系统连续时间系统的复频域分析.docx
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系统连续时间系统的复频域分析
【关键字】系统
西南科技大学
课程设计报告
课程名称：
信号与系统课程设计
设计名称：
连续时间系统的复频域分析
姓名：
林强
学号:
班级：
电子0502
指导教师：
老师
起止日期：
--
课程设计任务书
学生班级：
电子0502学生姓名：
林强学号：
设计名称：
连续时间系统的复频域分析
起止日期：
--指导教师：
老师
设计要求：
设
设①p1=-2,p2=-30;②p1=-2,p2=3
（1）针对极点参数①②,画出系统零、极点分布图,判断该系统稳定性.
（2）针对极点参数①②,绘出系统的脉冲响应曲线,并观察t→∞时,脉冲响应变化趋势.
（3）针对极点参数①,绘出系统的频响曲线.
课程设计学生日志
时间
设计内容
7.9～7.10
熟悉Matlab软件
7.11～12
查阅资料，确定方案
7.13
设计总体方案
7.14～7.15
设计并写论文
7.16
答辩
课程设计考勤表
周
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
课程设计评语表
指导教师评语：
成绩：
指导教师：
年月日
连续时间系统的复频域分析
一、设计目的和意义
通过对连续时间系统的复频域分析的Matlab实现，进一步理解掌握连续系统及信号拉普拉斯变换概念；学会利用Matlab绘制系统零极点图;调用系统库函数实现绘制冲激响应曲线以及通过零极点图对零极点的分析而得出系统冲激响应的时域特性、系统的稳定性、系统的频率特性等。
实现在实验环境中，以计算机为辅助手段，用信号分析的软件帮助我们完成数值的计算、信号与系统的分析的可视化建模以及仿真调试，培养我们学生主动获取知识和独立解决问题的能力，为后续专业打下坚实的基础。
二、设计原理
1、拉普拉斯变换曲面图的绘制
连续时间信号的拉普拉斯变换定义为:
（1）
其中，若以为横坐标（实轴），为纵坐标（虚轴），复变量就构成了一个复平面，称为平面。
显然，是复变量的复函数，为了便于理解和分析随的变化规律，可以将写成：
（2）
其中，称为复信号的模，而则为的幅角。
2、连续系统零极点图的绘制
线性时不变系统可用如下所示的线性常系数微分方程来描述：
（3）
其中，为系统输出信号，为输入信号。
将上式两边进行拉普拉斯变换，则该系统的系统函数为：
（4）
将式（4）因式分解后有：
（5）
其中为常数为系统的零点，为系统的极点。
可见，若连续系统函数的零极点已知，系统函数便可确定下来。
即系统函数的零极点分布完全决定了系统的特性
3、零极点分布与系统稳定性
根据系统函数的零极点分布来分析连续系统能够的稳定性是零极点分析的重要应用之一。
稳定性是系统固有的性质，与激励信号无关，由于系统函数包含了系统的所有固有特性，显然它也能反映出系统是否稳定。
对任意有界的激励信号,若系统产生的零状态响应也有界，则称该系统为稳定系统，否则，则称为不稳定系统。
上述稳定性的定义可以等效为下列条件：
（1）时域条件：
连续系统的稳定性的充要条件为，即系统冲激响应绝对可积。
（2）复频域条件：
连续系统稳定的冲要条件为系统函数的所有极点均位于S平面的左半平面内。
系统稳定的时域条件和复频域条件是等价的。
4、零极点分布与系统冲激响应时域特性
设连续系统的系统函数，冲激响应，则我们知道，与是对拉普拉斯变换对，即：
（6）
显然，必然包含了的本质特性。
对于集中参数的LTI系统函数可表示为关于S的两个多项式之比，即：
（7）
其中（j=1,2,…，M）为的M个零点，（i=1,2,…，N）为的N个极点。
5、由连续系统零极点分布分析系统的频率特性
