题型锐角三角函数的实际应用.docx

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题型锐角三角函数的实际应用

二、解答题重难点突破

题型三　锐角三角函数的实际应用

针对演练

仰角、俯角问题

1．某数学课外活动小组利用课余时间，测量了安装在一幢楼房顶部的公益广告牌的高度.如图，矩形CDEF为公益广告牌，CD为公益广告牌的高，DM为楼房的高，且C、Ｄ、M三点共线．在楼房的侧面Ａ处，测得点C与点D的仰角分别为4５°和37.3°，BM＝１5米.根据以上测得的相关数据,求这个广告牌的高（CD的长）．（结果精确到0.1米，参考数据：

sin３7.3°≈0.６0６0,cos37.3°≈0.７95５，taｎ37.3°≈0.7618）

第1题图

2.（2014潍坊）如图,某海域有两个海拔均为200米的海岛A和海岛B，一勘测飞机在距离海平面垂直高度为１１００米的空中飞行,飞行到点C处时测得正前方一海岛顶端Ａ的俯角是4５°，然后沿平行于ＡＢ的方向水平飞行1.９9×１04米到达点D处,在Ｄ处测得正前方另一海岛顶端B的俯角是60°，求两海岛间的距离AＢ.

第2题图

3.（2015丹东10分）如图，线段AB,CD表示甲、乙两幢居民楼的高,两楼间的距离BD是60米.某人站在A处测得Ｃ点的俯角为37°，D点的俯角为4８°（人的身高忽略不计）,求乙楼的高度CD.（参考数据：

siｎ3７°≈

tａn37°≈

sｉn48°≈,ｔan48°≈

）

第3题图

4.如图，在电线杆上的Ｃ处引拉线CE,CF固定电线杆，拉线CE和地面成57．5°角,在离电线杆6米处安置测角仪AＢ,在A处测得电线杆上C处的仰角为３0°.已知测角仪AB的高为１.5米,求拉线ＣE的长.（结果精确到0.0１米,参考数据：

sin５7.5°≈0.843，coｓ57．５°≈0.5３７,tａｎ57.５°≈1．５7０，≈１.732，

≈1.414）

第4题图

5.　（2015本溪12分）张老师利用休息时间组织学生测量山坡上一棵大树CＤ的高度，如图，山坡与水平面成30°角（即∠MAＮ=30°）,在山坡底部A处测得大树顶端点C的仰角为45°,沿坡面前进20米，到达B处,又测得树顶端点C的仰角为60°（图中各点均在同一平面内），求这棵大树ＣD的高度.（结果精确到0．1米，参考数据:

≈1.732）

第5题图

6.如图,某飞机于空中探测某座山的高度,在点Ａ处飞机的飞行高度是AF＝3700米,从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°,飞机继续以相同的高度飞行３00米到B处,此时观测目标C的俯角是50°,求这座山的高度ＣＤ.（参考数据:

ｓin50°≈０．77,cos50°≈0.６４，taｎ５０°≈1.20）

第6题图

坡度、坡角问题

7.如图,水坝的横断面是梯形，背水坡ＡB的坡角∠BAＥ＝45°,坝高ＢＥ=20米．汛期来临,为加大水坝的防洪强度，将坝底从A处向后水平延伸到F处,使新的背水坡BF的坡角∠Ｆ=30°，求ＡF的长度.（结果精确到１米，参考数据：

≈1.4１4,≈1.7３2）

第7题图

8．（２0１4山西）如图,点A、B、Ｃ表示某旅游景区三个缆车站的位置,线段AB，ＢC表示连接缆车站的钢缆,已知A，Ｂ，Ｃ三点在同一铅直平面内,它们的海拔高度AA′，BB′，CＣ′分别为110米,３１０米,7１0米，钢缆AB的坡度i1=1∶2，钢缆ＢＣ的坡度ｉ２＝1∶1,景区因改造缆车线路,需要从A到C直线架设一条钢缆,那么钢缆AC的长度是多少米？

（注：

坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）

第8题图

测量问题

9.（2015云南6分）为解决江北学校学生上学过河难的问题，乡政府决定修建一座桥.建桥过程中需测量河的宽度（即两平行河岸AＢ与MN之间的

距离）.在测量时,选定河对岸MN上的点C处为桥的一端，在河岸点Ａ处,测得∠ＣAB＝３0°,沿河岸AB前行3０米后到达Ｂ处,在Ｂ处测得∠CBA＝60°．请你根据以上测量数据求出河的宽度．（参考数据:

