初中数学八年级上实验班第二章.docx

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初中数学八年级上实验班第二章

初中八年级上实验班授课

特殊三角形

2.1等腰三角形

学习目标

1.了解等腰三角形的有关概念。

2.掌握等腰三角形的轴对称性。

基础巩固提优

1.已知等腰三角形的两边长为3和4，则其周长为__________。

2.在等腰三角形ABC中，AB=AC，边AB的中垂线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°，则∠B的度数为__________.

3.在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且AD=BD=BC,则图形中共有_______个等腰三角形,且∠A=__________。

4.如图，在△ABC中，AD垂直平分边BC，AB=5，那么AC=_____.

5.如图，已知C为BE上一点，点A、D分别在BE两侧，AB∥ED，AB=CE,BC=DE,△ADC是等腰三角形吗？

请说明理由。

6.

（1）已知等腰三角形的一条边长为4cm，另一条边长为9cm，求它的第三条的边长；

（2）在等腰三角形中，一条边长为4cm，另一条边长为5cm，求它的周长。

7.如图，在△ABC中，∠C=90°。

（1）请以AC所在的直线为对称轴，画出与△ABC成轴对称的图形。

（2）所得图形与原图形组成的图形是等腰三角形吗？

请说明理由。

8.如图，AC平分∠BAD，CD⊥AD，CB⊥AB。

请找出图中的等腰三角形，并说明理由。

9.已知等腰三角形的腰长比底边长多2cm，并且它的周长为16cm，求这个等腰三角形的各边长。

10.已知等腰三角形的底边长为4cm，一腰上的中线把周长分成的两部分的差为3cm，求这个等腰三角形的腰长。

思维拓展提优

11.已知等腰三角形ABC的底边BC的长为8cm，且︱AC－BC︱=2cm，则腰AC的长为（）

A.10cm或6cmB.10cmC.6cmD.8cm或6cm

12.已知等腰△ABC腰AB上的高CD与另一腰AC的夹角为30°，则其顶角的度数为（）

A.60°B.120°C.60°或150°D.60°或120°

13.已知等腰三角形的周长为8，边长为整数，则腰长为_________。

14.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且AD=DB=BC，若△ABD的周长比△ABC的周长少3cm，则可以计算线段______的长为_________cm。

15.已知等腰三角形一腰上的中线把它的周长分为18cm和21cm两部分，求它的三边长。

16.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，O是△ABC内一点，且∠OBC=10°，∠OCA=20°，求∠BAO的度数。

17.为美化环境，计划在某小区内用30m2的草皮铺设一块其中一条边的边长为10m的等腰三角形ABC绿地，请你求出这个等腰三角形ABC绿地的另两条边的边长。

18.如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是边BC的中点，E是边AB上一动点，若点E运动到点F时EC+ED的值最小，请在图中标出点F，并说明理由。

开放探究提优

19.如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能画多少个？

（并用直尺与圆规画出相应的等腰三角形）

走近中考前沿

20.（2009·广西钦州）如图，AC=AD，BC=BD，则有（）

A.AB垂直平分CD

B.CD垂直平分AB

C.AB与CD互相垂直平分

D.CD平分∠ACB

21.（2009·山东泰安）如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC=6，则DF的长是（）

A.2B.3C.

D.4

22.（2009·湖北武汉）如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA=OB=OC，∠ABC=∠ADC=70°，则∠ADO+∠DCO的大小是（）

A.70°B.110°C.140°D.150°

2.2等腰三角形的性质

学习目标

1.掌握等腰三角形的性质

2.学会应用等腰三角形的性质解决问题

基础巩固提优

1.等腰三角形的底角与相邻外角的关系是（）

A.底角大于相邻外角

B．底角小于相邻外角

C.底角大于或等于相邻外角

D.底角小于或等于相邻外角

2.在等腰三角形中，

（1）已知一个角等于40°，则它的顶角为_________；

（2）已知一个外角为70°，则它的底角为________。

3.在△ABC重，AB=AC，∠BAC=36°，BD平分∠ABC交AC于点D。

若AD=10，则BD=_______，BC=________。

4.如果一个等腰三角形的底角比顶角大15°，那么顶角为（）

A.45°B.40°C.55°D.50°

5.如图，AB平分∠CAD，AC=BC。

判定AD与BC是否平行，并说明理由。

6.如图，点D和点E在BC上，AB=AC,AD=AE,试说明BD=CE成立的理由。

（请按提示的思路完成）

解：

过点A作AF⊥BC，垂足为F。

7.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，BD=2cm，求BC与∠ADC的大小。

8.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，求∠ADB的度数。

9.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AC、AB上，且BD=BC,AD=DE=BE，求∠A的度数。

