初高中数学衔接学习专题5 三元一次方程组的解法.docx
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初高中数学衔接学习专题5三元一次方程组的解法
初高中数学衔接学习专题5三元一次方程组的解法
小明手头有12张面额分别为1元，2元，5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍，求1元，2元，5元纸币各多少张．
（1）题目中有几个未知量？
（2）题目中有哪些等量关系？
（3）如何用方程表示这些等量关系？
解：
设1元，2元，5元各x张，y张，z张．
可得方程组
考察该方程组可知：
该方程组中含有3个未知数，并且所含未知数项的次数都是1，像这样的方程组叫做三元一次方程组．
怎样解这个方程组呢？
首先回忆一下二元一次方程组的解法：
我们知道消元法是解二元一次方程组的主要解法，包括代入消元法和加减消元法。
代入消元法是将方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程中，实现消元，进而求出方程组的解的解法，简称代入法。
其主要步骤是：
选择变形，代入消元，解一元方程，返代求值，规范写解；
加减消元法是当两个二元一次方程中同一未知数的系数互为相反数或相同时，把这两个方程两边分别相加或相减，就可消去这个未知数，得到一个一元一次方程，然后进行求解的解法，简称加减法。
消元法就是减少变量的个数，是很重要的数学思想，在三元一次方程组求解过程中同样适用。
先来解决上题中的方程组：
可以把③式分别代入①②，便消去了x，只包含y和z二元了：
【例题1】解三元一次方程组
【解】②×3+③，得11x+10z=35④．
①与④组成方程组
把x=5，z=-2代入②，得y=
．
因此，三元一次方程组的解为
【小结】此方程组的特点是①不含y，而②③中y的系数为整数倍关系，因此用加减法从②③中消去y后，再与①组成关于x和z的二元一次方程组的解法最合理．反之用代入法运算较烦琐．
①
②
③
【例题2】解方程组
【解法一】由②，得x＝y+1④
⑤
⑥
将④分别代入①、③得
解这个方程组，得
把y＝9代入④，得x＝10
所以，方程组的解为：
【解法二】③—①，得x-2y＝－8④
②
④
由②，④组成方程组
解这个方程组，得
把x＝10，y＝9代入①中，得y＝7
所以，方程组的解为：
【解法三】由①+②-③，得y＝9
把y＝9代入②，得x＝10
把x＝10，y＝9代入①，得z＝7
所以，方程组的解为：
【小结】从上述问题的一题多解，使我们体会到，灵活运用代入法或加减法消元，将有助于我们迅速求解方程组。
解法一是将②变形后代入①、③中消元，再求解；解法二是注意到方程组中方程②只含有未知数x、y，是一个二元一次方程，而①、③中z的系数相等，可以直接消去z，得到关于x、y的方程和②组成二元一次方程组；解法三是进一步观察这三个方程中未知数系数间的对应关系从而发现①+②所得的方程中x与z的系数与方程③中x与z的系数分别对应相等，因此可由①+②-③直接得到关于y的一元一次方程，求出y值后再代回即可。
①②③
【例题3】解方程组
【解】由①②，得x:
y:
z＝8:
5:
2.
设x＝8k，y＝5k，z＝2k，代入③，得
24k+10k-14k＝20，解得k＝1.
∴x＝8，y＝5，z＝2.
∴方程组的解为
【小结】本题解法是减元思想的运用，用k表示x,y,z后，实际上只剩下一个未知数k，只需解一元一次方程即可.
【例题4】已知一元二次函数y=ax2+bx+c的图像过点（-1,0），（2,3），（5,60），求函数解析式．
【解】由题意，得三元一次方程组
②-①，得a+b=1，④
③-①，得4a+b=10．⑤
④与⑤组成二元一次方程组
．
解得
把a=3，b=-2代入①，得c=-5．
因此，
答：
a=3，b=-2，c=-5．
【小结】点在函数的图像上就是点的坐标适合函数解析式，也就是关于x,y的方程，由3个点在图像上得以得到三个方程，形成三元一次方程组进行求解。
【例题5】在一次有12队参加的足球循环赛（每两队之间只赛一场）中，规定胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分.某队在这次循环赛中所胜场数比所负场数多2场，结果共积18分，问该队战平几场？
①②③
【解】设该队胜x场，平y场，负z场
由题意得
①+②得
④
由③④联立方程组解得
代入①有
【小结】题目只要求求战平几场，但是分析看来题目中有三个未知量：
胜、负、平的场数，同时也存在三个相等关系，即胜、负、平的场数之和为11，胜场数比负场数多2场，11场比赛的积分为18分。
因此，将三个未知量都设出，可得到一个三元一次方程组.
【练习】
1、解方程组
时先消去未知数____________较简单。
2、已知
则x+y+z=______________
3、解下列三元一次方程组：
4、解方程组
5、在y=ax2+bx+c中，当x=1，2，3时，y=0，3，28，求a，b，c的值．当x=-1时，y的值是多少？
6、甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大，乙数的
等于丙数的
，求这三个数．
7、已知方程组
相同，求a，b，c的值．
【练习】答案
1、y和z。
2、3
3、
，
，
，
。
4、提示：
将①②变为x=
y，z=
y后求解．答案：
5、解：
由题意，得
所以y=11x2-30x+19．
所以当x=-1时，y=11×（-1）2-30×（-1）+19=60．
6、解：
设甲、乙、丙三个数分别为x、y、z，则
即甲、乙、丙三数分别为10、15、10．
7、解：
解方程组
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