届高三数学一轮第九章 算法初步统计与统计案例 第3节.docx

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届高三数学一轮第九章算法初步统计与统计案例第3节

第九章第3节

[基础训练组]

1．（导学号14577866）有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：

[11.5,15.5）　2　[15.5,19.5）　4　[19.5,23.5）　9

[23.5,27.5）　18　[27.5,31.5）　11　[31.5,35.5）　12

[35.5,39.5）　7　[39.5,43.5）　3

根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5,43.5）的概率约是（　　）

A.　　　　　　　　　　B.

C.D.

解析：

B　[由条件可知，落在[31.5,43.5）的数据有12＋7＋3＝22（个），故所求概率约为＝.故选B.]

2．（导学号14577867）（2018·大连模拟）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，一般情况下PM2.5浓度越大，大气环境质量越差．如图所示的茎叶图表示的是某市甲、乙两个监测站连续10日内每天的PM2.5浓度读数（单位：

μg/m3），则下列说法正确的是（　　）

A．甲、乙监测站读数的极差相等

B．乙监测站读数的中位数较大

C．乙监测站读数的众数与中位数相等

D．甲、乙监测站读数的平均数相等

解析：

C　[因为甲、乙监测站读数的极差分别为55,57，所以A错误；甲、乙监测站读数的中位数分别为74,68，所以B错误；乙监测站读数的众数与中位数都是68，所以C正确，因此选C.]

3．（导学号14577868）（2018·丹东市、鞍山市、营口市一模）设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi＝xi＋a（a为非零常数，i＝1,2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（　　）

A．1＋a,4B．1＋a,4＋a

C．1,4D．1,4＋a

解析：

A　[方法1：

∵yi＝xi＋a，∴E（yi）＝E（xi）＋E（a）＝1＋a，方差D（yi）＝D（xi）＋E（a）＝4.

方法2：

由题意知yi＝xi＋a，则＝（x1＋x2＋…＋x10＋10×a）＝（x1＋x2＋…＋x10）＝＋a＝1＋a，方差s2＝[（x1＋a－（＋a）2＋（x2＋a－（＋a）2＋…＋（x10＋a－（＋a）2]＝[（x1－）2＋（x2－）2＋…＋（x10－）2]＝s2＝4.故选A.]

4．（导学号14577869）为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，测试成绩（单位：

分）如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为mo，平均值为，则（　　）

A．me＝mc＝B．me＝mo＜

C．me＜mo＜D．mo＜me＜

解析：

D　[由图可知，30名学生的得分情况依次为得3分的有2人，得4分的有3人，得5分的有10人，得6分的有6人，得7分的有3人，得8分的有2人，得9分的有2人，得10分的有2人．中位数为第15、16个数（分别为5、6）的平均数，即me＝5.5,5出现的次数最多，故mo＝5，＝≈5.97.于是得mo＜me＜.故选D.]

5．（导学号14577870）（2018·柳州市、钦州市一模）甲、乙、丙三名同学6次数学测试成绩及班级平均分（单位：

分）如表：

第一次

第二次

第三次

第四次

第五次

第六次

甲

95

87

92

93

87

94

乙

88

80

85

78

86

72

丙

69

63

71

71

74

74

全班

88

82

81

80

75

77

下列说法错误的是（　　）

A．甲同学的数学学习成绩高于班级平均水平，且较稳定

B．乙同学的数学成绩平均值是81.5

C．丙同学的数学学习成绩低于班级平均水平

D．在6次测验中，每一次成绩都是甲第一、乙第二、丙第三

解析：

D　[由统计表知：

甲同学的数学学习成绩高于班级平均水平，且较稳定，选项A正确；乙同学的数学成绩平均值是（88＋80＋85＋78＋86＋72）＝81.5，选项B正确；丙同学的数学学习成绩低于班级平均水平，选项C正确；在第6次测验成绩是甲第一、丙第二、乙第三，选项D错误．故选D.]

6．（导学号14577871）（2018·济宁市一模）如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率依次成等差数列，第2小组的频数为10，则抽取的学生人数为　________　.

解析：

前3个小组的频率和为1－（0.0375＋0.0125）×5＝0.75，

所以第2小组的频率为×0.75＝0.25所以抽取的学生人数为＝40.

答案：

40

7．（导学号14577872）（2018·兰州市调研）某市教育行政部门为了对某届高中毕业生学业水平进行评价，从该市高中毕业生中随机抽取1000名学生的学业水平考试数学成绩作为样本进行统计．已知该样本中的每个值都是[40,100]中的整数，且在[40,50），[50,60），[60,70），[70,80），[80,90），[90,100]上的频率分布直方图如图所示．记这1000名学生学业水平考试数学平均成绩的最小值（平均数的最小值是用区间的左端点值乘以各组的频率）为a，则a的值为　________　.

