答案 乙
6.（2017·全国Ⅱ卷）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D（X）＝________.
解析 有放回地抽取，是一个二项分布模型，其中p＝0.02，n＝100，则D（X）＝np（1－p）＝100×0.02×0.98＝1.96.
答案 1.96
考点一 离散型随机变量的均值与方差
【例1】（2019·青岛一模）为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：
滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时.
（1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
（2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ（单位：
元），求ξ的分布列与数学期望E（ξ），方差D（ξ）.
解
（1）两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元，
两人都付0元的概率为p1＝×＝，
两人都付40元的概率为p2＝×＝，
两人都付80元的概率为
p3＝×＝×＝，
则两人所付费用相同的概率为p＝p1＋p2＋p3＝＋＋＝.
（2）由题设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ可能取值为0，40，80，120，160，则：
P（ξ＝0）＝×＝；
P（ξ＝40）＝×＋×＝；
P（ξ＝80）＝×＋×＋×＝；
P（ξ＝120）＝×＋×＝；
P（ξ＝160）＝×＝.
ξ的分布列为
ξ
0
40
80
120
160
P
E（ξ）＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80.
D（ξ）＝（0－80）2×＋（40－80）2×＋（80－80）2×＋（120－80）2×＋（160－80）2×＝.
规律方法
（1）求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算.
（2）注意E（aX＋b）＝aE（X）＋b，D（aX＋b）＝a2D（X）的应用.
【训练1】（2017·天津卷）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，.
（1）记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；
（2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.
解
（1）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，
P（X＝0）＝××＝，
P（X＝1）＝××＋××＋××＝，
P（X＝2）＝××＋××＋××＝，
P（X＝3）＝××＝.
所以，随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
随机变量X的数学期望E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
（2）设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为
P（Y＋Z＝1）＝P（Y＝0，Z＝1）＋P（Y＝1，Z＝0）
＝P（Y＝0）P（Z＝1）＋P（Y＝1）P（Z＝0）
＝×＋×＝.
所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为.
考点二 二项分布的均值与方差
【例2】（2019·顺德一模）某市市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列.
（1）求a，b，c的值及居民月用水量在2～2.5内的频数；
（2）根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应将w定为多少？
（精确到小数点后2位）
（3）若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的月用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X，求其分布列及均值.
解
（1）∵前四组频数成等差数列，
∴所对应的也成等差数列，
设a＝0.2＋d，b＝0.2＋2d，c＝0.2＋3d，
∴0.5[0.2＋（0.2＋d）×2＋0.2＋2d＋0.2＋3d＋0.1×3]＝1，
解得d＝0.1，∴a＝0.3，b＝0.4，c＝0.5.
居民月用水量在2～2.5内的频率为0.5×0.5＝0.25.
居民月用水量在2～2.5内的频数为0.25×100＝25.
（2）由题图及
（1）可知，居民月用水量小于2.5的频率为0.7<0.8，
∴为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，
应规定w＝2.5＋≈2.83.
（3）将频率视为概率，设A（单位：
立方米）代表居民月用水量，
可知P（A≤2.5）＝0.7，
由题意，X～B（3，0.7），
P（X＝0）＝C×0.33＝0.027，
P（X＝1）＝C×0.32×0.7＝0.189，
P（X＝2）＝C×0.3×0.72＝0.441，
P（X＝3）＝C×0.73＝0.343，
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.027
0.189
0.441
0.343
∵X～B（3，0.7），∴E（X）＝np＝2.1.
规律方法 二项分布的均值与方差.
（1）如果ξ～B（n，p），则用公式E（ξ）＝np；D（ξ）＝np（1－p）求解，可大大减少计算量.
（2）有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E（aξ＋b）＝aE（ξ）＋b以及E（ξ）＝np求出E（aξ＋b），同样还可求出D（aξ＋b）.
【训练2】（2019·湘潭三模）某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到结果如表所示：
质量（g）
[5，15）
[15，25）
[25，35）
[35，45）
[45，55]
数量（只）
6
10
12
8
4
（1）若购进这批生蚝500kg，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量（所得结果保留整数）；
（2）以频率视为概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4个，记质量在[5，25）间的生蚝的个数为X，求X的分布列及数学期望.
