上海市中考数学模拟冲刺2.docx
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上海市中考数学模拟冲刺2
2016年上海市中考数学真题
一、选择题：
本大题共6小题，每小题4分，共24分
1．（4分）（2016•上海）如果a与3互为倒数，那么a是（ ）
A．﹣3B．3C．﹣D．
【考点】倒数．
【解答】解：
由a与3互为倒数，得
a是，
故选：
D．
2．（4分）（2016•上海）下列单项式中，与a2b是同类项的是（ ）
A．2a2bB．a2b2C．ab2D．3ab
【考点】同类项．
【解答】解：
A、2a2b与a2b所含字母相同，且相同字母的指数也相同，是同类项，故本选项正确；
B、a2b2与a2b所含字母相同，但相同字母b的指数不相同，不是同类项，故本选项错误；
C、ab2与a2b所含字母相同，但相同字母a的指数不相同，不是同类项，本选项错误；
D、3ab与a2b所含字母相同，但相同字母a的指数不相同，不是同类项，本选项错误．
故选A．
3．（4分）（2016•上海）如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ）
A．y=（x﹣1）2+2B．y=（x+1）2+2C．y=x2+1D．y=x2+3
【考点】二次函数图象与几何变换．
【解答】解：
∵抛物线y=x2+2向下平移1个单位，
∴抛物线的解析式为y=x2+2﹣1，即y=x2+1．
故选C．
4．（4分）（2016•上海）某校调查了20名男生某一周参加篮球运动的次数，调查结果如表所示，那么这20名男生该周参加篮球运动次数的平均数是（ ）
次数
2
3
4
5
人数
2
2
10
6
A．3次B．次C．4次D．次
【考点】加权平均数．
【解答】解：
（2×2+3×2+4×10+5×6）÷20
=（4+6+40+30）÷20
=80÷20
=4（次）．
答：
这20名男生该周参加篮球运动次数的平均数是4次．
5．（4分）（2016•上海）已知在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，点D在边BC上，设=，=，那么向量用向量、表示为（ ）
A．+B．﹣C．﹣+D．﹣﹣
【考点】*平面向量．
【解答】解：
如图所示：
∵在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，
∴BD=DC，
∵=，
∴=，
∵=，
∴=+=+．
故选：
A．
6．（4分）（2016•上海）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=7，点D在边BC上，CD=3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r的取值范围是（ ）
A．1＜r＜4B．2＜r＜4C．1＜r＜8D．2＜r＜8
【考点】圆与圆的位置关系；点与圆的位置关系．
【解答】解：
连接AD，
∵AC=4，CD=3，∠C=90°，
∴AD=5，
∵⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，
∴r＞5﹣3=2，
∵BC=7，
∴BD=4，
∵点B在⊙D外，
∴r＜4，
∴⊙D的半径长r的取值范围是2＜r＜4，
故选B．
二、填空题：
本大题共12小题，每小题4分，共48分
7．（4分）（2016•上海）计算：
a3÷a= a2 ．
【考点】同底数幂的除法．
【解答】解：
a3÷a=a3﹣1=a2．
故答案为：
a2．
8．（4分）（2016•上海）函数y=的定义域是 x≠2 ．
【考点】函数自变量的取值范围．
【解答】解：
函数y=的定义域是：
x≠2．
故答案为：
x≠2．
9．（4分）（2016•上海）方程=2的解是 x=5 ．
【考点】无理方程．
【解答】解：
方程两边平方得，x﹣1=4，
解得，x=5，
把x=5代入方程，左边=2，右边=2，
左边=右边，
则x=5是原方程的解，
故答案为：
x=5．
10．（4分）（2016•上海）如果a=，b=﹣3，那么代数式2a+b的值为 ﹣2 ．
【考点】代数式求值．
【解答】解：
当a=，b=﹣3时，2a+b=1﹣3=﹣2，
故答案为：
﹣2
11．（4分）（2016•上海）不等式组
的解集是 x＜1 ．
【考点】解一元一次不等式组．
【解答】解：
，
解①得x＜，
解②得x＜1，
则不等式组的解集是x＜1．
故答案是：
x＜1．
12．（4分）（2016•上海）如果关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，那么实数k的值是 ．
【考点】根的判别式；解一元一次方程．
【解答】解：
∵关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，
∴△=（﹣3）2﹣4×1×k=9﹣4k=0，
解得：
k=．
故答案为：
．
13．（4分）（2016•上海）已知反比例函数y=（k≠0），如果在这个函数图象所在的每一个象限内，y的值随着x的值增大而减小，那么k的取值范围是 k＞0 ．
【考点】反比例函数的性质．
【解答】解：
∵反比例函数y=（k≠0），如果在这个函数图象所在的每一个象限内，y的值随着x的值增大而减小，
∴k的取值范围是：