连续系统的零极点分布完全决定了系统的系统函数，显然，系统的零极点分布包含了系统的频率特性。
几何矢量法是通过系统函数零极点分布连续系统频率响应的一种直观且简便的方法。
该方法将系统函数的零极点视为S平面上的矢量，通过对这些矢量（零极点）的模和相角的分析，即可以快速确定出系统的幅频响应和相频响应。
其原理如下：
设某连续系统的系统函数为：
（8）
其中
（j=1,2,…，M）为
的M个零点，
（i=1,2,…，N）为
的N个极点。
则系统的频率响应为：
（9）
现将S平面的任意一点看成是从原点到该点的矢量，则
即是从S平面原点到虚轴上角频率
的点的矢量。
同理，
（j=1,2,…，M）和
（i=1,2,…，N）即是原点到系统函数个零点和极点的矢量。
现考虑矢量
，由矢量运算可知，它实际上就是零点
到虚轴上角频率的点的矢量，如图1所示。
而矢量
就是极点
到虚轴上角频率为
的点的矢量。
图1
（10）
（11）
则
就是零点
到虚轴上角频率为
的点的矢量长度（距离），而
就是该矢量的相角，
就是极点
到虚轴上角频率
的点的矢量的长度（距离），而
就是该矢量的相角。
因此有：
（12）
则系统的幅频响应为：
（13）
综上所述，连续系统的幅频响应
等于系统函数所有零点到虚轴上角频率为
的点的距离之积与系统函数所有极点到虚轴上的角频率
的点的距离之积之比。
三、详细设计步骤
1、拉普拉斯变换零极点分布对曲面图的影响
（1）、拉普拉斯变换零极点对曲面图的影响，考虑如下系统①：
该信号的零点为
，极点为
。
利用如下MATLAB命令绘制出的曲面图如图2所示。
clf;
a=-30:
1.72:
2;
b=-20:
0.72:
20;
[a,b]=meshgrid（a,b）;％meshgrid（）函数产生矩阵s，并用该矩阵来表示绘制曲面图的复平面区域
c=a+i*b;
d=c;
e=（c+2）.*（c+30）;
c=d./e;
c=abs（c）;
mesh（a,b,c）;
surf（a,b,c）;
axis（[-30,1,-20,20,0,6]）;
title（'拉普拉斯变换曲面图'）;
colormap（hsv）;
view（-20,20）
从图2可看出，曲面在
和
处有两个峰点，对应着拉普拉斯变换的极点位置，而在
处有一谷点，对应着拉普拉斯变换的零点位置。
（2）、考虑另一系统②：
该信号的零点为
，极点为
。
利用如下MATLAB命令绘制出的曲面图如图3所示。
clf;
a=-6:
0.48:
6;
b=-6:
0.48:
6;
[a,b]=meshgrid（a,b）;
c=a+i*b;
d=c;
e=（c+2）.*（c-3）;
c=d./e;
c=abs（c）;
mesh（a,b,c）;
surf（a,b,c）;
axis（[-6,6,-6,6,0,2]）;
title（'拉普拉斯变换曲面图'）;
colormap（hsv）;
view（-20,30）
图2、拉氏变换零极点分布曲面图
从图3可看出，曲面在
和
处有两个峰点，对应着拉普拉斯变换的极点位置，而在
处有一谷点，对应着拉普拉斯变换的零点位置。
因此，信号的拉普拉斯变换的零极点位置，决定了其拉氏变换曲面图的峰点和谷点位置。
2、连续系统零极点图的绘制
通过系统函数零极点分布来分析系统特性，首先就要求出系统函数的零极点，然后绘制系统零极点图。
设连续系统的系统函数为：
（8）
则系统函数的零极点位置可用MATLAB的多项式求根函数roots（）来求得，调用函数roots（）的命令格式为：
p=roots（A）
其中A为待求根的关于s的多项式的系数构成的行向量，返回向量p则是包含该多项式所有根位置的列向量。
用roots（）函数求得系统函数
的零极点后，就可以绘制零极点图。
