安徽省宣城市1718学年高二上学期期末调研测试数学文试题附答案832822.docx
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安徽省宣城市1718学年高二上学期期末调研测试数学文试题附答案832822
宣城市２０１７—２０１８学年度第一学期期末调研测试
高二数学试题（文科）
考生注意事项：
１本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分１５０分，考试时间１２０分钟。
２答题前，考生先将自己的姓名、考号在答题卷指定位置填写清楚并将条形码粘贴在指定区域。
３考生作答时，请将答案答在答题卷上。
第Ｉ卷每小题选出答案后，用２Ｂ铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；第Ｉ卷请用０５毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
４考试结束时，务必将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题，共６０分）
一、选择题（本大题共１２小题，每小题５分，共６０分）
２
１设ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ，则“（２ａ－ｂ）·ｃ＞０”是“２ａ＞ｂ”的
Ａ充分而不必要条件Ｂ必要而不充分条件
Ｃ充要条件Ｄ既不充分也不必要条件
２甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为０３，甲不输的概率为０８，则甲、乙两人和棋的概率为
Ａ０７Ｂ０３Ｃ０２Ｄ０５
３某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为１２０件，８０件，６０件为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为ｎ的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了６件，则ｎ＝
Ａ９
Ｂ１３
Ｃ２４
Ｄ２６
４若十进制数２６等于ｋ进制数３２，则ｋ等于
Ａ４
Ｂ５
Ｃ６
Ｄ８
５从装有２个红球和２个白球的口袋内任取２个球，那么互斥但不对立的两个事件是
Ａ至少有１个白球，都是白球
Ｂ至少有一个白球，至少有一个红球
Ｃ恰有１个白球，恰有２个白球
Ｄ至少有一个白球，都是红球
０≤ｘ≤２
６设不等式组０≤ｙ≤２
表示的平面区域为Ｄ，在区域Ｄ内随机取一个点，则此点到坐标原
点的距离大于２的概率是
π
π－２
π
４－π
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
４
２
６
４
宣城市高二数学（文）试卷第１页（共４页）
１５
７某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则
８
Ａａ＝６
Ｂａ＝７
Ｃａ＝８
Ｄａ＝９
２
２
ｘ
ｙ
８已知双曲线Ｃ：
２
－
＝１（ａ＞０，ｂ＞０）虚轴的两个端点与其中
２
ａ
ｂ
一个焦点连成的三角形为等边三角形，则该双曲线Ｃ的渐近线方程为
１
槡２
Ａｙ＝±
ｘ
Ｂｙ＝±
ｘ
２
２
槡３
Ｃｙ＝±ｘ
Ｄｙ＝±
ｘ
３
２
９函数ｆ（ｘ）＝ｘ－２ｌｎｘ的单调递减区间是
Ａ（０，１）
Ｂ（１，＋∞）
Ｃ（－１，１）
Ｄ（－１，０）和（０，１）
２
１０已知抛物线ｙ＝２ｐｘ（ｐ＞０），过其焦点且斜率为－１的直线交抛物线于Ａ、Ｂ两点，若线段ＡＢ的长度为８，则该抛物线的准线方程为
