排列组合典型题汇总.docx
《排列组合典型题汇总.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《排列组合典型题汇总.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
排列组合典型题汇总
排列组合典型题汇总
排列、组合题型与解题方法
撰写人：
胡清涛
一：
可重复排列求幂法
1、有4名同学报名参加，数学、物理、化学三科竞赛，每人限报一科，
有多少种不同的报名方法？
解析：
本题题意是让4同学选择3个科目，人是主动的，科目是被选的是
被动的，于是完成这件事，需要4个步骤
第一步：
同学甲从3个科目中选择一科有3种选择。
第二步：
同学乙从3个科目中选择一科有3种选择。
第三步：
同学丙从3个科目中选择一科有3种选择。
第四步：
同学丁从3个科目中选择一科有3种选择。
完成这件事共有3?
3?
3?
3?
3种方法
2、有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，多少种不同的结果？
解析：
每科的冠军都产生于这4名同学中，所以3科竞赛的冠军是主动的，
而4名同学是被选的，是被动的。
于是完成这件事，分3个步骤第一步：
数学科目的冠军是从4名同学中选1名有4种选择第二步：
物理科目的冠军是从4名同学中选1名有4种选择第三步：
化学科目的冠军是从4名同学中选1名有4种选择
完成这件事共有4?
4?
4?
4种方法
解决这种问题的关键在于分清哪个是主动哪个是被动，再按照分步计数原理的方法将每个步骤中的方法数相乘，从而得到所求结果。
3、将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？
4
4、把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？
7
5、8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有多少种？
8
*****、一个六位的密码，每一位都是由0到9十个数字中的一个所构成，一共能组成多个密码？
10
6二：
多排问题单排法
12、6个人排成前后两排，每排3个元素，有多少种不同的排法？
解析：
6个人站成两排每排三个，可以看做是将6个人排成一列，再从中
间断成两段，分为前后两排，因此：
6总的排法数为A6?
720种
3另解：
第一步排列前排：
从6个人中选出3个人排列，即A6
3第二步排列后排：
剩余的3个人排列，即A3
33总的排法数为A6?
A3?
720种
13、6个人排成前后两排，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法？
2解析：
第一步前排：
从6个人中选出2个人排列，即A64第二步后排：
剩余的4人排列，即A4
246总的排法数为A6相当于6人排成一直排.?
A4?
6?
5?
4?
3?
2?
1?
A6
14、把15人分成前后三排，每排5人，有多少种不同的排法？
解析：
第一步前排：
A15?
15?
14?
13?
12?
11第二步中排：
A10?
10?
9?
8?
7?
6
5第三步后排：
A5?
5?
4?
3?
2?
1
55总排法数为A15?
A10?
A5?
15?
14?
?
?
?
3?
2?
1?
A15种
15、把15人分成前、中、后三排，前排4人，中排5人，后排6人，有
*****多少种不同的排法？
4解析：
第一步前排：
A15?
15?
14?
13?
125第二步中排：
A11?
11?
10?
9?
8?
76第三步后排：
A6?
6?
5?
4?
3?
2?
1
*****总排法数为A15?
A11?
A6?
15?
14?
?
?
?
3?
2?
1?
A15种
以上问题都是求“将n个元素排成若干排”的问题，有上面各题的难得出这样的结论：
“无论排成几排，无论每排中元素有几个，都可以当做将这n个不同的元素排成一个直排来看待”
16、8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，，有多少种不同排法？
8A8
17、8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？
解析：
先按照排成一排来看待，则相当于有八个位置。
如图：
――――――――――――――――
左边4个位置相当于前排,右边4个位置相当于后排，先从前排的4个位置
2中选择两个位置排列这两个人，即A4；再从右边的4个位置选择一个位置15排列另外1人，即A4；其余的5个人随便排列，即A5
215总的排法数为A4A4A5
三、相同元素的分配问题隔板法
18、10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种
不同分配方案？
解析：
本题题意就是将10个名额，分给7个班级，每班都能分到名额。
由于名额与名额之间无任何差别。
因此本题即是10个相同的元素分成7堆。
具体操作如下：
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
这10个小圆圈就相当于10个相同的元素，可以想象将木板插在这10个元素之间空当中，就可以将这10个元素分成若干份。
本题中要求分成7分，所以只需要6块木板就可以了，10个元素之间形成了9个空，所以只需将这6块木板插到这9个空中即可。
一种木板的插入方式就对应着一种名额的分配方式。
因此有多少种插法就有多少种分配方法。
于是：
3不同分配方案共有C9种。
能够用“隔板法“解决的拍列组合问题是：
“对n个相同的元素分成m份”。
这里要特别注意的是:
“所研究的元素必须是相同的。
”
19、某校要组建一个12人的篮球队，这12个人分别由8个班的学生组成，
7每班至少一名，共有多少种选派方案？
C11
20、6名同学带13瓶百事去春游，每人至少带一瓶，有多少种不同的带法？
5C*****、方程x?
y?
z?