解析：

平均数的最小值是用区间的左端点值乘以各组的频率，于是a＝0.005×10×40＋0.010×10×50＋0.025×10×60＋0.035×10×70＋0.015×10×80＋0.010×10×90＝67.5.

答案：

67.5

8．（2018·成都市一诊）甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被污损，记甲，乙的平均成绩分别为甲，乙，则甲>乙的概率是____________________．

解析：

由已知中的茎叶图可得乙的5次综合测评中的成绩分别为87,86,92,94,91，则乙的平均成绩乙＝（87＋86＋92＋94＋91）＝90.

设污损数字为x，则甲的5次综合测评中的成绩分别为85,87,84,99,90＋x，

甲的平均成绩甲＝（85＋87＋84＋99＋90＋x）＝89＋，

因为甲>乙，所以90<89＋，x∈N，解得x的可能取值为6,7,8,9，所以甲>乙的概率是p＝＝.

答案：

9．（导学号14577873）（2018·赣州市二模）某经销商从外地一水殖厂购进一批小龙虾，并随机抽取40只进行统计，按重量分类统计结果如下图：

（1）记事件A为：

“从这批小龙虾中任取一只，重量不超过35g的小龙虾”，求P（A）的估计值；

（2）试估计这批小龙虾的平均重量；

（3）为适应市场需求，制定促销策略．该经销商又将这批小龙虾分成三个等级，并制定出销售单价，如下表：

等级

一等品

二等品

三等品

重量（g）

[5,25）

[25,35）

[35,55]

单价（元/只）

1.2

1.5

1.8

试估算该经销商以每千克至多花多少元（取整数）收购这批小龙虾，才能获得利润？

解：

（1）由于40只小龙虾中重量不超过35g的小龙虾有6＋10＋12＝28（只），所以P（A）＝＝.

（2）从统计图中可以估计这批小龙虾的平均重量为（6×10＋10×20＋12×30＋8×40＋4×50＝）＝28.5（克）．

（3）设该经销商收购这批小龙虾每千克至多x元．根据样本，由

（2）知，这40只小龙虾中一等品、二等品、三等品各有16只、12只、12只，约有1140g即1.14千克，

所以1140x≤16×1.2＋12×1.5＋12×1.8，

而≈51.6，

故可以估计该经销商收购这批小龙虾每千克至多51元．

10．（导学号14577874）（文科）甲、乙两人参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，画出茎叶图如图所示，乙的成绩中有一个数个位数字模糊，在茎叶图中用c表示．（把频率当作概率）

（1）假设c＝5，现要从甲，乙两人中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度，你认为派哪位学生参加比较合适？

（2）假设数字c的取值是随机的，求乙的平均分高于甲的平均分的概率．

解：

（1）若c＝5，则派甲参加比较合适，理由如下：

甲＝（70×2＋80×4＋90×2＋9＋8＋8＋4＋2＋1＋5＋3）＝85，

乙＝（70×1＋80×4＋90×3＋5＋3＋5＋2＋5）＝85，

s＝[（78－85）2－（79－85）2＋（81－85）2＋（82－85）2＋（84－85）2＋（88－85）2＋（93－85）2＋（95－85）2]＝35.5，

s＝[（75－85）2＋（80－85）2＋（80－85）2＋（83－85）2＋（85－85）2＋（90－85）2＋（92－85）2＋（95－85）2]＝41.

因为甲＝乙，s

所以两人的平均成绩相等，但甲的成绩比较稳定，派甲参加比较合适．

（2）若乙>甲，

则（75＋80×4＋90×3＋3＋5＋2＋c）>85，

所以c>5

所以c＝6,7,8,9.

c的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，

所以乙的平均分高于甲的平均分的概率为.

10．（导学号14577875）（理科）未来制造业对零件的精度要求越来越高.3D打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件．该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有广阔的发展空间．某制造企业向A高校3D打印实验团队租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件．该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10件零件，度量其内径的茎叶图如图所示（单位：

μm）．

（1）计算平均值μ与标准差σ；

（2）假设这台3D打印设备打印出品的零件内径Z服从正态分布N（μ，σ2），该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件，度量其内径分别为（单位：

μm）：

86、95、103、109、118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？

参考数据：

P（μ－2σ＜Z＜μ＋2σ）＝0.9544，P（μ－3σ＜Z＜μ＋3σ）＝0.9974,0.95443＝0.87,0.99744＝0.99，

0．04562＝0.002.

解：

（1）平均值μ＝100＋

＝105.

标准差σ＝＝6.