k＞0．
故答案为：
k＞0．
14．（4分）（2016•上海）有一枚材质均匀的正方体骰子，它的六个面上分别有1点、2点、…6点的标记，掷一次骰子，向上的一面出现的点数是3的倍数的概率是 ．
【考点】概率公式．
【解答】解：
掷一次骰子，向上的一面出现的点数是3的倍数的概率==．
故答案为．
15．（4分）（2016•上海）在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，那么△ADE的面积与△ABC的面积的比是 ．
【考点】三角形中位线定理．
【解答】解：
如图，∵AD=DB，AE=EC，
∴DE∥BC．DE=BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
=（）2=，
故答案为．
16．（4分）（2016•上海）今年5月份有关部门对计划去上海迪士尼乐园的部分市民的前往方式进行调查，图1和图2是收集数据后绘制的两幅不完整统计图．根据图中提供的信息，那么本次调查的对象中选择公交前往的人数是 6000 ．
【考点】条形统计图；扇形统计图．
【解答】解：
由题意，得
4800÷40%=12000，
公交12000×50%=6000，
故答案为：
6000．
17．（4分）（2016•上海）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为 208 米．（精确到1米，参考数据：
≈）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【解答】解：
由题意可得：
tan30°===，
解得：
BD=30，
tan60°===，
解得：
DC=90，
故该建筑物的高度为：
BC=BD+DC=120≈208（m），
故答案为：
208．
18．（4分）（2016•上海）如图，矩形ABCD中，BC=2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°，点A、C分别落在点A′、C′处．如果点A′、C′、B在同一条直线上，那么tan∠ABA′的值为
．
【考点】旋转的性质；矩形的性质；锐角三角函数的定义．
【解答】解：
设AB=x，则CD=x，A′C=x+2，
∵AD∥BC，
∴=，即=，
解得，x1=﹣1，x2=﹣﹣1（舍去），
∵AB∥CD，
∴∠ABA′=∠BA′C，
tan∠BA′C==
=
，
∴tan∠ABA′=
，
故答案为：
．
三、解答题：
本大题共7小题，共78分
19．（10分）（2016•上海）计算：
|﹣1|﹣﹣+
．
【考点】实数的运算；负整数指数幂．
【解答】解：
原式=﹣1﹣2﹣2+9=6﹣
20．（10分）（2016•上海）解方程：
﹣
=1．
【考点】分式方程的增根．
【解答】解：
去分母得，x+2﹣4=x2﹣4，
移项、合并同类项得，x2﹣x﹣2=0，
解得x1=2，x2=﹣1，
经检验x=2是增根，舍去；x=﹣1是原方程的根，
所以原方程的根是x=﹣1．
21．（10分）（2016•上海）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D在边AC上，且AD=2CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE，求：
（1）线段BE的长；
（2）∠ECB的余切值．
【考点】解直角三角形；勾股定理．
【解答】解：
（1）∵AD=2CD，AC=3，
∴AD=2，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，
∴∠A=∠B=45°，AB=
=
=3，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，∠ADE=∠A=45°，
∴AE=AD•cos45°=2×=，
∴BE=AB﹣AE=3﹣=2，
即线段BE的长为2；
（2）过点E作EH⊥BC，垂足为点H，如图所示：
∵在Rt△BEH中，∠EHB=90°，∠B=45°，
∴EH=BH=BE•cos45°=2×=2，
∵BC=3，
∴CH=1，
在Rt△CHE中，cot∠ECB==，
即∠ECB的余切值为．
22．（10分）（2016•上海）某物流公司引进A、B两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运5小时，A种机器人于某日0时开始搬运，过了1小时，B种机器人也开始搬运，如图，线段OG表示A种机器人的搬运量yA（千克）与时间x（时）的函数图象，线段EF表示B种机器人的搬运量yB（千克）与时间x（时）的函数图象．根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）求yB关于x的函数解析式；
（2）如果A、B两种机器人连续搬运5个小时，那么B种机器人比A种机器人多搬运了多少千克？
【考点】一次函数的应用．
【解答】解：
（1）设yB关于x的函数解析式为yB=kx+b（k≠0）．
将点（1，0）、（3，180）代入得：
，
解得：
k=90，b=﹣90．
所以yB关于x的函数解析式为yB=90x﹣90（1≤x≤6）．
（2）设yA关于x的解析式为yA=k1x．
根据题意得：
3k1=180．
解得：