8正整数解有多少组？
C7
22、把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，则有多少种不同的放法？
解析：
由题意可知，1号盒里至少放1个球；2号盒里至少放2个球；3号
盒里至少放3个球。
要保证上述条件只需先将1号盒里放0个球；2号盒里放1个球；3号盒里放2个球，其余的17个球在进行隔板，即:
将17个球用2块木板隔成3分。
2共有C16种不同的放法。
23、25个相同的小球，分别投到编号为1、2、3、4的四个盒子中，要求
3每个盒子中的球数不少于盒子的编号数，有多少种不同的方法？
C19
四、相邻问题捆绑法
24、A、B、C、D、E五人站成一排，其中A、B必须相邻，有多少种不同的
排法？
解析：
既然A、B必须相邻，则把它们捆绑到一起看成是一个元素，这样一来五个人可以看成是4个元素排列，但是在捆绑A、B的时候，二者也有顺序，所以在捆绑的同时也要把A、B进行排列。
24总的排法数为A2A4
25、A、B、C、D、E五人站成一排，其中A、B必须相邻，且A必须在B的
左边，有多少种不同的排法？
解析：
分析方法同上题相同，唯一不同的是在本题中，捆绑A、B的同时不需要对A、B进行排列，因为A必须在B的左边，这实际上已经确定了A、B的顺序，所以本题直接将5个人看成是4个不同的元素排列。
4总的排法数为A4
在解决两个或多个元素相邻问题时我们选择“捆绑法”，在捆绑的时候要注意，“被捆绑的的元素与元素之间是否有顺序，如果有则需要在捆绑的同时，先将元素排列。
”
26、3名男生5名女生站成一排，3名男生必须站在一起，有多少种不同
36的排法A3A6
27、4名男生和3名女生并坐在一起，男生相邻，女生也相邻，共有多少
342种不同的坐法？
A3A4A2
五、不相邻问题插空法
28、七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，有多少种不同的排法？
解析：
由于甲乙两人不相邻，除去甲乙还有5个人，先将这5个人排列，
此时5个人之间包括两端共有6个空位，将甲乙两个元素分别插入到这6个空中即可。
52总排法数为A5A6
29、4名男生，3名女生，站成一排，3名女生互不相邻，有多少种不同排
法？
解析：
仿照上题，3名女生不相邻，则先排列4名男生，4名男生之间包括
两端共有5个空位，再将3名女生分别插入到这5个空位中。
43总排法数为A4A5
在解决两个或多个元素不相邻问题时我们选择“插空法”，需要注意的是：
“在插空时是用不相邻的元素去插其他元素的空”
30、4名男生，3名女生，站成一排，男女生相间，有多少种不同排法？
解析：
“男女生相间”即是“男生不相邻女生也不相邻”
4先排4个男生A4；再把3个女生插空，但此时的插空同上题不同的
是，女生能可以选择的空位只能是中间的3个空，不能选择两端的两个空，因为如果选择了两端的两个空位，必然会使其中的两名男
3生相邻，即A3。
43总的排法数为A4A3
本题中应当注意的是，“男生女生相间”的意思是“男生不相邻且女生也不相邻”，此时插空时要注意不能选择两端的两个空位。
31、4名男生，4名女生，站成一排，男女生相间，有多少种不同排法？
解析：
本题也是男女生相间问题，但与上题不同的是：
男生人数与女生人
数相等，则先把男生和女生分别排列，再插空。
如下图：
男男男男女女女女
或
女女女女
男男男男
44总的排法数为2A4A4
如果男生女生人数相同时，要求那女相间，要注意有两种不同的情况，
一是男生打头，二是女生打头。
31、用1、2、3、4、5五个数字组成没有重复数字的五位数，且1、2不
相邻，这样的五位数共有多少个？
32A3A4
32、班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，有多少种不同排法？
52A5A6
33、在马路上有编号为1、2、3、4、5、6、7、8、9的九盏路灯，为了节约用电需要关掉其中的3盏路灯，但是不能关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，共有多少种不同的关灯方法？
解析：
关掉其中的三盏，则还有六盏灯亮着，那么我们只需用三盏关掉的
路灯，去插亮着的六盏灯的空，由于要求不能关掉两端的两盏，所以，只能选择六盏亮着的路灯之间的5个空，另外我们要知道，关掉的路灯之间没有区别，亮着的路灯之间也没有区别，所以灯与灯之间没有顺序，于是：
3关灯的方法共有C5
34、3个人坐在一排8把椅子上，若每个人的两边都有空位，共有多少种
不同的坐法？
解析：
解法1、先将3个人（各带一把椅子）全排列有A33，○*○*○*○，在四个空中分别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有A4种，所以每个
13人左右两边都空位的排法有A14A3=24种.