（2）假设这台3D打印设备打印出品的零件内径Z服从正态分布N（105,62），

∴P（μ－2σ＜Z＜μ＋2σ）＝P（93＜Z＜117）＝0.9544，可知：

落在区间（93,117）的数据有3个：

95、103、109，因此满足2σ的概率为：

0．95443×0.04562≈0.0017.

P（μ－3σ＜Z＜μ＋3σ）＝P（87＜Z＜123）＝0.9974，可知：

落在区间（87,123）的数据有4个：

95、103、109、118，因此满足3σ的概率为：

0．99744×0.0026≈0.0026.

由以上可知：

此打印设备不需要进一步调试．

[能力提升练]

11．（导学号14577876）（2018·益阳市模拟）为了了解某校九年级1600名学生的体能情况，随机抽查了部分学生，测试1分钟仰卧起坐的成绩（次数），将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图，根据统计图的数据，下列结论错误的是（　　）

A．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为26.25

B．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为27.5

C．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30的人数约为320

D．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数约为32

解析：

D　[由频率分布直方图可知，中位数是频率分布直方图面积等分线对应的数值，是26.25；众数是最高矩形的中间值27.5；1分钟仰卧起坐的次数超过30的频率为0.2，所以估计1分钟仰卧起坐的次数超过30的人数为320；1分钟仰卧起坐的次数少于20的频率为0.1，所以估计1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数为160.故D错．]

12．（导学号14577877）（2018·广东惠州第二调研）惠州市某机构对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[20,45）岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是（　　）

A．31.6岁B．32.6岁

C．33.6岁D．36.6岁

解析：

C　[由面积和为1，知[25,30）的频率为0.2，为保证中位数的左右两边面积都是0.5，必须把[30,35）的面积0.35划分为0.25＋0.1，此时划分边界为30＋5×＝33.57，故选C.]

13．（导学号14577878）（2018·南昌市模拟）在一次演讲比赛中，6位评委对一名选手打分的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分和一个最低分，得到一组数据xi（1≤i≤4），在如图所示的程序框图中，是这4个数据的平均数，则输出的v的值为　________　.

解析：

根据题意得到的数据为78,80,82,84，则＝81.该程序框图的功能是求以上数据的方差，故输出的v的值为[（78－81）2＋（80－81）2＋（82－81）2＋（84－81）2]＝5.

答案：

5

14．（导学号14577879）（理科）（2018·马鞍山市一模）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它是形成雾霾天气的主要原因之一．PM2.5日均值越小，空气质量越好.2012年2月29日，国家环保部发布的《环境空气质量标准》见表：

针对日趋严重的雾霾情况各地环保部门做了积极的治理．马鞍山市环保局从市区2017年11月～12月和2018年11月～12月的PM2.5检测数据中各随机抽取15天的数据来分析治理效果．样本数据如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）

PM2.5日均值k（微克）

空气质量等级

k≤35

一级

35＜k≤75

二级

k＞75

超标

（1）分别求这两年样本数据的中位数和平均值，并以此推断2019年11月～12月的空气质量是否比2018年同期有所提高？

（2）在2019年的样本数据中随机抽取3天，以X表示抽到空气质量为一级的天数，求X的分布列与期望．

解：

（1）2018年数据的中位数是58，平均数是

≈57.3

2017年数据的中位数是51，平均数是

≈46.3.

2019年11月～12月比2018年11月～12月的空气质量有提高．

（2）2019年的15个数据中有4天空气质量为一级，故X的所有可能取值是0,1,2,3，

利用P（X＝k）＝可得：

P（X＝0）＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝.

X

0

1

2

3

P

E（X）＝0＋1×＋2×＋3×＝.

14．（导学号14577880）（文科）（2018·渭南市二模）我国是世界严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准x（吨），用水量不超过x的部分按平价收费，超过x的部分按议价收费，为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月用水量（单位：

吨），将数据按照[0,0.5），[0.5,1），…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．

（1）求直方图中a的值；

（2）已知该市有80万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；

（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由．

解：

（1）由频率分布直方图，可得（0.08＋0.16＋a＋0.40＋0.52＋a＋0.12＋0.08＋0.04）×0.5＝1，解得a＝0.30.

（2）由频率分布直方图可知，100位居民每人月用水量不低于3吨的人数为（0.12＋0.08＋0.04）×0.5×100＝12，由以上样本频率分布，可以估计全市80万居民中月均用水量不低于3吨的人数为800000×＝96000.

（3）∵前6组的频率之和为（0.08＋0.16＋0.30＋0.40＋0.52＋0.30）×0.5＝0.88＞0.85，而前5组的频率之和为（0.08＋0.16＋0.30＋0.40＋0.52）×0.5＝0.73＜0.85，∴2.5≤x＜3.

由0.3×（x－2.5）＝0.85－0.73，解得x＝2.9，

因此，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．