10.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=40°，分别以AB、AC为边作两个等腰直角三角形ABD和ACE，使∠BAD=∠CAE=90°。

（1）求∠DBC的度数。

（2）求证：

BD=CE。

思维拓展提优

11.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为4cm，则其腰上的高为________cm。

12.等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（）

A.顶角B.顶角的一半C.顶角的2倍D.底角的一半

13.如图是人字型屋架的设计图，由AB、AC、BC、AD四根钢条焊接而成，其中A、B、C、D均为焊接点，且AB=AC，D为BC的中点。

现在焊接所需的四根钢条已截好，且已标出BC的中点D。

如果焊接工身边只有可检验直角的直尺，那么为了准备快速地焊接，他首先应取的两根钢条及焊接点分别是（）

A.AC和BC,BB.AB和AC,A

C.AD和BC，DD.AB和AD，A

14.等腰三角形的一个内角与顶角的外角之和等于120°，则这个等腰三角形的顶角等于_________，底角等于_________。

15.如图，在△ABC中，AD=AC，BE=BC。

（1）若∠ACB=96°，求∠DCE的度数。

（2）请问∠DCE与∠A、∠B之间存在怎样的数量关系？

16.如图，在△ABC中，AC=BC，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D，若∠ADC=

∠CAD，则∠ABC=______。

17.有一张等腰直角三角形的纸（如图

（1）），AB=10cm，把它的两个底角向斜边的中点O折叠，使A、B两点都与点O重合（如图

（2）），再以CO为对称轴将图

（2）对折，得到一个梯形（如图（3））。

求这个梯形的面积。

开放探究提优

18.如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，且DA=DB=DC。

（1）若∠A=30°，求∠ACB的度数；

（2）若∠A=40°，求∠ACB的度数；

（3）试改变∠A的度数，计算∠ACB的度数，你有什么发现吗？

19.在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，任作等腰Rt△ECF，∠ECF=90°，请问

的值是否不变？

BE与AF所成的角是否不变？

若不变，请分别求出它们的值。

走近中考前沿

20.（2008·黑龙江省）如图，将△ABC沿DF折叠，使点A与BC边的中点F重合，下列结论中：

①EF∥AB且EF=

AB；②∠BAF=∠CAF；③S四边形ADFE=

AF·DE；④∠BDF+∠FEC=2∠BAC。

其中正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

21．（2009·湖北襄樊）在△ABC中，AB=AC=12cm，BC=6cm，D为BC的中点，动点P从点B出发，以每秒1cm的速度沿B→A→C的方向运动。

设运动时间为t，那么当t=_________秒时，过D、P两点的直线将△ABC的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍。

2.3等腰三角形的判定

学习目标

1.理解等腰三角形的判定方法及推理过程

2.初步了解转化思想，培养逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力

3.了解等腰三角形的性质与判定的区别。

基础巩固提优

1.将两个全等的各有一个角为30°的直角三角形拼成如图所示的图形，其中两条长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

2.如图，在△ABC中，∠B=∠C=36°，∠ADE=∠AED=72°，则图中等腰三角形的个数为（）

A．5B.6C.7D.8

3.能判定等腰三角形全等的一组是（）

A.顶角相等B.底角相等

C.腰相等D.底角和顶角对应相等

4.如图，小量角器的零度线在大量角器的零度线上，且小量角器的中心在大量角器的外边缘上，如果它们外边缘上的公共点P在小量角器上对应的度数为65°，那么在大量角器上对应的度数为______°（只需写出0°~90°的角度）。

5.如果一个三角形的高线和角平分线重合，那么这个三角形是______三角形。

6.已知：

如图，∠A=∠DBC=36°，∠C=72°，计算∠1和∠2，并说明图中有哪些等腰三角形。

7.如图，△ABC是等腰三角形，BD、CE是角平分线，且BD、CE交于点O，则△BOC是等腰三角形吗？

请说明理由。

8.如图，在△ABC中，D是边BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，DE=DF，则△ABC是等腰三角形吗？