解法2：
先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个空，*○*○*○*○*再让3个人每人带一把椅子去插空，于是有A34=24种.
六：
捆绑法和插空法的综合问题
35、4名男生和3名女生站成一排，要求3名女生中有2名站在一起，有
多少种不同的站法？
422A4A3A5
36、停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放.要求空车位置
连在一起，不同的停车方法有多少种？
81A8A9
37、停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放.要求4个空车
位中的3个空车位连在一起，不同的停车方法有多少种？
832A8C4A9
38、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形有多
少种？
2A5
39、计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画,排成
一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共多少种陈列方式
54A2A25A4
七：
特殊位置、特殊元素优先法
40、由1,2,3,4,5，6可以组成多少个没有重复数字五位奇数？
解析：
我们要构造的是个五位奇数，所以个位数字只能是1、3、5中的一
个来充当。
也就是说我们要构造的五位数的个位是特殊的，所以我们要先解决这个特殊位置，也就是先给个位选数字，即C3；接下来
1给剩余的4个数位选数字，由于我们已经从1、3、5中选出了一个数字，所以还有5个数字可供选择，又因为构造一个五位数，其实就是给数字排队，所选的数字之间是有顺序的，所以是从剩余的5
4个数字中选择4个进行排列，即A5
14这样的五位数一共有C3A5个
41、由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数？
解析：
本题也是构造五位奇数但上题不同的是，五个数字有一个是0，而且我们还知道，五位数的首位不能是0，所以我们所构造的五位数中首位
1和末位都是特殊位置，先选末位C3；接下来选首位数字，1、3、5三个数
字被选出了一个数字，还剩下5个数字，且这5个数字中有一个是0，因
1此首位的选择只能从4个数字中选择一个，即C4；最后给中间的三个数位
选数字，中间的三个数位没有特殊要求，选什么数字都可以，一共6个数
3字，首位和末位个占去了一个数字，还成4个数字可供选择，即A4
113这样的五位数一共有C3C4A4个
42、由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位偶数？
解析：
要构造一个五位偶数，则个位数字必须从0、2、4中选择一个，我们知道0是不能在首位的，但如果末位选择的是0，那么首位就不用特殊考虑了，而末位选择的不是0，则需要对首位特殊考虑，在本题中不但位置有特殊，元素也有特殊，因此本题应该分为两种情况：
⑴末位数字是0：
此时的前4位不用担心0会出现在首位，所以直接从除0以外的
45个数字中选4个进行排列，即有A5个。
⑵末位数字不是0：
1末位不是0，则末位是从2、4中选一个，即C2；首位不能是0，1所以只能从剩余的4个数字中选一个，，即C4；中间三个数位的3113数字可以自由选择并排列，，即A4。
则共有C2C4A4个。
4113综上这样的五位数共有A5?
C2C4A4个
上述问题的特点是，在某些位置或某些元素有特殊要求时要优先解决，
解决完特殊，再解决没有特殊要求的位置或是元素。
43、1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不
同的排法有多少种？
14C3A4
44、7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种
在两端的花盆里，问有多少不同的种法？
25A6A5
45、2021年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志
愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有多少种
A32A32
46、有七名学生站成一排，甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种？
16C5A6
47、有七名学生站成一排，甲不排在首位，乙不排在末位的排法有多少种解析：
本题采取“遇难则反”的解题思维。
即：
在总的排法数中减去不符合题意的排法数，就是所求问题的排法数
7总的排法数：
A7
6不符合题意的排法：
①甲在首位：
A6
6②乙在末位：
A6
766总的排法数―不符题意的排法数=A7―A6―A6，
甲在首位的情况中包含了“甲在首位且乙在末位”乙在末位的情况中包含了“乙在末位且甲在首位”
766于是A7―A6―A6中把“甲在首位且乙在末位”的情况减了两次
所以需要加回一个“甲在首位且乙在末位”的情况。
5“甲在首位且乙在末位”的情况数为：
A5
7665本题所求的排法数为A7―A6―A6＋A5
另解：
6分类：
（1）甲在末位，则剩余的6个人（包括乙）可以随便排列A6
1
（2）甲不在末位，则甲的位置只能从5个位置中选1个C5，乙的位
15置也是从5个位置中选1个C5，其余的5个人随便排列A5，115在此类中的排法数为C5C5A*****总的排法数为A6+C5C5A5
附加题：
某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参
加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？
解析：
因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类：
①若甲乙都不参加，则有派遣方案A8种；
②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有A8方法，所以共有3A8；
3343③若乙参加而甲不参加同理也有3A8种
④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另
2两个城市有A8种，共有7A82方法.所以共有不同的派遣方法总数为
4332种A8?