解
（1）由表中的数据可以估算一只生蚝的质量为
（6×10＋10×20＋12×30＋8×40＋4×50）＝28.5（g），
所以购进500kg生蚝，其数量为500000÷28.5≈17544（只）.
（2）由表中数据知，任意挑选一只生蚝，质量在[5，25）间的概率为，
由题意知X的可能取值为0，1，2，3，4，
P（X＝0）＝＝，
P（X＝1）＝C＝，
P（X＝2）＝C＝，
P（X＝3）＝C＝，
P（X＝4）＝＝，
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
∴E（X）＝0×＋×3＋×3＋×4＝.
考点三 均值与方差在决策问题中的应用
【例3】某投资公司在2019年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：
项目一：
新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；
项目二：
通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.
解 若按“项目一”投资，设获利为X1万元.则X1的分布列为
X1
300
－150
P
∴E（X1）＝300×＋（－150）×＝200（万元）.
若按“项目二”投资，设获利X2万元，
则X2的分布列为：
X2
500
－300
0
P
∴E（X2）＝500×＋（－300）×＋0×＝200（万元）.
D（X1）＝（300－200）2×＋（－150－200）2×＝35000，
D（X2）＝（500－200）2×＋（－300－200）2×＋（0－200）2×＝140000.
所以E（X1）＝E（X2），D（X1）这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥.
综上所述，建议该投资公司选择项目一投资.
规律方法 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.
【训练3】计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示，水库年入流量X（年入流量：
一年内上游来水与库区降水之和，单位：
亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.
（1）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；
（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：
年入流量X
4080≤X≤120
X>120
发电机最多可运行台数
1
2
3
若某台发电机运行，则该台发电机年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
解
（1）依题意，得p1＝P（40p2＝P（80≤x≤120）＝＝0.7，
p3＝P（X>120）＝＝0.1.
由二项分布，在未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为
p＝C（1－p3）4＋C（1－p3）3p3＝＋4××＝0.9477.
（2）记水电站年总利润为Y（单位：
万元）.
①安装1台发电机的情形.
由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，
对应的年利润Y＝5000，E（Y）＝5000×1＝5000.
②安装2台发电机的情形.
依题意，当40由此得Y的分布列如下：
Y
4200
10000
P
0.2
0.8
所以，E（Y）＝4200×0.2＋10000×0.8＝8840.
③安装3台发电机的情形.
依题意，当40当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y＝5000×2－800＝9200，因此P（Y＝9200）＝P（80≤X≤120）＝p2＝0.7；
当X>120时，三台发电机运行，此时Y＝5000×3＝15000，因此P（Y＝15000）＝P（X>120）＝p3＝0.1.
因此得Y的分布列如下：
Y
3400
9200
15000
P
0.2
0.7
0.1
所以，E（Y）＝3400×0.2＋9200×0.7＋15000×0.1＝8620.
综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.
[思维升华]
基本方法
1.已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义（公式）求解；
2.已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数Y＝aX＋b的均值、方差和标准差，可直接用均值、方差的性质求解；
3.如能分析所给随机变量服从常用的分布（如二项分布），可直接利用它们的均值、方差公式求解.
[易错防范]
1.在没有准确判断分布列模型之前不能乱套公式.
2.对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的分布列，然后按定义计算出随机变量的均值、方差.
基础巩固题组
（建议用时：
40分钟）
一、选择题
1.已知离散型随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P
则X的数学期望E（X）＝（ ）
A.B.2C.D.3
解析 由数学期望公式可得
E（X）＝1×＋2×＋3×＝.
答案 A
2.已知离散型随机变量X的概率分布列为
X
1
3
5
P
0.5
m
0.2
则其方差D（X）＝（ ）
A.1B.0.6C.2.44D.2.4
解析 由0.5＋m＋0.2＝1得m＝0.3，∴E（X）＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4，∴D（X）＝（1－2.4）2×0.5＋（3－2.4）2×0.3＋（5－2.4）2×0.2＝2.44.
答案 C
3.（2019·宁波期末）一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和n（n∈N*）个黑球.现从中有放回的摸取4次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为X，若D（X）＝1，则E（X）＝（ ）
A.1B.2C.3D.4
解析 由题意，X～B（4，p），∵D（X）＝4p（1－p）＝1，
∴p＝，E（X）＝4p＝4×＝2.