k1=60．
所以yA=60x．
当x=5时，yA=60×5=300（千克）；
x=6时，yB=90×6﹣90=450（千克）．
450﹣300=150（千克）．
答：
如果A、B两种机器人各连续搬运5小时，B种机器人比A种机器人多搬运了150千克．
23．（12分）（2016•上海）已知：
如图，⊙O是△ABC的外接圆，=，点D在边BC上，AE∥BC，AE=BD．
（1）求证：
AD=CE；
（2）如果点G在线段DC上（不与点D重合），且AG=AD，求证：
四边形AGCE是平行四边形．
【考点】三角形的外接圆与外心；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；圆心角、弧、弦的关系．
【解答】证明：
（1）在⊙O中，
∵=，
∴AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵AE∥BC，
∴∠EAC=∠ACB，
∴∠B=∠EAC，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（SAS），
∴AD=CE；
（2）连接AO并延长，交边BC于点H，
∵=，OA为半径，
∴AH⊥BC，
∴BH=CH，
∵AD=AG，
∴DH=HG，
∴BH﹣DH=CH﹣GH，即BD=CG，
∵BD=AE，
∴CG=AE，
∵CG∥AE，
∴四边形AGCE是平行四边形．
24．（12分）（2016•上海）如图，抛物线y=ax2+bx﹣5（a≠0）经过点A（4，﹣5），与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=5OB，抛物线的顶点为点D．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）连结AB、BC、CD、DA，求四边形ABCD的面积；
（3）如果点E在y轴的正半轴上，且∠BEO=∠ABC，求点E的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【解答】解：
（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣5与y轴交于点C，
∴C（0，﹣5），
∴OC=5．
∵OC=5OB，
∴OB=1，
又点B在x轴的负半轴上，
∴B（﹣1，0）．
∵抛物线经过点A（4，﹣5）和点B（﹣1，0），
∴
，解得
，
∴这条抛物线的表达式为y=x2﹣4x﹣5．
（2）由y=x2﹣4x﹣5，得顶点D的坐标为（2，﹣9）．
连接AC，
∵点A的坐标是（4，﹣5），点C的坐标是（0，﹣5），
又S△ABC=×4×5=10，S△ACD=×4×4=8，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=18．
（3）过点C作CH⊥AB，垂足为点H．
∵S△ABC=×AB×CH=10，AB=
=5，
∴CH=2，
在RT△BCH中，∠BHC=90°，BC=，BH=
=3，
∴tan∠CBH==．
∵在RT△BOE中，∠BOE=90°，tan∠BEO=，
∵∠BEO=∠ABC，
∴
，得EO=，
∴点E的坐标为（0，）．
25．（14分）（2016•上海）如图所示，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=15，AB=16，BC=12，点E是边AB上的动点，点F是射线CD上一点，射线ED和射线AF交于点G，且∠AGE=∠DAB．
（1）求线段CD的长；
（2）如果△AEG是以EG为腰的等腰三角形，求线段AE的长；
（3）如果点F在边CD上（不与点C、D重合），设AE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
【考点】四边形综合题．
【解答】解：
（1）作DH⊥AB于H，如图1，
易得四边形BCDH为矩形，
∴DH=BC=12，CD=BH，
在Rt△ADH中，AH=
=
=9，
∴BH=AB﹣AH=16﹣9=7，
∴CD=7；
（2）①EA=EG时，则∠AGE=∠GAE，
∵∠AGE=∠DAB，
∴∠GAE=∠DAB，
∴G点与D点重合，即ED=EA，
作EM⊥AD于M，如图1，则AM=AD=，
∵∠MAE=∠HAD，
∴Rt△AME∽Rt△AHD，
∴AE：
AD=AM：
AH，即AE：
15=：
9，解得AE=；
②GA=GE时，则∠GAE=∠AEG，
∵∠AGE=∠DAB，
而∠AGE=∠ADG+∠DAG，∠DAB=∠GAE+∠DAG，
∴∠GAE=∠ADG，
∴∠AEG=∠ADG，
∴AE=AD=15．
综上所述，△AEC是以EG为腰的等腰三角形时，线段AE的长为或15；
（3）作DH⊥AB于H，如图2，则AH=9，HE=|x﹣9|，
在Rt△HDE中，DE=
=
，
∵∠AGE=∠DAB，∠AEG=∠DEA，
∴△EAG∽△EDA，
∴EG：
AE=AE：
ED，即EG：
x=x：
，
∴EG=
，
∴DG=DE﹣EG=
﹣
，
∵DF∥AE，
∴△DGF∽△EGA，
∴DF：
AE=DG：
EG，即y：
x=（
﹣
）：
，
∴y=
（0＜x＜）．
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