大学物理913课后作业答案.docx
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大学物理913课后作业答案
第八章
RO
8-7一个半径为的均匀带电半圆环，电荷线密度为,求环心处点的场强．
dlRd
解:
如8-7图在圆上取
题8-7图
dqdlRO
d
，它在点产生场强大小为
dE
Rd
4
π
2
R
0
方向沿半径向外
则
dExdEsinsind
4π0R
dEydEcos（）
4
π
0R
cos
d
积分
Ex
sind
04R2π
π
0
0
R
Ey
0πR
40
cos
d
0
EEx
2Rx
π
0
∴，方向沿轴正向．
lqr
8-8均匀带电的细线弯成正方形，边长为，总电量为．
（1）求这正方形轴线上离中心为
ErlqE处的场强；
（2）证明：
在处，它相当于点电荷产生的场强．
q
解:
如8-8图示，正方形一条边上电荷在点产生物强方向如图，大小为
PdEP
4
dEP
cos
4
π
0
1
r
l
2
cos
2
l
4
2
2
cos
1
2
l2
r
2
∵
cos
2cos
1
dEP
4
π
0
r
2
2
l
4
r
2
l
2
l
2
∴
dEdEdEPcos
P
在垂直于平面上的分量
dE
4
π
0
r
2
l
2
l
4
r
2
l
2
2
r
2
r
2
l
4∴
题8-8图
由于对称性，点场强沿方向，大小为
POP
EP4dE
4
π
（
0
r
2
4
l
lr
2
）
4
2
l2
r
2
q
4l∵
qr
EP
22
ll
22
4（r）r
π
0
42
∴方向沿
OP
5
10-3
8-10均匀带电球壳内半径6cm，外半径10cm，电荷体密度为2×C·m
8cm,12cm各点的场强．
求距球心5cm，
q
EdS
s
0
解:
高斯定理,
E
4πr
2
0
q
rcmq0E0
5
当时，,
4
π
p3
3
rcmq3
8
（rr）
内
时，
4
π
32
rr
内
3
E
2
4
πr
41
3.4810NC
∴，方向沿半径向外．
0
4
π
q（3
3
rr内）
r123
cm时,
外
4
π
33
rr
外内
3
4
E4.1010
2
4r
π
1
NC
∴沿半径向外.
0
RR2R2R1
8-11半径为和（＞）的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量和-
1
rR1RrRr
R
试求:
（1）＜；
（2）＜＜；（3）＞处各点的场强．
122
解:
高斯定理
E
s
dS
q
0
S2πrl取同轴圆柱形高斯面，侧面积
则
E
S
dSE
2rl
π
对
（1）
rq0,E0
R
1
（2）
Rql
1rR
2
E
2r
π
0
∴沿径向向外
（3）
rq0
R
2
E0∴
题8-12图
8-12两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为和，试求空间各处场
12
强．
解:
如题8-12图示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为与，
12
两面间，
1
E（）n
12
2
0
1
面外，
1
E（）n
12
2
0
2
面外，
1
E（）n
12
2
0
n12
：
垂直于两平面由面指为面．
RrR
8-13半径为的均匀带电球体内的电荷体密度为,若在球内挖去一块半径为＜的
OO
小球体，如题8-13图所示．试求：
两球心与点的场强，并证明小球空腔内的电场是
均匀的．
解:
将此带电体看作带正电的均匀球与带电的均匀小球的组合，见题8-13图（a）．
OE0
（1）球在点产生电场，
10
O
球在点产生电场
4
3
3
π
r
E20OO'
3
4d
π
0
3
r
E0OO'
3
3d
O
∴点电场；
0
O
（2）在产生电场
4
d
3
3
E1OO
03
4d
π
0
'
O0
E
20
球在产生电场
E
03
O0
∴点电场
OO'
题8-13图（a）题8-13图（b）
（3）设空腔任一点相对的位矢为，相对点位矢为（如题8-13（b）图）
POrOr
r
EPO
3
则0，
EPO
3
r
0,
∴
EPEPOEPO
3
（rr）OO'
033
0033
d
0
∴腔内场强是均匀的．
题8-16图
ABqqAB
8-16如题8-16图所示，在，两点处放有电量分别为+,-的点电荷，间距离
Rq0OC
为2，现将另一正试验点电荷从点经过半圆弧移到点，求移动过程中电场力作的
功．
解:
如题8-16图示
1
qq
U（）0
O
4
π
RR0
1
qq
U）
（
O
4
π
3RR
0
q
6
π
0
R
∴
A
q（UU
0OC
）
qq
o
6
π
R
0
8-17如题8-17图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为的正电荷,两直导线的长度和
RO半圆环的半径都等于．试求环中心点处的场强和电势．
ABCDO
解:
（1）由于电荷均匀分布与对称性，和段电荷在点产生的场强互相抵消，取
dlRd
dqRdOdEOy
则产生点如图，由于对称性，点场强沿轴负方向
题8-17图
EEy
d2
2
Rd
4
π
2
0R
cos
4sin
（2）sin2
πR
0
［］
2
π
0
R
（2）电荷在点产生电势，以
ABOU0
U
A
dx2R
dx
1ln2
B4x
πππ
R4x4
000
CD
同理产生
U
2
40
π
ln
2
半圆环产生
U
π
R
34π4
R
0
0
UO
UUUln2
1234
2
π
0
∴
0
ABC2ABAC
，和相距4.0mm，与相距8-22三个平行金属板，和的面积都是200cm
3.49mm．，都接地，如题8-22图所示．如果使板带正电3.0×10
BCA
-7C，略去边缘效应，
问板和板上的感应电荷各是多少?