答案 B
4.签盒中有编号为1，2，3，4，5，6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为（ ）
A.5B.5.25C.5.8D.4.6
解析 由题意可知，X可以为3，4，5，6，P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝＝，P（X＝5）＝＝，P（X＝6）＝＝.由数学期望的定义可求得E（X）＝3×＋4×＋5×＋6×＝5.25.
答案 B
5.甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X的期望E（X）为（ ）
A.B.C.D.
解析 依题意，知X的所有可能值为2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为＋＝.
若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有P（X＝2）＝，
P（X＝4）＝×＝，P（X＝6）＝＝，
故E（X）＝2×＋4×＋6×＝.
答案 B
二、填空题
6.已知随机变量ξ的分布列为
ξ
1
2
3
P
0.5
x
y
若E（ξ）＝，则D（ξ）＝________.
解析 由分布列性质，得x＋y＝0.5.
又E（ξ）＝，得2x＋3y＝，可得
D（ξ）＝×＋×＋×＝.
答案
7.（2019·杭州期末）在一次随机试验中，事件A发生的概率为p，事件A发生的次数为ξ，则数学期望E（ξ）＝______，方差D（ξ）的最大值为________.
解析 记事件A发生的次数ξ可能的值为0，1.
ξ
0
1
P
1－p
p
数学期望E（ξ）＝0×（1－p）＋1×p＝p，
方差D（ξ）＝（0－p）2×（1－p）＋（1－p）2×p＝p（1－p）≤.
故数学期望E（ξ）＝p，方差D（ξ）的最大值为.
答案 p
8.一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数字0、两个面上标有数字1、一个面上标有数字2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积X的数学期望是________.
解析 随机变量X的取值为0，1，2，4，
则P（X＝0）＝＝，
P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，
P（X＝4）＝＝，因此E（X）＝.
答案
三、解答题
9.（2019·天津和平区模拟）某班共50名同学，在一次数学考试中全班同学成绩全部在90分到140分之间.将成绩按如下方式分成五组：
第一组：
[90，100），第二组：
[100，110），……，第五组：
[130，140].按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示.将成绩大于或等于100分且小于120分记为“良好”，120分以上记为“优秀”，不超过100分记为“及格”.
（1）求该班学生在这次数学考试中成绩“良好”的人数；
（2）若从第一、五组中共随机取出两个成绩，记X为取得第一组成绩的个数，求X的分布列与数学期望.
解
（1）由频率分布直方图知，成绩在[100，120）内的人数为50×0.016×10＋50×0.038×10＝27，
∴该班学生在这次数学考试中成绩“良好”的人数为27.
（2）由频率分布直方图可知第一组有0.006×10×50＝3个成绩，第五组有0.008×10×50＝4个成绩，即第一、五组中共有7个成绩.
由题意，X的可能取值为0，1，2，
P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，
则X的分布列为
X
0
1
2
P
E（X）＝0×＋1×＋2×＝.
10.（2016·全国Ⅰ卷）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
（1）求X的分布列；
（2）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；
（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？
解
（1）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2.可知X的所有可能取值为16、17、18、19、20、21、22，
P（X＝16）＝0.2×0.2＝0.04；
P（X＝17）＝2×0.2×0.4＝0.16；
P（X＝18）＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；
P（X＝19）＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；
P（X＝20）＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；
P（X＝21）＝2×0.2×0.2＝0.08；
P（X＝22）＝0.2×0.2＝0.04；
所以X的分布列为
X
16
17
18
19
20
21
22
P
0.04
0.16
0.24
0.24
0.2
0.08
0.04
（2）由
（1）知P（X≤18）＝0.44，P（X≤19）＝0.68，故n的最小值为19.
（3）记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：
元）.
当n＝19时，E（Y）＝19×200×0.68＋（19×200＋500）×0.2＋（19×200＋2×500）×0.08＋（19×200＋3×500）×0.04＝4040.
当n＝20时，
E（Y）＝20×200×0.88＋（20×200＋500）×0.08＋（20×200＋2×500）×0.04＝4080.
可知当n＝19时所需费用的期望值小于n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19.
能力提升题组
（建
升级会员 