中考数学最新中考数学考点总动员系列专题20图形的变换.docx
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中考数学最新中考数学考点总动员系列专题20图形的变换
——教学资料参考参考范本——
【中考数学】2019-2020最新中考数学考点总动员系列专题20图形的变换
______年______月______日
____________________部门
聚焦考点☆温习理解
一、平移
1、定义
把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。
2、性质
（1）平移不改变图形的大小和形状，但图形上的每个点都沿同一方向进行了移动
（2）连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等。
二、轴对称
1、定义
把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，该直线叫做对称轴。
2、性质
（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形。
（2）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。
（3）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。
3、判定
如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
4、轴对称图形
把一个图形沿着某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
三、旋转
1、定义
把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。
2、性质
（1）对应点到旋转中心的距离相等。
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
四、中心对称
1、定义
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。
2、性质
（1）关于中心对称的两个图形是全等形。
（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。
3、判定
如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。
4、中心对称图形
把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。
考点五、坐标系中对称点的特征
1、关于原点对称的点的特征
两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P′（-x，-y）
2、关于x轴对称的点的特征
两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P′（x，-y）
3、关于y轴对称的点的特征
两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P′（-x，y）
名师点睛☆典例分类
考点典例一、轴对称变换（含折叠）问题
【例1】如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为（）
A．6B．12C．D．
【答案】D．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质并作利用勾股定理列方程求出BE的长度是解题的关键，也是本题的突破口．
【举一反三】
1.（山东泰安，第20题）（3分）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F．若AB=6，BC=，则FD的长为（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】B．
考点：
1．翻折变换（折叠问题）；2．综合题．
2.（20xx内江）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E为CD上一点，分别以EA，EB为折痕将两个角（∠D，∠C）向内折叠，点C，D恰好落在AB边的点F处．若AD=2，BC=3，则EF的长为．
【答案】．
【解析】
试题分析：
∵分别以AE，BE为折痕将两个角（∠D，∠C）向内折叠，点C，D恰好落在AB边的点F处，∴DE=EF，CE=EF，AF=AD=2，BF=CB=3，∴DC=2EF，AB=5，作AH⊥BC于H，∵AD∥BC，∠B=90°，∴四边形ADCH为矩形，∴AH=DC=2EF，HB=BC﹣CH=BC﹣AD=1，在Rt△ABH中，AH==，∴EF=．故答案为：
．
考点：
1．翻折变换（折叠问题）；2．综合题．
考点典例二、点的对称
【例2】已知点关于y轴对称，则=．
【答案】0.
【解析】∵点关于y轴对称，
∴.
考点：
1.关于y轴对称的点的坐标特征；2.二元一次方程组的应用；3.求代数式的值.
【点睛】关于y轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标互为相反数.
【举一反三】
1.（20xx眉山）点P（3，2）关于y轴的对称点的坐标是_________．
【答案】（﹣3，2）．
考点：
关于x轴、y轴对称的点的坐标．
2.（20xx凉山州）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）关于直线对称点的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣2）B．（3，2）C．（2，﹣3）D．（3，﹣2）
【答案】C．
【解析】
试题分析：
点P关于直线对称点为点Q，作AP∥x轴交于A，
∵是第一、三象限的角平分线，∴点A的坐标为（2，2），∵AP=AQ，∴点Q的坐标为（2，﹣3）
故选C．
考点：
坐标与图形变化-对称．
考点典例三、平移
【例3】如图，将△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，若△ABC的周长为16cm，则四边形ABFD的周长为（）
（A）16cm（B）18cm（C）20cm（D）22cm
【答案】C．
【点睛】根据平移的基本性质，①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等；即可求出答案.
【举一反三】
1.（20xx.山东济南，第9题,3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，如果将△ABC先向右平移4个单位长度，在向下平移1个单位长度，得到△，那么点A的对应点的坐标为（ ）
A．（4，3）B．（2，4）C．（3，1）D．（2，5）
【答案】D
考点：
坐标与图形变化-平移．
2.（20xx·辽宁大连）在平面直角坐标系中，将点P（3，2）向右平移2个单位长度，所得到的点的坐标为（ ）
A.（1，2）B.（3，0）C.（3，4）D.（5，2）
【答案】D
【解析】
试题分析：
根据点的坐标平移规律“左减右加，下减上加”，可知横坐标应变为5，而纵坐标不变，
故选D.
