
2
Qy4x,2p
4,p2,
抛物线y24X的准线方程为X
即X1，故选A.
【点睛】
本题主要考查抛物线的标准方程与简单性质,
意在考查对基础知识的掌握与应用，是基
础题•
3.设xR，则“x22x0”是“x
2”的（）
A.充分不必要条件
B.充要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
分别解两个不等式得到集合
A,
B，再利用集合间的关系，即可得到答案
【详解】
解不等式
x22x0得；A{x|0
x
2},
解不等式
x12得：
B{x|1
x
3},
因为A是B的真子集，
所以“x22x0”是“|x12”的充分不必要条件.
故选：
A.
【点睛】
本题考查简易逻辑中的充分条件与必要条件，求解时要转化成集合间的关系进行判断，
能使求解过程更清晰、明了•
4•直线xy10与圆x2（y1）24相交于A、B，则弦AB的长度为（）
A..2B.2\2C.2D.4
【答案】B
【解析】先求圆心到直线的距离d，再利用弦长公式，即可求得答案.
【详解】
圆心到直线的距离d|0111、、2,
V2
所以|AB|2.r2d22、、厂222.
故选：
B.
【点睛】
本题考查直线与圆相交弦的求解，考查基本运算求解能力，属于基础题.
5.已知数列｛an｝中，a11,2an1a.（nN*），记｛a.｝的前n项和为Sn,则（）
A.Sn2an1B.Sn12anC.Snan2D.Sn2务
【答案】D
【解析】根据递推关系求得等比数列｛an｝的通项公式，再求出前n项和为Sn，化简可
得Sn2an.
【详解】
Q2an1an（nN）,
an11
云2，
数列｛an｝是以1为首项,
anG）n1
2
Sn
1
—为公比的等比数列,
2
1
更
1丄
2
2“12an.
故选：
D.
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式与前
n项和公式，考查基本量运算,
求解时要注意通过化
简找到Sn与an的关系.
已知偶函数f（x）在区间（
，1）上单调递增,
In3，b
log?
1,c砸订，
325
【答案】
所以
f（x）在区间（1,
）上单调递减.
因为
Iog3elog32
log3e
log32
ln3log23，即1ab2,
f（a）,
f（b）,
f（c）的大小关系为（
）
f（a）
f（b）
f（c）
B.f（b）
f（c）
f（a）
f（c）
f（b）
f（a）
D.f（a）
f（c）
f（b）
则
A.
C.
A
【解析】
根据题意得f（x）在区间（1,）上单调递减，利用对数函数的图象与性质可得
C,从而利用函数的单调性可得答案
【详解】因为偶函数f（x）在区间（，1）上单调递增,
因为
所以
所以f（a）f（b）
f（c）.
1
clog1-
25
故选：
A.
【点睛】
本题考查对数函数的图象与性质、函数的奇偶性与单调性，考查数形结合思想的应用和
逻辑推理能力7•将函数f（x）sin2x的图象向右平移—个单位长度后得到函数g（x）的图象，则下
6
列说法正确的是（）
1
a.g（—）2B・g（x）的最小正周期是4
5
c.g（x）在区间［0,］上单调递增D.g（x）在区间［—,—］上单调递减
336
【答案】C
【解析】根据函数的平移变换求出
g（x）的解析式，再一一对照选项验证是否成立
【详解】
函数f（x）sin2x的图象向右平移个单位长度得:
6
g（x）S^x3）.
对A，g（—）sin（
2
-）3，故A错误;
32
对B,最小正周期为，故B错误;
对C,当0x-
3
正确；
32x33，因为（甌）是（?
，2）的子区间，故C
对D,当x—
36
误；
443
32x3IT，（SE）不是口三）的子区间，故D错
故选：
C.
【点睛】
本题考查三角函数的平移变换及三角函数的图象与性质,
能力•
考查数形结合思想和运算求解
22
8.已知双曲线C:
-J
2,2
ab
1（a0,b0）的右焦点为F（、6,0），点P在C的
一条渐近线上，若
PO
PF
（O是原点），且POF的面积为
铉，则C的方程是
4
（）
22
2
2
O2
2
A.Xy
1
B.
x
'1
C.x_y_1
D.—y21
42
2
4
33
5
【答案】A
【解析】根据三角形的面积及PO
PF，求出点p的坐标，再利用点P的坐标求渐
近线的斜率，从而得到b的值，再观察选项，即可得到答案
a
【详解】
因为|P0
PF，所以点P的横坐标等于西，
2
因为POF的面积为L2，设点p在第一象限,
4
所以1；6yp342y今，
242
所以b-I-1-1，只有选项A符合.
a222
故选：
A.