以地的电势为零，则板的电势是多少?
BCA
A12解:
如题8-22图示，令板左侧面电荷面密度为，右侧面电荷面密度为
题8-22图
UACU
（1）∵，即
AB
∴
EACdEd
ACAB
AB
∴
1
2
E
E
AC
AB
d
d
AB
AC
2
qA
12S且+
得
qA
2S
3
1
2qA
3S
而
2
qC1Sq210
A
3
7
C
7
qB2S110C
（2）
U
AE
AC
dACAC1d2.310
1d2.310
3
0
V
RR2R1R2q
8-23两个半径分别为和（＜）的同心薄金属球壳，现给内球壳带电+，试
1
计算：
（1）外球壳上的电荷分布及电势大小；
（2）先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的电荷分布及电势；
qqq
解:
（1）内球带电；球壳内表面带电则为,外表面带电为，且均匀分布，其电势
题8-23图
qdrq
UEdr
2
RRπR
40r4π
22
0
qq
（2）外壳接地时，外表面电荷入地，外表面不带电，内表面电荷仍为．所以球壳电
qq
势由内球与内表面产生：
U
qq
40R240R2
ππ
0
RR2
8-27在半径为的金属球之外包有一层外半径为的均匀电介质球壳，介质相对介电常
1
rQ
数为，金属球带电．试求：
（1）电介质内、外的场强；
（2）电介质层内、外的电势；
（3）金属球的电势．
解:
利用有介质时的高斯定理
D
S
dSq
（R1rR2）
（1）介质内场强
D
QrQr
E
3内4π
4rr
π
0r
3
;
（rR2）
介质外场强
QrQr
D,E外
34π
4rr
π
0
3
（rR2）
（2）介质外电势
U
Q
Edr
外
r4π
r
0
（R1rR2）
介质内电势
U
r
E
内
dr
r
E
外
dr
q11Q
（）
4RR
π
0r4π
r202
Q1r
（
40rR2
π
r
1
）
（3）金属球的电势
R
2
UE内drE外
R1R
2
dr
R
2
QdrQdr
R
4π
2
0rR4πr
r
0
2
2
Q1r
（
40R1R2
π
r
1
）
8-28如题8-28图所示，在平行板电容器的一半容积内充入相对介电常数为的电介质．试
r
求：
在有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷面密度的比值．
EE1
解:
如题8-28图所示，充满电介质部分场强为，真空部分场强为，自由电荷面密度
2
分别为2与1
DdSq
0
由得
DD22
11，
D1ED20rE2
而,
01
E
1
E
2
U
d
D22
1
∴
D
1
r
题8-28图题8-29图
lR1RR2R1lRR1
8-29两个同轴的圆柱面，长度均为，半径分别为和（＞），且>>-，
22
QQ
两柱面之间充有介电常数的均匀电介质.当两圆柱面分别带等量异号电荷和-时，求：
rR1rRl
（1）在半径处（＜＜＝，厚度为dr，长为的圆柱薄壳中任一点的电场能量密度和
2
整个薄壳中的电场能量；
（2）电介质中的总电场能量；
（3）圆柱形电容器的电容．
r（S）解:
取半径为的同轴圆柱面
则
D
（S）
dS
2rlD
π
（R1rR2qQ
）
当时，
∴
D
Q
2rl
π
（1）电场能量密度
w
2
D
Q
22
28rl
π
2
2
薄壳中
dWwd
2
Q
2
8
π
r
2
l
2
2rdrl
π
2
Qdr
4rl
π
（2）电介质中总电场能量
W
22
QdrQR
R
2
2
dWln
V4rl4lR
R
ππ
11
2
Q
W
2C（3）电容：
∵
2
Q2l
C
π
2Wln（R2/R1）
∴
RR2
8-34半径为=2.0cm的导体球，外套有一同心的导体球壳，壳的内、外半径分别为
1
RQ
=4.0cm和=5.0cm，当内球带电荷=3.0×10
3
-8C
（1）整个电场储存的能量；
（2）如果将导体壳接地，计算储存的能量；
（3）此电容器的电容值．
QQQ
解:
如图，内球带电，外球壳内表面带电，外表面带电
题8-34图
rRR2rR3
（1）在和区域
1
E0
R1rR
在时
2
E
1
Qr
4r
π
0
3
r
R
3
时
E
2