考点：
坐标的平移.
考点典例四、旋转变换（含中心对称）问题
【例4】如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．若AC=，∠B=60°，则CD的长为（）
A．0.4B．1.5C．D．1
【答案】D．
考点：
1.旋转的性质；2.含30度直角三角形的性质；3.等边三角形的判定和性质．
【点睛】解直角三角形求出AB，再求出CD，然后根据旋转的性质可得AB=AD，然后判断出△ABD是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BD=AB，然后根据CD=BC﹣BD计算．
【举一反三】
1.（20xx.××市，第11题，3分）如图，已知在ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′.若∠ADC=60°，∠ADA′=50°，则∠DA′E′的大小为（）
（A）130°（B）150°（C）160°（D）170°
【答案】C.
【解析】
试题分析：
根据平行四边形的性质可得∠ADC=∠ABC=60°,在Rt△ABE中，可求得∠EAB=30°；由旋转的性质可得∠EAB=∠BA′E′=30°；在四边形AEA′D中，根据四边形的内角和为360°可求得∠DA′B=130°，所以∠DA′E′=∠DA′B+∠BA′E′=130°+30°=160°，故答案选C.
考点：
平行四边形的性质；旋转的性质；据四边形的内角和为360°.
2.（20xx.山东德州第6题，3分）如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（ ）
A．35°B．40°C．50°D．65°
【答案】C．
【解析】
试题分析：
∵CC′∥AB，∴∠ACC′=∠CAB=65°，∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，∴AC=AC′，∴∠CAC′=180°﹣2∠ACC′=180°﹣2×65°=50°，∴∠CAC′=∠BAB′=50°．故选C．
考点：
旋转的性质．
课时作业☆能力提升
一、选择题
1.（山东日照，第1题，3分）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】试题分析：
解：
根据轴对称图形的概念可知：
A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项正确．故选D．
考点：
轴对称图形．
2.（20xx甘孜州）下列图形中，是中心对称图形的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B．
【解析】
试题分析：
A．是轴对称图形，不是中心对称图形．故A错误；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形．故B正确；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形．故C错误；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形．故D错误．
故选B．
考点：
中心对称图形．
3.（20xx·黑龙江哈尔滨）如图，在RtABC中，BAC＝，将ABC绕点A顺时针旋转后得到A（点B的对应点是点，点C的对应点是点），连接C。
若C＝，则B的大小是（）
（A）32° （B）64°（C）77° （D）87°
【答案】C
考点：
旋转图形的性质、三角形内角和定理.
4.（20xx·湖北襄阳,12题）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误的是（ ）
A．AF＝AEB．△ABE≌△AGFC．EF＝D．AF＝EF
【答案】D．
由已知条件无法确定AF和EF的关系，故选D．
考点：
翻折变换（折叠问题）．
5.（20xx·湖北孝感）在平面直角坐标系中，把点向右平移8个单位得到点，再将点绕原点旋转得到点，则点的坐标是（）
A.B．C．D．或
【答案】D.
【解析】
试题分析：
向右平移8个得（3，3），再旋转90°，分顺时针和逆时针两种，顺时针旋转得时候得到答案为，逆时针旋转的时候答案为.
故选：
D.
考点：
坐标系.
6.（20xx.山东泰安，第20题）（3分）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F．若AB=6，BC=，则FD的长为（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】B．
考点：
1．翻折变换（折叠问题）；2．综合题．
7.（山东菏泽第8题，3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD．若点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为（ ）
A．（﹣1，）B．（﹣2，）C．（，1）D．（，2）
【答案】A．
考点：
1．坐标与图形变化-旋转；2．一次函数图象上点的坐标特征．
8.（20xx·湖北鄂州，8题，3分）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sin∠ECF=（）
A．B．C．D．
【答案】D.