【点睛】本题考查三角形面积公式、双曲线的渐近线、双曲线的标准方程求法，考查基本运算求
K
解能力，求解时只要得到一的值，即可通过代入法选出答案，可减少运算量
a
ln（x2）2x3
9.已知函数f（x）2,若关于x的方程f（x）kx恰有三个
x215x36x3
互不相同的实数解，则实数k的取值范围是（）
A.[3,12]B.（3,12）C.（0,12）D.（0,3）
【答案】D
求出直线与抛
【解析】画出函数f（x）的图象，将问题转化为两个函数图象交点问题,
物线相切时的临界值，再结合图象得到
k的取值范围.
【详解】
函数f（x）的图象如图所示:
15x
2
36得：
x（k15）x36
2
当直线ykx与抛物线相切时，（k15）1440k3或k27,
由于方程f（x）kx恰有三个互不相同的实数解，
所以两个函数的图象恰有三个不同的交点，所以0k3.
故选：
D.
【点睛】
本题以分段函数为载体，考查方程的根与两个函数图象交点的转化关系，考查数形结合
思想的应用，求解时要注意借助函数的图象进行分析求解
二、填空题
10.i是虚数单位，若复数z满足（13i）z4i，则z.
【答案】62i
55
62
【解析】利用复数的除法运算，求得zi.
55
【详解】
4i4i（13i）124i62.
zi.
13i（13i）（13i）1055
故答案为：
62i.
55
【点睛】
本题考查复数的四则运算，考查基本运算求解能力，属于基础题
163
11•（2x—）的展开式中含x3项的系数是（用数字作答）•
x
【答案】192
【解析】根据二项展开式得Tr1C6（2x）6r
（2）r（r0,1L,6），进而得到r1时x
会出现x3项，再计算其系数•
【详解】
Tr1C6r（2x）6r（W）rC626r
（1）rx63r（r0,1,L,6）,
x
当63r3时，即r1,
所以T2C；25
（1）x3192x3.
故答案为：
192.
【点睛】本题考查二项式定理展开式的通项，考查基本运算求解能力，属于基础题
12.已知
43
a0,b0，且a3b1，则的最小值是
ab
【答案】
25
【解析】
利用1的代换，将求式子
3的最小值等价于求（上3）（a3b）的最小值,
bab
再利用基本不等式,
即可求得最小值
【详解】
3
b）（a3b）
12b3a13212b3aab
25,
等号成立当且仅当故答案为：
25.
【点睛】
本题考查1的代换和基本不等式求最值,
考查转化与化归思想的运用,
求解时注意一正、
二定、三等的运用，特别是验证等号成立这一条件
ABC是边长为3的
13.已知半径为2的球的球面上有A、B、C、D不同的四点,
等边三角形，且DO平面ABC（O为球心，D与0在平面ABC的同一侧），则三棱
锥DABC的体积为.
【答案】
【解析】
答案•
【详解】
93
4
作出三棱锥内接于球的图形，再求出三棱锥的高，最后代入体积公式即可得到
如图所示，点E为ABC的中心，则BE—AC2乙,
23
0B2，所以OEOB2BE2/T~31，
111239.3
所以VSabcDE（一3）3.
33224
故答案为：
1J.
4
【点睛】
2
bn
anan1
1（n
N），则数列｛bn｝的前n项和Sn
【答案】2n
2n23n
2n1
本题考查三棱锥与球的内接问题、体积的求法，考查空间想象能力和运算求解能力,确画出图形求出三棱锥的高是解题的关键
;若
14•设｛an｝是等差数列，若a59,a2a?
16，则a.
再利用分组求和法及裂项相消法求
Sn.
1
2n1
【解析】利用等差数列通项公式求得a1,d，进而求得an；求出bn
【详解】
由题意得:
a14d9,
2a7d16,
2,
1,
an
2n1.
因为bn
（2n
1）（2n1）
1
2n1
2n11，
所以b
11
1,b2
11
1,L
bn
13
35
2n1
1
2n2
3n
所以Sn
1
n
2n1
2n
1
故答案为:
2n
1;2n2
3n
2n
1
【点睛】
缶1,
本题考查等差数列通项公式的求解、
分组求和法及及裂项相消法求和,
考查方程思想的
2
r（r0）上四个互不相同的点，若
运用，考查基本运算求解能力，裂项相消求和的关键是对通项进行改写
、.2o
15.设点M、N、P、Q为圆xy
uuiruuuruuur
MPPN0，且（PM
LUUT
PN）
uuu
uuur
PQ2，则PQ
【答案】、、2
…,uuur
【解析】根据MP
UUUT
PN
0得到
MN过圆的圆心0,
再利用向量的加法法则得
uuuuuuuruuu
PMPN2P0
，由向量数量积的几何意义得到等式
uuu
|PO|cos
1uuu
2|PQ|，最后求
uuu
得|PQ|的值.