Ａｘ＝１
Ｂｘ＝２
Ｃｘ＝－１
Ｄｘ＝－２
２ｘ
１１函数ｆ（ｘ）＝ｘｅ在区间（ａ，ａ＋１）上存在极值点，则实数ａ的取值范围是
Ａ（－３，－２）
Ｂ（－１，０）
Ｃ（－３，－２）∪（－１，０）
Ｄ（－２，０）∪（２，３）
｜ｘ｜＋
１
ｘ＜１
２
（）
，
，，
（）（）
１２已知函数ｆｘ＝
若存在互不相同的三个实数ａｂｃ使得ｆａ＝ｆｂ
ｌｎｘ
ｘ≥１
ｆ（ａ）ｆ（ｂ）ｆ（ｃ）
＝ｆ（ｃ），则
＋
＋
的取值范围是
ａ
ｂ
ｃ
１－１－１
Ａｅ２，ｅ
２
３－３－１
Ｃｅ２，ｅ
２
１－１－１
Ｂｅ２，ｅ
２
（１－１３－３
Ｄｅ２，ｅ２
２２
第Ⅱ卷（非选择题，共９０分）
二、填空题（本大题共４小题，每题５分，共２０分）
１３命题“若ｘ＞２０１７，则ｘ＞０”的否命题是．
獉獉獉
１４从甲、乙两个班级中各选出７名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分１００分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生的平均分是８５，乙
班学生成绩的中位数是８２，则ｘ＋ｙ的值为．
宣城市高二数学（文）试卷第２页（共４页）
１５已知函数ｙ＝ｆ（ｘ）及其导函数ｙ＝ｆ′（ｘ）的图象如图所示，
则曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在点Ｐ处的切线方程是．１６已知Ｆ１、Ｆ２是椭圆和双曲线的公共焦点，Ｐ为它们的一个
→→
公共点，且ＰＦ１·ＰＦ２＝０，若它们的离心率分别为ｅ１和ｅ２，
２
２
则ｅ１
＋２ｅ２的最小值为
．
三、解答题（本大题共６小题，共７０分）
２ｘ－
３
１
１７（本题满分１０分）已知ｐ：
≤
，ｑ：
（ｘ－ａ）［ｘ－（ａ＋１）］≤０
２
２
１
（Ⅰ）若ａ＝，且ｐ∧ｑ为真，求实数ｘ的取值范围；
２
（Ⅱ）若ｐ是ｑ的充分条件，求实数ａ的取值范围．
１８（本题满分１２分）全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标．根据相关报道提供的全网传播２０１７年全国性某大型活动的“省级卫视新闻台”的融合指数的数据，对名列前２０名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示．
组号
分组
频数
１
［４，５）
３
２
［５，６）
７
３
［６，７）
８
４
［７，８］
２
（Ⅰ）现从融合指数在［４，５）和［７，８］内的“省级卫视新闻台”中随机抽取２家进行调研，求
至少有１家的融合指数在［７，８］内的概率；
（Ⅱ）根据分组统计表，请补齐频率分布直方图，并估算这２０家“省级卫视新闻台”的融合
指数的平均数．
宣城市高二数学（文）试卷第３页（共４页）
∧——
，ａ＝ｙ－ｂｘ
∧ｉ＝１
附：
用最小二乘法求线性回归直线方程系数公式ｂ＝
１９（本题满分１２分）某地区２０１３年至２０１７年农村居民家庭人均存款ｙ（单位：
千元）的数据如下表：
年份
２０１３
２０１４
２０１５
２０１６
２０１７
年份代号ｘ
１
２
３
４
５
人均存款ｙ
３
３８
４４
４８
５
（Ⅰ）已知变量ｙ与ｘ满足线性关系，求ｙ关于ｘ的线性回归直线方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归直线方程，预测该地区２０１８年农村居民家庭人均存款．
ｎ——
∑（ｘ－ｘ）·（ｙ－ｙ）
ｉｉ
ｎ
—２
∑（ｘ－ｘ）
ｉ
ｉ＝１
ｎ——
∑ｘｙ－ｎｘ·ｙ
ｉｉ
ｉ＝１
ｎ
２—２
∑ｘ－ｎｘ
ｉ
ｉ＝１
＝
２
２
槡３
ｘ
ｙ
２０（本题满分１２分）已知椭圆
