高考解答题专项训练6 高三数学文科大一轮复习创新方案.docx
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高考解答题专项训练6高三数学文科大一轮复习创新方案
高考解答题专项训练（六） 概率与统计
1．A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：
小时）：
（1）试估计C班的学生人数；
（2）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取1人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率．
解：
（1）由题意及分层抽样可知，C班的学生人数约为100×
＝100×
＝40.
（2）设事件Ai为“甲是现有样本中A班的第i个人”，i＝1,2，…，5，事件Cj为“乙是现有样本中C班的第j个人”，j＝1,2，…，8.
由题意可知，P（Ai）＝
，i＝1,2，…，5；P（Cj）＝
，j＝1,2，…，8.
P（AiCj）＝P（Ai）P（Cj）＝
×
＝
，i＝1,2，…，5，j＝1,2，…，8.
设事件E为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”，由题意知，
E＝A1C1∪A1C2∪A2C1∪A2C2∪A2C3∪A3C1∪A3C2∪A3C3∪A4C1∪A4C2∪A4C3∪A5C1∪A5C2∪A5C3∪A5C4.
因此P（E）＝P（A1C1）＋P（A1C2）＋P（A2C1）＋P（A2C2）＋P（A2C3）＋P（A3C1）＋P（A3C2）＋P（A3C3）＋P（A4C1）＋P（A4C2）＋P（A4C3）＋P（A5C1）＋P（A5C2）＋P（A5C3）＋P（A5C4）＝15×
＝
.
2．某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民．根据这50位市民对这两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：
（1）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；
（2）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；
（3）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．
解：
.
（1）由所给茎叶图知，50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25,26位的是75,75，故样本中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75.
50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25,26位的是66,68，故样本中位数为
＝67，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67.
（2）由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为
＝0.1，
＝0.16，故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1,0.16.
（3）解法一：
由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．
解法二：
由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的平均数高于对乙部门的评分的平均数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大.
3．（2019·湖南湘潭一中、长沙一中等六校联考）长沙某购物中心在开业之后，为了解消费者购物金额的分布情况，在当月的电脑消费小票中随机抽取n张进行统计，将结果分成6组，分别是[0,100），[100,200），[200,300），[300,400），[400,500），[500,600]，制成如图所示的频率分布直方图（假设消费金额均在[0,600]元的区间内）．
（1）若按分层抽样的方法在消费金额为[400,600]元区间内抽取6张电脑小票，再从中任选2张，求这2张小票均来自[400,500）元区间的概率；
（2）为做好五一劳动节期间的商场促销活动，策划人员设计了两种不同的促销方案．
方案一：
全场商品打八折．
方案二：
全场购物满100元减20元，满300元减80元，满500元减120元，以上减免只取最高优惠，不重复减免．利用直方图的信息分析：
哪种方案优惠力度更大，并说明理由（直方图中每个小组取中间值作为该组数据的替代值）．
解：
（1）由题意知，在[400,500）元区间内抽4张，分别记为a，b，c，d，在[500,600]元区间内抽2张，分别记为E、F，
设“2张小票均来自[400,500）元区间”为事件A，
从中任选2张，有以下选法：
ab、ac、ad、aE、aF、bc，bd、bE、bF、cd、cE、cF、dE、dF、EF，共15种，
其中，2张小票均来自[400,500）元区间的有ab、ac、ad、bc、bd、cd，共6种，
∴P（A）＝
.
（2）解法一：
由频率分布直方图可知，各组频率依次为0.1，0.2，0.25,0.3,0.1,0.05.
方案一：
购物的平均费用为0.8×（50×0.1＋150×0.2＋250×0.25＋350×0.3＋450×0.1＋550×0.05）＝0.8×275＝220（元）．
方案二：
购物的平均费用为50×0.1＋130×0.2＋230×0.25＋270×0.3＋370×0.1＋430×0.05＝228（元）．
∵220<228，∴方案一的优惠力度更大．
解法二：
由频率分布直方图可知，各组频率依次为0.1，0.2，0.25,0.3,0.1,0.05，
方案一：
平均优惠金额为0.2×（50×0.1＋150×0.2＋250×025＋350×0.3＋450×0.1＋550×0.05）＝0.2×275＝55（元）．
方案二：
平均优惠金额为20×（0.2＋0.25）＋80×（0.3＋0.1）＋120×0.05＝47（元）．
∵55＞47，∴方案一的优惠力度更大．
4．（2019·齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学高考冲刺模拟）某地级市共有200000名中小学生，其中有7%的学生在2017年享受了“国家精准扶贫”政策，在享受“国家精准扶贫”政策的学生中困难程度分为三个等次：
一般困难、很困难、特别困难，且人数之比为5∶3∶2，为进一步帮助这些学生，当地市政府设立“专项教育基金”，对这三个等次的困难学生每年每人分别补助1000元、1500元、2000元．经济学家调查发现，当地人均可支配收入较上一年每增加n%，一般困难的学生中有3n%会脱贫，脱贫后将不再享受“国家精准扶贫”政策，很困难的学生中有2n%转为一般困难，特别困难的学生中有n%转为很困难．现统计了该地级市2013年到2017年共5年的人均可支配收入，对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中统计量的值，其中年份x取13时代表2013年，x与y（万元）近似满足关系式y＝C1·2C2x，其中C1，C2为常数．（2013年至2019年该市中学生人数大致保持不变）
其中ki＝log2yi，
＝
i.