【详解】
因为
uuuruuur
MPPN0，所以
uuir
MP
uuurPN，
所以
MN过圆的圆心0,
所以
uuuuuuuruuur
因为
uuur
（PMPN）PQ2P0
UUU
PQ
uur
2|P0|
uuur
|PQ|cos2，
uuuuuu,
PO在PQ向量方向上的投影为:
unr
|PO|cos
1unr
2|PQ|，代入上式得:
uuu2
|PQ|21
2
uuu
PQ
2.
故答案为:
【点睛】
本题考查向量与圆知识的交会、向量的垂直、加法法则、
数量积的几何意义等知识，考
查方程思想的运用，求解时注意向量几何意义的灵活运用，考查逻辑推理能力和运算求
解能力.
三、解答题
16.在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知
2（sinAcosCcosAsinC）sinAsinC.
⑴求证：
a、b、c成等差数列；
2
⑵若c7,C，求b和sin2B的值.
3
【答案】
（1）证明见解析
（2）b5,sin2B
553
98
【解析】
（1）根据两角和的正弦公式、诱导公式得到
2sinBsinAsinC，再利用正
2b7，联立求得b的值；由正
弦定理证得2bac，从而证明结论成立;
（2）利用余弦定理a2b2+ab49,再由
（1）a
弦定理求得sinB，再利用倍角公式求得sin2B的值.
【详解】
（1）因为2sinAcosCcosAsinCsinAsinC,
所以2sinACsinAsinC.
由于在ABC中，A+C=
B，所以sinACsinB，
所以2sinBsinAsinC.
由正弦定理芒-—，得2bac.
sinAsinBsinC
所以a,b,c成等差数列.
（2）在ABC中，c7,C
由余弦定理，得72a2b2
2abcos—
3，
即a2b2+ab49.
由
（1）知a2b7，
所以
2b
22
7b2+2b
7b49，解得b5.
由正弦定理，得sinB
bsin2-
3
c
5、3.
14
2
在ABC中，因为于C=—，所以B
3
0,2，
所以cosB
1sin2B
15勺
14
11
14
所以sin2B
2sinBcosB55l3
98
【点睛】
考查方程思想的运用和运算求
本题考查三角恒等变换、正弦定理、余弦定理解三角形,解能力，求cosB的值时，注意角B0,—这一条件的应用.
2
17•每年的12月4日为我国“法制宣传日’.天津市某高中团委在2019年12月4日开
展了以“学法、遵法、守法”为主题的学习活动.已知该学校高一、高二、高三的学生
人数分别是480人、360人、360人.为检查该学校组织学生学习的效果，现采用分层抽
样的方法从该校全体学生中选取10名学生进行问卷测试.具体要求：
每位被选中的学生
要从10个有关法律、法规的问题中随机抽出4个问题进行作答，所抽取的4个问题全
部答对的学生将在全校给予表彰⑴求各个年级应选取的学生人数；
⑵若从被选取的10名学生中任选3人，求这3名学生分别来自三个年级的概率；
⑶若被选取的10人中的某学生能答对10道题中的7道题，另外3道题回答不对，记X表示该名学生答对问题的个数，求随机变量X的分布列及数学期望•
【答案】
（1）高一年级应选取4人，高二年级应选取3人，高三年级应选取3人.
（2）
3
—（3）详见解析
10
【解析】
（1）利用分层抽样求得各年级应抽取的人数；
3
（2）利用计算原理求得基本事件的总数为Cw，再求出所求事件的基本事件数，再代
k4
C7C3
k
入古典概型概率计算公式;
（3）随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4，利用超几何分计算PXk
（k1.2.3.4），最后求得期望值•
【详解】
（1）由题意，知高一、高二、高三年级的人数之比为4:
3:
3，由于采用分层抽样方法
从中选取10人，因此，高一年级应选取4人，高二年级应选取3人，高三年级应选取3人.
（2）由
（1）知，被选取的10名学生高一、高二、高三年级分别有4人、3人、3人，所以，从这10名学生任选3名，且3名学生分别来自三个年级的概率为
c4Qc33
3・
C1010
（3）由题意知，随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4，
且X服从超几何分布,
k4k
C7C3
Cw
（k1,2,3,4）
所以，随机变量X的分布列为
X
1
2
3
4
1
3
1
1
P
—
—
—
—
30
10
2
6
所以，随机变量X的数学期望为
1丄2—3141
301026
14
5
【点睛】
本题考查统计中的分层抽样、古典概型、超几何分布，考查统计与概率思想的应用，考
查数据处理能力，求解的关键是确定随机变量的概率模型18•如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，P、O分别为AC、AG的中点,
⑴求证：
PO平面A1B1C1；
⑵求二面角B1PA1C1的正弦值；
uuuu
⑶已知H为棱BiG上的点，若B1H
【答案】
（1）证明见解析
（2）二
5
1uuuu
B1C1，求线段PH的长度.