≈1.41,≈1.73;结果保留整数）

第9题图

１0.（2015遵义8分）如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图.已知BＣ=４米,AB＝6米，中间平台宽度ＤE＝１米，EN、DM、ＣB为三根垂直于A

B的支柱,垂足分别为N、M、B,∠EAＢ＝31°,DF⊥BC于F,∠ＣDF=45°.求ＤM和BＣ的水平距离BM的长度.（结果精确到0．1米,参

考数据:

sin31°≈0.52,cos31°≈0．8６,tａｎ31°≈0.6０）

第1０题图

方向角问题

１1.　（20１5镇江6分）某海域有A、B两个港口，B港口在Ａ港口北偏西30°的方向上，距A港口6０海里.有一艘船从A港口出发,沿东北方向行驶一段距离后,到达位于Ｂ港口南偏东７５°方向的C处.求该船与B港口之间的距离即CB

的长（结果保留根号）．

第11题图

1２.　（２0

1５郴州8分）如图,要测量A点到河岸BC的距离，在B点测得Ａ点在Ｂ点的北偏东30°方向上,在C点测得A点在C点的北偏西45°方向上，又测得BＣ=１5０ｍ．求A点到河岸BC的距离．（结果保留整数）（参考数据:

≈1.４1，

≈1．73）

第１2题图

【答案】

针对演练

仰角、俯角问题

１.【思路分析】过点A作AN⊥CM于点N，构造Rｔ△ＡND,在直角三角形中,通过所给的三角函数,建立ＤN的表达式,从而求出CD即可.

解:

如解图,过点Ａ作AN⊥ＣM于点N,则∠CAＮ＝45°，∠DAＮ=3７.3°,

∴CN＝AN=ＢM＝15.

　在Rt△AND中，

DN=15×ｔan37.3°≈１1.43.

∴ＣD＝CN-ＤＮ＝15-11.４3≈3.６.

∴广告牌的高度约为3.6m.

2．　【思路分析】首先,过点A作AE⊥CD于点E,过点B作BＦ⊥CD于点F,易得四边形ABFE为矩形,根据矩形的性质,可得AB=EF，AＥ＝ＢF.由题意可知，AＥ=ＢF=1１00－２0０＝9０0米，CＤ＝1.9９×104米,然后分别在Rｔ△AEC与Rt△BFD中，利用三角函数求得CE与DＦ的长，继而求得两海岛间的距离AＢ.

解:

如解图，

过点A作AE⊥ＣD于点E，过点B作BF⊥CD,交ＣD的延长线于点Ｆ.则四边形ABFＥ为矩形，

∴AB=EF,AＥ＝BF.

由题意可知AＥ＝BF＝110０－200=900（米），CD＝１9９００（米）．

∴在Ｒｔ△AＥC中,∠Ｃ=45°，AE=900（米），

∴ＣE＝=

＝900（米），

在Rt△BＦD中，∠BDF＝60°，BＦ=900（米）,

∴DＦ＝

=＝300（米），

∴AB＝EＦ＝ＣD＋DＦ-CE＝１９900+３00－900=（19000＋300

）米.

答：

两海岛之间的距离AＢ是（19000+

300

）米．

第2题解图

3.【思路分析】本题考查三角函数的实际应用．题中有角度没直角三角形,先考虑过点C向AＢ作垂线CE构造直角三角形,利用正切分别求得AB、AE，最后利用线段和差关系求解即可．

解：

过点C作CE⊥ＡB交AB于点Ｅ　，

则四边形EBDC为矩形，

∴BE=CD，CＥ=BＤ=６0米.（2分）

根据题意可得,

∠ADB＝４8°，∠ACE=３7°．

在Rt△ADB中，taｎ48°＝，

则AB=tan４8°·BD≈×60＝６6（米）；（５分）

在Rt△ＡCE中，ｔａｎ３７°=,

则AE＝tan37°·CＥ≈

×60=45（米），（８分）

∴ＣＤ＝BＥ＝AB－AE=6６-４５＝21（米）,

∴乙楼的高度ＣD为21米.（１0分）

4.【信息梳理】

原题信息

整理后信息

结论

在电线杆上的C处引拉线CE、ＣＦ固定电线杆．拉线CE和地面成57．5°角,在离电线杆6米处安置测角仪AＢ

∠DEC＝57．５°，DB=6米

AM=BＤ＝6米,

AB＝MD＝１.5米，

CM＝ＡＭ·tan３0°,

ＣD＝CM＋MD

在A处测得电线杆上C处的仰角为3０°，已知测角仪AB=1.5米

过点A作AＭ⊥ＣＤ,垂足为Ｍ，∠MAC＝30°

求拉线CE的长

求CE的长

CＥ=

解:

如解图,过点A作AM⊥CD,垂足为M．

∴AM＝ＢD＝6（米）,AB＝MD=1.5（米）.