请说明理由。

9.如图，在△ABC中，∠BCA=2∠A,AC=2BC,求∠ABC的度数。

思维拓展提优

10.若三角形的三边a，b，c满足（a－b）（b－c）（c－a）=0,则△ABC是（　　　）

Ａ.等腰三角形　　　　　Ｂ.直角三角形

Ｃ.等边三角形　　　　　Ｄ.锐角三角形

１１.以等腰三角形ＡＢＣ一腰上的高为腰，另一腰为底恰好构成一个等腰三角形，则等腰三角形ＡＢＣ的顶角是（　　　　）

Ａ４５°　　　　Ｂ.６０°　　Ｃ.６５°　　Ｄ.３０°

１２.已知：

如图，在△ＡＢＣ中，ＢＯ、ＣＯ平分∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ并交于点Ｏ，过点Ｏ作ＯＤ∥ＡＢ，ＯＥ∥ＡＣ，ＢＣ=１６，求△ＯＤＥ的周长。

１３.如图，在等腰三角形ＡＢＣ中，ＡＢ=ＡＣ，在这些图形中哪些能被一条直线分成两个小等腰三角形？

能被一条直线分成两个小等腰三角形的请做出这条直线。

１４.如图，上午７:

００，一艘船从Ａ港出发，以２０ｋｍ／ｈ的速度向东北方向行驶，经过２ｈ，船行驶至Ｂ处，此时灯塔Ｃ在Ｂ处的北偏西８５°方向上，已知灯塔Ｃ在Ａ港的北偏西２０°方向上，求Ｂ、Ｃ两处的距离。

１５.如图，在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝３∠Ｃ，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，交ＢＣ于点Ｄ，ＢＦ⊥ＡＥ，垂足为Ｅ。

求证：

ＢＥ=

（ＡＣ－ＡＢ）

开放探究提优

１６.如图，在△ＡＢＣ中，ＢＤ平分∠ＡＢＣ，ＡＥ⊥ＢＤ，垂足为点Ｅ，且ＡＥ交ＢＣ于点Ｇ，ＥＦ∥ＢＣ交ＡＢ于点Ｆ。

试判断点Ｆ是否为ＡＢ的中点，并说明理由。

１７.如图，点Ａ是５×５网格图形中的一个格点（小正方形的顶点），图中每个小正方形的边长为１，以点Ａ为其中的一个顶点，面积等于

的格点等腰直角三角形（三角形的三个顶点都是格点）的个数为（　　　）

Ａ.１０　　　Ｂ.１２　　　Ｃ.１４　　　Ｄ.１６

１８.如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ==ＡＣ，ＤＥ=ＥＣ，ＤＨ∥ＢＣ，ＥＦ∥ＡＢ，ＨＥ的延长线与ＢＣ的延长线相交于点Ｍ，点Ｇ在ＢＣ上，且∠１＝∠２，不添加辅助线，解答下列问题：

（１）写出所以等腰三角形（不包括△ＡＢＣ）____________；

（２）找出两对全等三角形，分别是______________________，并选其中一对进行证明。

１９.已知等腰△ＡＢＣ的周长为１０，若设腰长为ｘ，则ｘ的取值范围是_____________。

走近中考前沿

２０.（２００９·河南省）如图，∠ＢＡＣ=∠ＡＢＤ,ＡＣ=ＢＤ,点Ｏ是ＡＤ、ＢＣ的交点，点Ｅ是ＡＢ的中点。

试判断ＯＥ和ＡＢ的位置关系，并给出证明。

２１.（２００９·山东泰安）如图，在直角梯形ＡＢＣＤ中，∠ＡＢＣ=９０°，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ=ＢＣ，Ｅ是ＡＢ的中点，ＣＥ⊥ＢＤ.