【解析】
试题分析：
由翻折易知BE=EF,因为点E是BC的中点，故BE=EC=6，所以FE=EC=6，∠EFC=∠ECF,再由四边形内角和可求出∠EFC+∠ECF=∠BEF，从而可得∠ECF=∠BEA，进而求得答案.
试题解析：
根据题意得：
BE=EF=6，∠B=∠AFE,∠BEA=∠FEA
∵E是BC的中点
∴BE=EC=6
∴FE=EC=6
∴∠EFC=∠ECF
又∵∠BAF+∠B+∠BEF+∠AFE=360°
∴∠BAF+∠BEF=180°
又∵∠FEC+∠BEF=180°
∠FEC+∠FCE+∠EFC=180°
∴∠ECF=∠BEA
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
AE=
sin∠BEA=
∴sin∠ECF=
故选D.
考点：
翻折问题.
二、填空题
9.（20xx.××市，第18题，4分）已知在中，，．将绕点旋转，使点落在原的点处，此时点落在点处．延长线段，交原的边的延长线于点，那么线段的长等于___________．
【答案】
【解析】
试题分析：
如图，由旋转的性质知，，，过作交于，而，，故.在中，易求得，故，为等腰直角三角形，，所以.
考点：
1.旋转的性质；2.含的直角三角形的性质；3.三角形的内角和.
10.（20xx.宁夏，第13题，3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0,4），△OAB沿x轴向右平移后得到△OAB，点A的对应点A是直线上一点，则点B与其对应点B间的距离为．
【答案】5.
考点：
平移的性质；正比例函数图象上点的特征.
11.（20xx.山东莱芜第16题）在平面直角坐标系中，以点、、为顶点的三角形向上平移3个单位，得到△（点分别为点的对应点），然后以点为中心将△顺时针旋转，得到△（点分别是点的对应点），则点的坐标是.
【答案】（11,7）
考点：
平移与旋转变换
12.（20xx·梅州）如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC=90°，则∠A=°.
【答案】55.
【解析】
试题分析：
∵把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A′B′C，∴∠ACA′=35°，∠A=∠A′，.
∵∠A′DC=90°，∴∠A′=55°.∴∠A=55°.
考点：
1.旋转的性质；2.直角三角形两锐角的关系.
13.（20xx·湖北荆门，16题，3分）在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，将矩形ABCD沿直线l向右翻滚两次至如图所示位置，则点B所经过的路线长是（结果不取近似值）．
【答案】12.5π．
【解析】试题分析：
连接BD．在直角△ABD中，BD==13，则顶点B所经过的路线长：
=12.5π．故答案为：
12.5π．
考点：
1．轨迹；2．弧长的计算；3．旋转的性质．
14.（20xx绵阳）如图，在等边△ABC内有一点D，AD=5，BD=6，CD=4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，则∠CDE的正切值为．
【答案】．
【解析】
试题分析：
∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵△ABD绕A点逆时针旋转得△ACE，∴AD=AE=5，∠DAE=∠BNAC=60°，CE=BD=6，∴△ADE为等边三角形，∴DE=AD=5，过E点作EH⊥CD于H，如图，设DH=x，则CH=4﹣x，在Rt△DHE中，，在Rt△DHE中，，∴，解得x=，∴EH==，在Rt△EDH中，tan∠HDE===，即∠CDE的正切值为．故答案为：
．
考点：
1．旋转的性质；2．等边三角形的性质；3．解直角三角形；4．综合题．
15.（20xx·辽宁沈阳）如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG，EF与AD相交于点H，延长DA交GF于点K．若正方形ABCD边长为，则AK=．
【答案】．
【解析】
考点：
旋转的性质．
16.（20xx·湖南常德）已知A点的坐标为（－1,3），将A点绕坐标原点顺时针90°，则点A的对应点的坐标为
【答案】（3,1）
【解析】
试题分析：
根据题意可知此题是旋转变换题，可根据题意作出草图如下：
由图可知△BCO≌△EDO，故可知BC＝OE，OC＝DE
答案为：
（3,1）
考点：
坐标点的变换规律
三、解答题
17.（20xx·湖北衡阳，23题，分）（本小题满分6分）
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（3，2）、B（3，5）、C（1，2）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC关于轴对称的△A1B1C1；
（2）把△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度，得图中的△AB2C2，点C2在AB上．
①旋转角为多少度？
②写出点B2的坐标．
【答案】
（1）△ABC关于轴对称的△A1B1C1如图所示；
（2）①由图可知，旋转角为90°；
②点B2的坐标为（6，2）．
【解析】
试题分析：
（1）关于x轴对称的点的坐标，横坐标不变，纵坐标互为相反数，描点作图即可；
（2）①AC2与AC的夹角为90°，所以旋转角为90°；②观察旋转可知B2的横坐标是：
A的横坐标+AB的长，其纵坐标为A的纵坐标.