在Ｒt△ＡCM中,tａn３0°=,

∴CM＝AＭ·ｔaｎ３0°=6×

＝２

米.

∴ＣD=CM+ＭD＝（２

+1.5）米，

在Rt△CＥD中,siｎ57.5°＝，

∴sｉn57.５°=

∴CE≈≈5．89（米）．

答：

拉线CE的长约为5.８9米.

５.解:

如解图，过点B作ＢE⊥CD交ＣD延长线于点E,

∵∠CAＮ=４5°，∠MAN=３０°，

∴∠CAB＝１5°，

∵∠

CBE=6０°,∠DBE=30°,

∴∠CBD=30°，

∵∠CBD=∠ＣAB+∠ＡＣB,

∴∠CAB=∠ACB=15°,

∴AB=BC=２0（米），（3分）

在Rt△BCＥ中，∠CBＥ=6０°，BC＝20（米），

∴ＣＥ＝ＢC·sin∠ＣBE=20×=10

（米），

BＥ=ＢＣ·cos∠CBE＝２0×

＝10（米），（６分）

在Rt△DＢE中，∠DBE＝30°，ＢE=1０（米），

∴DE＝BE·tan∠ＤＢE=10×

＝

（米），（9分）

∴ＣD=CE-DＥ=10

－

=

≈11.５（米）.

答:

这棵大树CD的高度大约为１1.5米.（12分）

6.解:

设EC＝ｘ,

在Ｒｔ△BＣＥ中,tan∠EBC=

，

则BＥ=

＝

≈

x（米）,

在Rｔ△ＡCE中，tａn∠EAC=

则ＡE＝

＝＝x（米）,

∵ＡB＋BE=ＡE，

∴３00+x=x,

解得:

x=1８００（米），

∴这座山的高度CD=ＤE-EＣ=AF-CE=370０－1８00=190０（米）．

答：

这座山的高度是190０米.

坡度、坡角问题

7.解:

∵在Ｒt△ABＥ中，∠BＡＥ=45°,坝高BＥ=２0米,

∴AE＝BE=20米,

在Ｒt△ＢEF中,BＥ＝20，∠F＝30°，

∴EF==20（米）.

∴ＡF＝EF－AE＝20

-2０≈15（米）．

即AF的长约为1５米．

８.【思路分析】对于解直角三角形的实际应用问题，首先要考虑把要求的线段和已知线段、角放到直角三角形中求

解．如解图,过点Ａ作

AE⊥ＣＣ′于点E,交BＢ′于点Ｆ，过点B作BD⊥CC′于点Ｄ．分别在Rt△AＦB和Rt△BＤＣ中根据坡度求得ＡＦ，BD的长度，再在Ｒt

△AEC中，根据勾股定理求得ＡC的长度.

解:

如解

图,过点A作AE⊥CＣ′于点E，交BＢ′于点Ｆ，过点B作BD⊥CＣ′于点D.

则△AFB，△BDC和△AEC都是直角三角形,四边形ＡA′B′F,BＢ′C′D和BFED都是矩形．

∴BＦ=BB′-ＦＢ′＝ＢＢ′－AＡ′＝3１0－11０=20０（米），

∴CＤ=CC′－DC′＝CC′-BＢ′=71０-310=400（米）.

∵i1＝1∶2，i2=１∶1，∴AF=2ＢF=４0０（米），BD=ＣＤ=40０（米）.

又∵FＥ＝BD＝400（米）,ＤE＝BF=200（米）.

∴AＥ＝AF＋FE=80０（米）,

∴ＣE=ＣD+DE=600（米）.

∴在Rt△ＡEC中，AＣ=

＝=1００0（米）.

答：

钢缆ＡC的长度为1000米．

测量问题

9.【信息梳理】

原题信息

整理后的信息

一

选定河对岸MN上的点Ｃ处为桥的一端，在河岸点A处，测得∠CAＢ＝30°

∠CＡB=３0°

二

沿河岸ＡB前行３0米后到达Ｂ处

AＢ＝3０米

三

在B处测得∠ＣBA=60°

∠CBＡ＝６0°

四

求出河的宽度

过点C作CD⊥AＢ于点D，则求CD的长度