（１）求证：

ＢＥ＝ＡＤ

（２）求证：

ＡＣ是线段ＥＤ的垂直平分线；

（３）△ＤＢＣ是等腰三角形吗？

并说明理由。

２.４等边三角形

学习目标

1.理解等边三角形的性质与判定

2.体会等边三角形与现实生活的联系

3.理解等边三角形的轴对称性。

基础巩固提优

１.一个三角形的任意一边上的中线与高线重合，则此三角形为（　　　）

　Ａ.等腰三角形　　　　　Ｂ.等边三角形

　Ｃ.直角三角形　　　　　Ｄ.以上均不对

２.等边三角形中，两条中线所夹的钝角的度数为（　　　）

Ａ.１２０°　　Ｂ.１３０°　　Ｃ.１５０°　Ｄ.１６０°

３.在△ＡＢＣ中，如果只给出条件∠Ａ＝６０°，那么还不能判定△ＡＢＣ是等边三角形。

给出下面四种说法：

①如果再加上条件“ＡＢ=ＡＣ”，那么△ＡＢＣ是等边三角形；

②如果再加上条件“∠Ｂ=∠Ｃ”，那么△ＡＢＣ是等边三角形；

③如果再加上条件“Ｄ是ＢＣ的中点，且ＡＤ⊥ＢＣ”，那么△ＡＢＣ是等边三角形；

④如果再加上条件“边ＡＢ、ＡＣ上的高相等”，那么△ＡＢＣ是等边三角形；

其中正确的说法有______________________。

4.如图，已知正方形ＡＢＣＤ的边长为２，△ＢＰＣ是等边三角形，则△ＣＤＰ的面积是__________。

5.如图，在等边三角形ＡＢＣ中，ＡＣ=９，点Ｏ在ＡＣ上，且ＡＯ＝３，点Ｐ是ＡＢ上一动点，连结ＯＰ，将线段ＯＰ绕点Ｏ逆时针旋转６０°得到线段ＯＤ，要使点Ｄ恰好落在ＢＣ上，则ＡＰ的长为（　　　　）

Ａ.４　　　　Ｂ.５　　　　Ｃ.６　　　　Ｄ.８

６.如图，已知△ＡＢＣ和△ＢＤＥ都是等边三角形，则ＡＥ与ＣＤ相等吗？

请说明理由。

７.如图，在等边三角形ＡＢＣ中，Ｄ为边ＡＣ的中点，延长Ｂ到点Ｅ，使ＣＥ=ＣＤ，连结ＤＥ。

ＤＢ与ＤＥ相等吗？

请说明理由。

８.如图，在等边三角形ＡＢＣ中，点Ｄ、Ｅ分别在边ＢＣ、AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F。

（1）求证：

AD=CE

（2）求∠DFC的度数。

9.如图，延长△ABC的各边，使得BF=AC,AE=CD=AB，顺次连结点D,E,F，得到的△DEF为等边三角形。

求证：

（1）△AEF≌△CDE。

（2）△ABC为等边三角形。

10.如图，用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成四边形ABCD。

把一个含60°角的三角尺与这个四边形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合，将三角尺绕点A按逆时针方向旋转。

（1）当三角尺的两边分别与四边形的两边BC、CD相交于E、F时（如图

（1）），通过观察或测量BE、CF的长度，你能得出什么结论？

请说明理由。

（2）当三角尺的两边分别与四边形的两边BC、CD的延长线相交于点E、F时（如图

（2）），你在

（1）中得到的结论还成立吗？

简要说明理由。

思维拓展提优

11.下列说法中，错误的是（）

A．两个内角分别是70°和40°的三角形是等腰三角形。

B.有两个内角相等的三角形是等边三角形

C.一个外角平分线平行于一边的三角形是等腰三角形

D.等边三角形一定是等腰三角形

12.已知线段m,n（m>n），用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使AB=AC=m，BC=n，再分别以AB、AC为边向三角形外部作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连结BE、CD，那么（）

A.BE>CDB.BE=CD

C.BE

13.已知∠AOB=30°，点P在∠AOB的内部，点P1与P关于OB对称，点P2与P关于OA对称，则点P1、O、P2三点所构成的三角形是（）

A.直角三角形B.钝角三角形

C.等腰三角形D。

等边三角形

14.如图，已知△ABC是等边三角形，延长BC到点D，延长BA到点E，使AE=BD，连结CE和DE，求证△CDE是等腰三角形。

15.如图，△ABC是边长为2的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，以点D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于点M、N，连结MN，求△AMN的周长。

开放探究提优

16.如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若BC=2，则DE+DF=___________。

走近中考前沿

17.（2008·福建泉州）如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），当t=2时，判断△BPQ的形状，并说明理由。

18.（2009·福建莆田）已知：

等边△ABC的边长为a。

探究

（1）：

如图

（1），过等边△ABC的顶点A，B，C依次作AB、BC、CA的垂线围成△MNG，求证：

△MNG是等边三角形且MN=

a；

探究

（2）：

在等边△ABC内取一点O，过点O分别作OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥CA，垂足分别为点D,E,F。

1如图

（2），若点O是△ABC的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论（不必证明）：

结论1.OD+OE+OF=

a;

结论2.AD+BE+CF=

a.