（1）、现考虑信号①，如图4所示：
%绘制连续系统零极点图程序
%A:
系统函数分母多项式系数向量
%B:
系统函数分子多项式系数向量
%p:
函数返回的系统函数极点位置行向量
%q:
函数返回的系统函数零点位置行向量
A=[13260];
B=[10];
p=roots（A）;介入以上命令首先求出极点；
再介入
q=roots（B）;％求出零点；
p=p';%将极点列向量转置为行向量
q=q';%将零点列向量转置为行向量
x=max（abs（[pq]））;%确定纵坐标范围
x=x+0.1;
y=x;%确定横坐标范围
clf
holdon
axis（[-xx-yy]）;%确定坐标轴显示范围
axis（'square'）
plot（[-xx],[00]）%画横坐标轴
plot（[00],[-yy]）%画纵坐标轴
plot（real（p）,imag（p）,'x'）%画极点
plot（real（q）,imag（q）,'o'）%画零点
title（'连续系统零极点图'）%标注标题
text（0.2,x-0.2,'虚轴'）
text（y-0.2,0.2,'实轴'）
（2）、考虑信号②，如图5所示：
A=[1-1-6];
B=[10];
p=roots（A）;％求出极点
q=roots（B）;％求出零点
图3、拉氏变换零极点分布曲面图
图4、系统①零极点图
p=p';%将极点列向量转置为行向量
q=q';%将零点列向量转置为行向量
x=max（abs（[pq]））;%确定纵坐标范围
x=x+0.1;
y=x;%确定横坐标范围
clf
holdon
axis（[-xx-yy]）;%确定坐标轴显示范围
axis（'square'）
plot（[-xx],[00]）%画横坐标轴
plot（[00],[-yy]）%画纵坐标轴
plot（real（p）,imag（p）,'x'）%画极点
plot（real（q）,imag（q）,'o'）%画零点
title（'连续系统零极点图'）%标注标题
text（0.2,x-0.2,'虚轴'）
text（y-0.2,0.2,'实轴'）
图5、系统②零极点图
3、零极点分布与系统冲激响应时域特性
（1）、对系统①，绘制冲激响应是与波形的命令如下：
a=[13260];%a:
系统函数分母多项式系数向量
b=[10];%b:
系统函数分子多项式系数向量
impulse（b,a）%绘制连续系统冲激响应曲线的Matlab函数impulse（）
绘制的系统①冲激响应的时域波形如图6所示，此时
为随时间衰减的指数信号。
（2）、对系统②：
a=[1－1－6];
b=[10];
impulse（b,a）
绘制的系统②冲激响应的时域波形如图7所示，此时
为随时间增长的指数信号。
图6、系统①的脉冲响应曲线
图7、系统②的脉冲响应曲线
4、由连续系统零极点分布分析系统的频率特性
绘制系统①、②的幅频特性曲线的程序流程：
1）、定义包含系统所有零点和极点位置的行向量
和
；
2）、定义绘制系统频率响应曲线的频率范围向量
和
、频率取样间隔
（即频率变化步长值），并产生所频率等分点向量
；
3）、求出系统所有零点和极点到这些等分点的距离；
4）、求出系统所有零点和极点到这些等分点的矢量的相角；
5）、根据式（13）式求出
到
频率范围内个频率等分点的
的值；
6）、绘制
~
频率范围内系统的幅频特性曲线。
对于系统①，程序如下，结果见图8。
q=[0];％用roots（）求出的零点
p=[-2-32];％用roots（）求出的极点
f1=0;
f2=100;％频率范围
k=0.1;％取样间隔
调试程序时，首先输入以上语句并运行，接着输入以下语句：
%¸根据系统零极点分布绘制系统频率响应曲线程序
%f1、f2：