２
＋
２
＝１（ａ＞ｂ＞０）的离心率ｅ＝
，以坐标原点为圆心的椭
圆的内切圆的面积为４π．
ａ
ｂ
２
（）
；
Ⅰ求椭圆的标准方程
８槡２
（Ⅱ）设过点Ａ（－ａ，０）的直线
ｌ与椭圆相交于另一点Ｂ，若｜ＡＢ｜＝
，求直线ｌ的斜率．
５
２１（本题满分１２分）设函数ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ－ａｘ－１（ａ∈Ｒ）
（Ⅰ）求函数ｆ（ｘ）的单调区间；
（Ⅱ）当ａ＞０时，令ｇ（ｘ）＝ｘ·ｆ（ｘ），若函数ｇ（ｘ）有两个零点，求ａ的取值范围．
２２（本题满分１２分）已知抛物线Ｃ的顶点为坐标原点，准线方程为ｘ＝－２，直线ｌ与抛物线Ｃ相交于Ａ，Ｂ两点，且线段ＡＢ的中点为Ｍ（２，２）．
（Ⅰ）求直线ｌ的方程；
（Ⅱ）若过Ｔ（４，０）且互相垂直的直线ｌ，ｌ分别与抛物线Ｃ交于Ｐ（ｘ，ｙ），Ｑ（ｘ，ｙ），
１２１１２２
Ｒ（ｘ，ｙ），Ｓ（ｘ，ｙ）四点，求四边形ＰＲＱＳ面积的最小值．
３３４４
宣城市高二数学（文）试卷第４页（共４页）
宣城市２０１７—２０１８学年度第一学期期末调研测试
高二数学（文科）参考答案
一、选择题
题号
１
２
３
４
５
６
７
８
９
１０
１１
１２
答案
Ａ
Ｄ
Ｄ
Ｄ
Ｃ
Ｄ
Ｃ
Ｂ
Ａ
Ｃ
Ｃ
Ｂ
二、填空题
１
１３若ｘ≤２０１７，则ｘ≤０
１４７
１５ｙ＝ｘ－２
１６
（３＋２槡２）
２
三、解答题
１７（Ⅰ）∵ｐ∧ｑ为真，∴ｐ真ｑ真……………………………………………………………１分
２ｘ－
３
１
１
ｐ真：
由
≤
解得Ａ＝｛ｘ｜
≤ｘ≤１｝………………………………２分
２
２
２
ｑ真：
由（ｘ－ａ）［ｘ－（ａ＋１）］≤０
解得Ｂ＝｛ｘ｜ａ≤ｘ≤ａ＋１｝…………………３分
１
１
３
∵ａ＝
∴Ｂ＝｛ｘ｜
≤ｘ≤
｝
２
２
２
１
∴Ａ∩Ｂ＝｛ｘ｜≤ｘ≤１｝
２
１
∴实数ｘ的取值范围为：
｛ｘ｜≤ｘ≤１｝……………………………………………５分
２
１
（Ⅱ）由（Ⅰ）知Ａ＝｛ｘ｜≤ｘ≤１｝，Ｂ＝｛ｘ｜ａ≤ｘ≤ａ＋１｝
２
∵ｐ是ｑ的充分条件，
∴Ａ是Ｂ的子集……………………………………………………………………６分
１
∴ａ≤２解得０≤ａ≤１
２
ａ＋１≥１
１
∴实数ａ的取值范围为：
｛ａ｜０≤ａ≤｝…………………………………………１０分
２
１８（Ⅰ）融合指数在［７，８］内的“省级卫视新闻台”记为Ａ１，Ａ２；融合指数在［４，５）内的“省级卫视新闻台”记为Ｂ１，Ｂ２，Ｂ３．
从融合指数在［４，５）和［７，８］内的“省级卫视新闻台”中随机抽取２家的所有基本事件是：
｛Ａ１，Ａ２｝，｛Ａ１，Ｂ１｝，｛Ａ１，Ｂ２｝，｛Ａ１，Ｂ３｝，｛Ａ２，Ｂ１｝，｛Ａ２，Ｂ２｝，｛Ａ２，Ｂ３｝，｛Ｂ１，Ｂ２｝，｛Ｂ１，
宣城市高二数学（文）参考答案第１页（共４页）
Ｂ３｝，｛Ｂ２，Ｂ３｝共１０个．
其中，至少有１家融合指数在［７，８］内的基本事件是：
｛Ａ１，Ａ２｝，｛Ａ１，Ｂ１｝，｛Ａ１，Ｂ２｝，
｛Ａ１，Ｂ３｝，｛Ａ２，Ｂ１｝，｛Ａ２，Ｂ２｝，｛Ａ２，Ｂ３｝共７个．
７
所以所求的概率
Ｐ＝
．……………………………………………………………６分
１０
（Ⅱ）（频率分布直方图补齐２分）
这２０家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数
为：
４５×
３
＋５５×
７
＋６５×
８
＋７５×
２
＝
２０
２０
２０
２０
５９５．……………………………………１２分
—
—
１９（Ⅰ）ｘ＝３，ｙ＝４２，……………………………２分
∧（３＋７６＋１３２＋１９２＋２５）－５×３×４２
１
∧
１
ｂ＝
＝
，ａ＝４２－