试题解析：
（1）△ABC关于轴对称的△A1B1C1如图所示；
（2）①由图可知，旋转角∠CAC2=90°，即旋转了90°；
②∵A（3，2）、B（3，5）∴AB=5-2=3=AB2，B2的横坐标是3+3=6，B2的纵坐标是2，
∴B2的坐标为（6，2）．
考点：
点的坐标；图形的变换—旋转；作图—图形变化类
18..（20xx.安徽省，第17题，8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，给出了△ABC（顶点是网格线的交点）．
（1）请画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；
（2）将线段AC向左平移3个单位，再向下平移5个单位，画出平移得到的线段A2C2，并以它为一边作一个格点△A2B2C2，使A2B2＝C3B2．
【答案】
（1）见解析；
（2）见解析.
【解析】
试题分析：
（1）根据轴对称作图作出即可；
（2）根据平移的性质作出A2C2,在作出△A2B2C2,使A2C2=C2B2（答案不唯一）.
试题解析：
（1）△A1B1C1如图所示；
（2）线段A2C2和△A2B2C2如图所示（符合条件的△A2B2C2不唯一）．
考点：
轴对称作图；平移的性质.
19.（8分）（20xx•聊城，第19题）在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是（﹣3，﹣1）．
（1）将△ABC沿y轴正方向平移3个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点B1坐标；
（2）画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．
【答案】
（1）点坐标为：
（﹣2，﹣1）；
（2）点的坐标为：
（1，1）
【解析】
试题分析：
（1）直接利用平移的性质得出平移后对应点位置进而得出答案；
（2）利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案．
试题解析：
解：
（1）如图所示：
△，即为所求；点坐标为：
（﹣2，﹣1）；
（2）如图所示：
△，即为所求，点的坐标为：
（1，1）．
考点：
作图-轴对称变换；作图-平移变换
20.（20xx南充）（10分）如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A、B和D的距离分别为1，，，△ADP沿点A旋转至△ABP′，连结PP′，并延长AP与BC相交于点Q．
（1）求证：
△APP′是等腰直角三角形；
（2）求∠BPQ的大小；
（3）求CQ的长．
【答案】
（1）证明见试题解析；
（2）45°；（3）．
试题解析：
（1）∵△ADP沿点A旋转至△ABP′，∴根据旋转的性质可知，△APD≌△AP′B，∴AP=AP′，∠PAD=∠P′AB，∵∠PAD+∠PAB=90°，∴∠P′AB+∠PAB=90°，即∠PAP′=90°，∴△APP′是等腰直角三角形；
（2）由
（1）知∠PAP′=90°，AP=AP′=1，∴PP′=，∵P′B=PD=，PB=，∴，∴∠P′PB=90°，∵△APP′是等腰直角三角形，∴∠APP′=45°，∴∠BPQ=180°﹣90°﹣45°=45°；
（3）作BE⊥AQ，垂足为E，∵∠BPQ=45°，P′B=，∴PE=BE=2，∴AE=2+1=3，∴AB==，BE==2，∵∠EBQ=∠EAB，cos∠EAB=，∴cos∠EBQ=，∴，∴BQ=，∴CQ=－=．
考点：
1．几何变换综合题；2．四边形综合题；3．压轴题．
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