②如图（3），若点O是等边△ABC内任意一点，则上述结论1,2是否仍然成立？

如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由。

阶段测评

（一）

（时间：

60分钟满分：

100分）

一、选一选（每题2分，共20分）

1.如图，AB∥CD，AD、BC相交于点O，∠BAD=35°，∠BOD=76°，则∠C的度数是（）

A.31°B.35°C.41°D.76°

2.如图，AB∥CD，∠B=23°，∠D=42°，则∠E等于（）

A.23°B.42°C.65°D.19°

3.如图，直线a,b被直线c所截，现给出下列四个条件：

①∠1=∠5；②∠1=∠7；③∠2+∠3=180°；④∠4=∠7.其中能判定a∥b的条件的序号是（）

A.①②B.①③C.①④D.③④

4.已知等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（）

A.12或9B.12C.9D.7

5.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=44°，CD⊥AB，垂足为D，则∠DCB等于（）

A.44°B.68°C.46°D.22°

6.已知等腰三角形一腰长的高线等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的一个底角等于（）

A.15°或75°B.15°

C.75°D.150°或30°

7.如图，已知直线AB∥CD，∠DCF=110°，且AE=AF，则∠A等于（）

A.30°B.40°C.50°D.70°

8.如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP=1，D为AC上一点，若∠APD=60°，则CD的长为（）

A.

B.

C.

D.

9.如图，在正三角形ABC中，D,E,F分别是BC,AC,AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于（）

A.1:

3B.2:

3C.

：

2D.

：

3

10.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A等于（）

A.30°B.40°C.45°D.36°

二、填一填（每题4分，共20分）

11.如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E,F，EG平分∠BEF交CD于点G。

如果∠1=50°，那么∠2的度数是____________。

12.已知等腰三角形ABC的腰AB=AC=10cm，底边BC=8cm，BD=12cm，则∠A的平分线的长是__________cm。

13.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=8cm，BD=5cm，那么点D到直线AB的距离是_______cm。

14.一个等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为24cm和42cm两部分，则它的底边长为__________cm。

15.如图，已知一束光线与水平面成60°的角度照射地面，现在地面AB上支放一个平面镜CD，使这束光线经过平面镜反射后成水平光线，则平面镜CD与地面AB所成角∠DCB的度数为________。

三、做一做（第16~22题每题6分，第23、24每题9分，共60分）

16.如图，AB∥CD，AD∥BC，∠A的2倍与∠C的3倍互补，求∠A和∠D的度数。

17.如图，已知△ABC和△BDE均为等边三角形，求证：

BD+CD=AD。

18.如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，∠ADC=60°，把△ADC沿直线AD翻折，点C落在C’的位置，若BC=4，求BC’的长。

19.如图，在△ABC中，D,E分别是AC,AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列四个条件：

①∠EBO=∠DCO;②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB=OC.

（1）上述四个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形；（用序号写出所以情形）

（2）选自第

（1）小题中的一种情形，说明△ABC是等腰三角形的理由。

20.如图，在梯形ABCD中，AD平行BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E。

求证：

（1）△BFC≌△DFC；

（2）AD=DE。

21.如图，在等腰△ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连结AP交BC于点E，连结BP交AC于点F。

（1）求证：

∠CAE=∠CBF;

（2）求证：

AE=BF;

（3）以线段AE,BF和AB为边构成一个新的三角形ABG（点E与点F重合于点G）记△ABC和△ABG的面积分别为S△ABC和S△ABG，当∠ACB=100°和∠ACB=80°时，分别讨论是否存在点P，能使得S△ABC=S△ABG成立、

22.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AB,CM⊥AD，垂足为M，求证：

AM=

（AB+CA）。

23.在△ABC中，AB=AC。

（1）如图

（1），如果∠BAD=30°，AD是边BC上的高，AD=AE，则∠EDC=_________°；

（2）如图

（2），如果∠BAD=40°，AD是边BC上的高，AD=AE，则∠EDC=_________°；

（3）思考：

通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？

请用式子表示：

________；

（4）如图（3），如果AD不是BC上的高，AD=AE，是否仍有上述关系？

如有，请你写出来，并说明理由。

24.若P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC的费马点。

（1）若点