绘制频率响应曲线的频率范围（即频率起始和终止点，单位为Hz）
%p、q：
系统函数极点和零点位置行向量
%k绘制频率响应曲线的频率取样间隔
p=p';
q=q';
f=f1:
k:
f2;%定义绘制系统频率响应曲线的频率范围
w=f*（2*pi）;
y=i*w;
n=length（p）;
m=length（q）;
ifn==0%如果系统无极点
yq=ones（m,1）*y;
vq=yq-q*ones（1,length（w））;
bj=abs（vq）;
ai=1;
elseifm==0%如果系统无零点
yp=ones（n,1）*y;
vp=yp-p*ones（1,length（w））;
ai=abs（vp）;
bj=1;
else
yp=ones（n,1）*y;
yq=ones（m,1）*y;
vp=yp-p*ones（1,length（w））;
vq=yq-q*ones（1,length（w））;
ai=abs（vp）;
bj=abs（vq）;
end
Hw=prod（bj,1）./prod（ai,1）;
plot（f,Hw）;
title（'系统频率响应曲线'）
xlabel（'频率w（单位：
赫兹）'）
ylabel（'H（jw）'）
图8、系统幅频特性曲线
四、设计结果及分析
1、稳定性的判定
连续系统稳定的充要条件为系统函数
的所有极点均位于S平面的左半平面内。
所以由零极点图4知，系统①是一稳定系统；由图5知，系统②是一非稳定系统。
2、分析系统脉冲响应随时间
时的变化趋势
由图6的曲线可知系统①的
随
，
为衰减的指数信号；图7的曲线可知系统②的
随
，
为增长的指数信号。
从上述程序运行结果和绘制的系统冲激响应曲线，我们可以总结出以下规律：
系统冲激响应
的时域特性完全由系统函数
的极点位置决定，
位于S平面左半平面的极点决定了
随时间衰减的信号分量，位于S平面虚轴上的极点决定了冲激响应的稳态信号分量，位于S平面的右半平面的极点决定了冲激响应随时间增长的信号分量。
3、对系统幅频特性曲线的分析
由图8的系统频率响应曲线可以知道该系统呈带通特性，是一带通滤波器。
五、体会
通过本次课程设计，进一步理解了连续系统及信号拉普拉斯变换概念，能利用Matlab绘制系统零极点图，能够较熟练调用系统库函数实现绘制冲激响应曲线以及通过零极点图对零极点的分析从而得出系统冲激响应h（t）的时域特性、系统的稳定性，绘制系统的频率特性曲线等。
在实验仿真环境中，以计算机为辅助手段，用信号分析的软件Matlab实现数值计算、信号与系统的分析的可视化建模以及仿真调试，培养了一定的主动获取知识和独立解决问题的能力，为后续专业的学习垫定了一定的基础。
同时，通过这次理论与模拟仿真的结合，对信号与系统开始有了深入的理解。
在仿真过程中遇到了不少问题，如绘制零极点图时编写的自定义程序运行时的操作情况，脉冲函数响应曲线的绘制等。
与此同时，还意识到绘制同一类曲线也可以通过不同的方式，如绘制脉冲响应曲线时可以用软件的库函数，也可以采用求拉普拉斯逆变换的方法等。
六、参考文献
教材：
奥本海姆.《信号与系统》第二版.西安交通大学出版社，2002.
参考书：
[1]刘卫国.《MATLAB程序设计教程》.中国水利水电出版社，2005.
[2]梁虹.《信号与系统分析及MATLAB实现》.电子工业出版社，2005.
[3]谭浩强.《C语言程序设计教程》第二版.高等教育出版社，1998.
[4]郑君里.《信号与系统》.高等教育出版社，1981
[5]吴大正.《信号与线性系统》.高等教育出版社，1998年
[6]吕幼新，《信号与系统分析》.张明友.电子工业出版社，2003年
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