3
（3）22
【解析】
（1）证明POAG,PO
OB1，再根据AGIOB1O，从而得到线面垂
直的证明;
（2）以点O为坐标原点，分别以OA1,OB1,0岁的方向为x,y,z轴的正方向，利用向
量法求得二面角的余弦值，再利用同角三角函数的基本关系求得正弦值;
（3）结合
（2）中G2,0,0，求得点H
2442uuur
-,,0，再求PH的值，从而求得
33
PAPC12y[2,AB1B1C1PB12/3,AG4.
线段PH的长度.
【详解】
（1）在三角形PA|G中，PaiPC1且O为AG的中点,
）0
在RtPAO中，AO2A1Ci2,PA2.2,PO、—2.
连接OB!
，在ABQ中，A1B1=BC123,OBA®
所以OBAiBl2AO22伍.
又PB12、、3，所以PB；PO2OBi2，所以POOBi.②
又因为AiC1IOB1O,③
由①②③，得PO平面A1B1C1.
_一一uuuuuuunu
（2）以点O为坐标原点，分别以OA1,OB1,OP的方向为x,y,z轴的正方向，建立如
图所示的空间直角坐标系Oxyz，
则O0,0,0，A2,0,0
B10,2&,0,P0,0,2，
UUULTUULT
所以AB1二2,2.2,0,AP二2,0,2
T
设nx,y,z为平面PAE的法向量,
vuuuv
nAB0,则有vuuu/即
nAP0.
2x2&y0,
2x2z0.
令x=1,得y冬所以n
z1.
10
1,2,1
UULT「
易得，OB^0,2、、2,0且为平面PAG的法向量,
TUULT
所以ngOB1
HiUUUT
2,nOB1
2=5,
tTuuuq
所以cos：
；.n,OB1]
TUULT
ngOBtrUuu1
nOB1
故所求二面角B1
PA
Ci的正弦值为
2*5
~5
（3）由
（2）知G2,0,0.
设点H
uuuu
凶』1忆，则B1H
X1,V12、2,Z1
uuuur
uuuur
1uujur
B1G,
3
又B1C1
2,2、一2,0,B1H
所以X1
—1
V12、2,Z132,
2,2,0，从而
2
3,
2、2
0.
2.2
~T
即点
所以
uuirPH
24^22
2.
33
所以
unr
PH
4.2
【点睛】
2,2-
本题考查线面垂直的判定定理、
向量法求空间角及空间中线段的长度,
考查空间想象能
力和运算求解能力，求解时注意空间直角坐标系建立的适当性
19•设椭圆
X2V2
221（ab0）的左、右焦点分别为F1（
ab
c，0）、F2（c,O），点P
在椭圆上,
⑴若PO
C，F2OP3，求椭圆的离心率;
⑵若椭圆的右顶点为
A，短轴长为2,
1
且满足
率）.
①求椭圆的方程;
②设直线I:
ykx
2与椭圆相交于
【答案】
（1）.31
of2
P、Q两点，若
.7
2
OA
3|F料心为椭圆的离心
POQ的面积为1，求实数k的
【解析】
（1）由题意得PFiPF?
，利用勾股定理得PFiJ3c,再利用椭圆的定义
得到a,c的关系，从而求得离心率；
1
（2）①由of
kJr2
1e
得2
OA3|f2a|，得c
3b2，求出a,b,c后，即可得到椭圆的方程;
②设点Pxi,yi,QX2,y2，将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求
得PQ关于k的解析式，再由点到直线的距离公式，得到面积SPOQ4胡丫3，从
4k21
而求得k的值.
【详解】
（1）连接PFi.因为OPOF?
c,F2OP
所以POF2是等边三角形，所以PF2c,PF2O
又OPOF2OF1，所以PF1PF2,所以PF1
是，有2aPF
PF2
.31c，
所以e3
a431
1，即所求椭圆的离心率为
（2）①由
e
3F2A
1
，得—
c
整理，得c23b2.
又因为2b2，所以b
1，c2
3,a2
b2
c24.
2
故所求椭圆的方程为—
4
y21.
②依题意，设点P捲，％
QX2,y2.
ykx2,
联立方程组x22
Ty1.
消去y，并整理得4k21
x216kx12
0.
则256k2484k21
164k23
0，（）
且xx?
16k
12
所以
PQ
又点
所以
因为
.rv
x1x2
O到直线l的距离为d
SPOQ
SPOQ
4k21，
.1k2■x1x2
2
厂k2，
4%x2
41k2
升级会员 