Qr
4r
π
0
3
R1rR
∴在2区域
W
1
R
2
R
1
1Q22
（）4rdr
π
0
2
24r
π
0
22
QdrQ11
R
2
（
2
R8r8RR
ππ
1
0012
）
rR
3
在区域
W
2
2
1QQ1
22
（）4rdr
π
0
R324πr28R
π
003
∴总能量
W
2
Q111
WW（
1RRR
2
80123
π
4
1J
.8210
）
Qr
E
3
R1rR4r
π
（2）导体壳接地时，只有时,
20
W
2
0
∴
W
2
Q11
W1（）1.0110
8RR
π
012
4
J
（3）电容器电容
C
2W11
4/（
π
0
2RR
Q
12
12
4.4910F
）
习题九
-2
B2.0x
9-6已知磁感应强度Wb·m
轴正方向，如题9-6图所示．试
求：
（1）通过图中abcd面的磁通量；
（2）通过图中befc面的磁通量；（3）通过图中aefd面
的磁通量．
解：
如题9-6图所示
题9-6图
（1）通过abcd面积S1的磁通是
1BSWb
1
2.10.30.40.24
（2）通过befc面积S2的磁通量
2BS
2
0
（3）通过aefd面积S3的磁通量
4
3BS20.30.5cos2Wb0.24Wb
3
0.30.50.24（或曰）
5
题9-7图
ABCDBCO
9-7如题9-7图所示，、为长直导线，为圆心在点的一段圆弧形导线，其
RIO
半径为．若通以电流，求点的磁感应强度．
解：
如题9-7图所示，O点磁场由AB、BC、CD三部分电流产生．其中
ABB10
产生
CD
I
0
B
产生，方向垂直向里
2
12R
II3
CD）
00
段产生B（sin90sin60）（1，方向向里
3R
R
22
4
2
I30
∴BBBB
（1），方向向里．
0123
2R26
题9-9图
9-9如题9-9图所示，两根导线沿半径方向引向铁环上的，两点，并在很远处与电源
AB
O相连．已知圆环的粗细均匀，求环中心的磁感应强度．
解：
如题9-9图所示，圆心O点磁场由直电流A和B及两段圆弧上电流I1与I2所产
ABO
生，但和在点产生的磁场为零。
且
I
1
I
2
电阻
电阻
R
2
R
1
2
.
IB1
产生方向纸面向外
1
I
01
B
1R
2
（2）
2
，
IB2
产生方向纸面向里
2
I
02
B
2R
2
2
∴
B
1
B
2
I
1
（2
I
2
）
1
有
B0BB
1
2
0
题9-14图题9-15图
9-15题9-15图中所示是一根很长的长直圆管形导体的横截面，内、外半径分别为a,b，
II
导体内载有沿轴线方向的电流，且均匀地分布在管的横截面上．设导体的磁导率
0（arb）
，试证明导体内部各点的磁感应强度的大小由下式给出：
B
2（b
0
2
2
Ir
2
a）r
2
a
l2r（arb）解：
取闭合回路
BdlB2r则
l
I（r
2
2）
a
I
22
ba
0
B
∴
2
2
I（r
2
r（b
2
a
2
a
）
）
a
9-16一根很长的同轴电缆，由一导体圆柱（半径为）和一同轴的导体圆管（内、外半径分别
为b,c）构成，如题9-16图所示．使用时，电流I从一导体流去，从另一导体流回．设电
流都是均匀地分布在导体的横截面上，求：
（1）导体圆柱内（r＜a）,
（2）两导体之间（a＜r
＜b），（3）导体圆筒内（b＜r＜c）以及（4）电缆外（r＞c）各点处磁感应强度的大小
BdlI解：
0
L
2
Ir
（1）
raB2r
0
2
R
B
Ir
0
2
2R
（2）arbB2r0I
B
2
0
I
r
（3）
22
rb
brcI
B2r220
I
0
cb
B
2
I
0
r
2
（c
2
（c
2
r
2
b
）
）
rcB2r0（4）
B0
题9-16图题9-17图
题9-20图
ABI1CDEF
9-20如题9-20图所示，在长直导线内通以电流=20A，在矩形线圈中通有电
流I=10A，AB与线圈共面，且CD，EF都与AB平行．已知a=9.0cm,b=20.0cm,d
2
=1.0cm，求：
（1）导线AB的磁场对矩形线
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