3A8?
3A8?
7A8?
4088
八：
定序问题
48、已知A、B、C、D、E五个人站成一排，B必须站在A的左边，（A、B
可以不相邻）共有多少种不同的排法？
解析：
因为五人排队，则人与人之间是有顺序的，所以这是一个排列问题，
而题中说B必须站在A的左边因此，A、B的顺序是确定的不需要再排列了。
因此解决该问题有两种方法。
方法一：
五人站成一排，则需要5个位置，由于A、B的顺序确定，则先不考虑A、B。
直接排C、D、E三人，即从五个位置中选三个位置排列这三
3个人，即A5种排法，当排完这三人之后，必然会给A、B剩下两个位置
由于A、B位置关系是确定的，则不需要再排列。
3共有A5?
60种排法
方法二：
5先不考虑A、B顺序已经确定这一问题，把五个人全排列，即A5，
接下来在考虑A、B顺序已经确定这一问题，既然二者的顺序已经确定了那
52么在A5中把A、B又进行了排列，也就是多排了A2倍，因此：
5A5总的排法数为2?
60种
A2
定序问题中，有些元素的顺序已经固定了，不需要再排列，我们只需要排列那些顺序不固定的元素即可。
49、书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有多少种不同的插法？
A39或
A996A650、将A、B、C、D、E、F这6个字母排成一排，若A、B、C必须按A在前，B居中，C在后的原则（A、B、C允许不相邻），有多少种不同的排法？
A36或
A663A351、某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完
成后才能进行、工程丙必须在工程乙完成后才能进行、又工程丁必须在工程丙完成后立即进行。
那么安排这6项工程有多少种不同安排方法？
A36或
A663A352、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个
新节目，如果将这两个新节目插入原节目单中，那么有多少种不同的插法种数？
A77A或5
A*****、某式春节晚会原定10个节目，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”
有关的的新节目，但是赈灾节目部不排在第一个也不排在最后一个，并且原定的10个节目相对顺序不变，有多少种不同的排法？
3A11
54、人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增共
有多少排法？
5C10九：
涂色问题
55、用6种颜色给图中4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻两
个格子不能用同一种颜色，且两端颜色也不同，有多少种涂色方案？
1234解析：
方法一：
逐一涂色
此时要分析1号格与3号格颜色是相同还是不同，因为1号格与3号格颜色是否相同直接影响了4号格颜色的选择，所以分为两种情况：
第一种情况：
1号格与3号格同色
11号格有6种颜色可供选择，即C6。
由于相邻两个格子不能用同一种颜色，所以:
12号格有5种颜色可供选择，即C5。
由于3号格与1号格同色，所以3号格的颜色已确定不需选。
4号格的颜色只要不与3号格颜色相同即可，因此：
14号格有5种颜色可供选择，即C5111第一种情况的涂色方案有C6种C5C5第二种情况：
1号格与3号格异色11号格有6种颜色可供选择，即C6。
由于相邻两个格子不能用同一种颜色，所以:
12号格有5种颜色可供选择，即C5。
3号格与1号格颜色不同，与2号格颜色也不同，所以：
13号格有4种颜色可供选择，即C4
4号格与1号格和3号格颜色都不同，所以：
14号格有4种颜色可供选择，即C4
1111第二种情况的涂色方案有C6种C5C4C***-*****总的涂色方案共有C6+C6P630种C5C5C5C4C4方法二：
用颜色来分类
第一类：
用4种颜色
4从6种颜色中选出4种颜色排列即可，即A6种
第二类：
用3种颜色
用3种颜色时，四个格子中必须有两个格子颜色相同，在四个格
子中颜色相同的，有两种可能：
“1号和3“号同色或”2号4号
13同色”，用3种颜色的涂色方案为C2A6种
第三类：
用2种颜色
用2种颜色时，只要“1号和3号同色”同时“2号与4号也同色”
2于是用2种颜色的涂色方案为A6种413总的涂色方案为A6＋C2A6＋A62P630种
56、用5种颜色给下面五个区域涂颜色，要求相邻区域不能用同一种颜色，
共有多少种不同的涂色方案？
23145
方法一：
第一类:
2、4同色5×4×3×1×3＝180第二类:
2、4异色5×4×3×2×2＝240涂色方案总数为180+240=420
方法二：
5第一类：
用5种颜色A514第二类：
用4种颜色C2A53第三类：
用3种颜色A55143涂色法案总数为A5+C2=420A5+A5
升级会员 