（1）估计该市2018年人均可支配收入；
（2）求该市2018年的“专项教育基金”的财政预算大约为多少．
附：
①对于一组具有线性相关关系的数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线方程
＝
u＋
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
＝
，
＝
－
.
②
2－0.7
2－0.3
20.1
21.7
21.8
21.9
0.6
0.8
1.1
3.2
3.5
3.73
解：
（1）因为
＝
×（13＋14＋15＋16＋17）＝15，
所以
（xi－
）2＝（－2）2＋（－1）2＋02＋12＋22＝10.
由k＝log2y得k＝log2C1＋C2x，
所以C2＝
＝
，
log2C1＝
－C2
＝1.2－
×15＝－0.3，
所以C1＝2－0.3＝0.8，所以y＝0.8×2
，当x＝18时，y＝0.8×21.8＝0.8×3.5＝2.8（万元）．即该市2018年人均可支配收入为2.8万元．
（2）由题意知2017年时该市享受“国家精准扶贫”政策的学生共有200000×7%＝14000人，
一般困难、很困难、特别困难的中学生依次有7000人、4200人、2800人，2018年人均可支配收入比2017年增长
＝20.1－1＝0.1＝10%，
所以2018年该市特别困难的中学生有2800×（1－10%）＝2520人，
很困难的学生有4200×（1－20%）＋2800×10%＝3640人，
一般困难的学生有7000×（1－30%）＋4200×20%＝5740人．
所以2018年的“专项教育基金”的财政预算大约为5740×1000＋3640×1500＋2520×2000＝16240000（元）．
5．（2019·西安八校联考）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55,65），[65,75），[75,85]内的频率之比为4∶2∶1.
（1）求这些产品质量指标值落在区间[75,85]内的频率；
（2）用分层抽样的方法在区间[45,75）内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取2件产品，求这2件产品都在区间[45,65）内的概率．
解：
（1）设质量指标值落在区间[75,85]内的频率为x，
则质量指标值落在区间[55,65），[65,75）内的频率分别为4x,2x.
依题意得（0.004＋0.012＋0.019＋0.030）×10＋4x＋2x＋x＝1，
解得x＝0.05.
所以质量指标值落在区间[75,85]内的频率为0.05.
（2）由频率分布直方图及
（1）得，质量指标值落在区间[45,55），[55,65），[65,75）内的频率分别为0.3,0.2,0.1.
用分层抽样的方法在区间[45,75）内抽取一个容量为6的样本，则在区间[45,55）内应抽取6×
＝3件，记为A1，A2，A3；
在区间[55,65）内应抽取6×
＝2件，记为B1，B2；
在区间[65,75）内应抽取6×
＝1件，记为C.
设“从样本中任意抽取2件产品，这2件产品都在区间[45,65）内”为事件M，则所有的基本事件有：
（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C），（B1，B2），（B1，C），（B2，C），共15种，
事件M包含的基本事件有：
（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），共10种，
所以这2件产品都在区间[45,65）内的概率P（M）＝
＝
.
6．（2019·湖南长沙雅礼中学、河南省实验中学联考）环境问题是当今世界共同关注的问题，我国环保总局根据空气污染指数PM2.5浓度，制定了空气质量标准：
某市政府为了打造美丽城市，节能减排，从2010年开始考察了连续六年11月份的空气污染指数，绘制了频率分布直方图，经过分析研究，决定从2016年11月1日起在空气质量重度污染和严重污染的日子对机动车辆限号出行，即车牌尾号为单号的车辆单号出行，车牌尾号为双号的车辆双号出行（尾号是字母的，前13个视为单号，后13个视为双号）．王先生有一辆车，若11月份被限行的概率为0.05.
（1）求频率分布直方图中m的值；
（2）若按分层抽样的方法，从空气质量良好与中度污染的天气中抽取6天，再从这6天中随机抽取2天，求至少有一天空气质量是中度污染的概率；
（3）该市环保局为了调查汽车尾气排放对空气质量的影响，对限行两年来的11月份共60天的空气质量进行统计，其结果如下表：
根据限行前6年180天与限行后60天的数据，计算并填写2×2列联表，并回答是否有90%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关.
空气质量优、良
空气质量污染
合计
限行前
限行后
合计
参考数据：
P（K2＞k0）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
参考公式：
K2＝
，其中n＝a＋b＋c＋d.
解：
（1）因为限行分单双号，王先生的车被限行的概率为0.05，
所以空气重度污染和严重污染的概率应为0.05×2＝0.1.
由频率分布直方图可知（0.004＋0.006＋0.005＋m）×50＋0.1＝1.解得m＝0.003.
（2）因为空气质量良好与中度污染的天气的概率之比为0.3∶0.15＝2∶1.
按分层抽样的方法从中抽取6天，则空气质量良好的天气被抽取的有4天，记作A1，A2，A3，A4，
空气中度污染的天气被抽取的有2天，记作B1，B2，
从这6天中随机抽取2天，所包含的基本事件有（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，A4），（A2，B1），（A2，B2），（A3，A4），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2），（B1，B2），共15个，
记事件A为“至少有一天空气质量是中度污染”，则事件A所包含的基本事件有（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2），（B1，B2），共9个，
故P（A）＝
＝
，即至少有一天空气质量是中度污染的概率为
.
（3）2×2列联表如下：
空气质量优、良
空气质量污染
合计
限行前
90
90
180
限行后
38
22
60
合计
128
112
240
由表中数据可得，K2＝
≈3.214＞2.706，
所以有90%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关．
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