×３＝２７……７分
１
（１＋４＋９＋１６＋２５）－５×９
２
２
∧
则ｙ＝
ｘ＋２７
……………………………………………………………………８分
２
１
∧
（Ⅱ）２０１８年，即ｘ＝６时，ｙ＝
×６＋２７＝５７，即２０１８年农村的居民家庭人均存款为
２
５７千元．……………………………………………………………………………１２分
ｃ
槡３
２
２
２０（Ⅰ）由ｅ＝
＝
，得
３ａ＝４ｃ．
ａ
２
２
２
２
由ｃ＝ａ－ｂ，解得ａ＝２ｂ．…………………………………………………………２分
２
２
２
ｘ
ｙ
由πｂ＝４π得ｂ＝２，则ａ＝４，故椭圆的标准方程为
＋
＝１…………………４分
１６
４
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知点Ａ的坐标是（－４，０），由题意直线的斜率存在，设为ｋ则直线的方程
为
ｙ＝ｋ（ｘ＋４）．…………………………………………………………………………５分
ｙ＝ｋ（ｘ＋４）
消去ｙ并整理，得
联立ｘ
ｙ
２
２
１６＋
＝１
４
……………………………………………６分
２
２
２
２
（１＋４ｋ）ｘ＋３２ｋｘ＋（６４ｋ－１６）＝０
２
２
２
２
８槡１＋ｋ
则ＡＢ＝槡１＋ｋ｜ｘ１
－ｘ２｜＝槡１＋ｋ·
（ｘ１
＋ｘ２）－４ｘｘ１２
＝
…………９分
２
槡
１＋４ｋ
２
４
２
２
２
８槡１＋ｋ８槡２
令
＝
，整理得３２ｋ－９ｋ－２３＝０，即（ｋ－１）（３２ｋ＋２３）＝０，
２
１＋４ｋ
５
解得ｋ＝±１．所以直线ｌ的斜率为±１．…………………………………………１２分
宣城市高二数学（文）参考答案第２页（共４页）
１１－ａｘ
２１（Ⅰ）∵ｘ＞０，ｆ′（ｘ）＝ｘ－ａ＝ｘ……………………………………………………１分
１－ａｘ
∴当ａ≤０时，＞０，即ｆ′（ｘ）＞０，即增区间为（０，＋∞）……………………２分
ｘ
当ａ＞０时，令ｆ′（ｘ）＝０ｘ＝１，则ｘ∈０，１时，ｆ′（ｘ）＞０，即ｆ（ｘ）单调递增；
ａａ
ｘ∈１ａ，＋∞时，ｆ′（ｘ）＜０，即ｆ（ｘ）单调递减，
此时函数ｆ（ｘ）的增区间为０，１ａ，减区间为１ａ，＋∞
综上所述：
∴当ａ≤０时，增区间为（０，＋∞），无减区间
当ａ＞０时，增区间为０，１ａ，减区间为１ａ，＋∞………………………………６分
（Ⅱ）方法一
∵ｘ＞０，要使ｇ（ｘ）有两个零点，只要ｆ（ｘ）有两个零点，…………………………７分
由（Ⅰ）知，当ａ＞０时，ｘ∈０，１ａ时，ｆ（ｘ）单调递增，ｘ∈１ａ，＋∞时，ｆ（ｘ）单调递减，
１
故只要ｆ（）＞０，……………………………………………………………………９分
ａ
１
１
２
即ｌｎａ－２＞０
ａ＞ｅ，…………………………………………………………１１分
１
因为ａ＞０，故０＜ａ＜２．…………………………………………………………１２分
ｅ
方法二（分离参数）
∵ｘ＞０，要使ｇ（ｘ）有两个零点，只要ｆ（ｘ）有两个零点，…………………………７分
ｌｎｘ－１
ｌｎｘ－１
即ｌｎｘ－ａｘ－１＝０有两个不等的正根，即ａ＝
，即ｙ１＝ａ，ｙ２
＝
的图像有两
ｘ
ｘ
个不同的交点，
２－ｌｎｘ
２
２
由ｙ′２＝
知ｙ２
在（０，ｅ）单调递增，（ｅ，＋∞）单调递减，
２
ｘ
１
１
则ｙ２ｍａｘ＝
，结合图像知：
０＜ａ＜
………………………………………………１２分
２
２
ｅ
ｅ
２
２２（Ⅰ）设抛物线Ｃ的方程为：
ｙ＝２ｐｘ（ｐ＞０）．
ｐ
２
由准线方程为ｘ＝－２，可知
＝２，所以ｐ＝４，所求的抛物线方程为ｙ＝８ｘ．…１分
２
由题意知直线ｌ的斜率存在，则设直线ｌ的方程为ｙ－２＝ｋ（ｘ－２），
２
２
与ｙ＝８ｘ联立消去
ｘ，得ｋｙ－８ｙ－１６ｋ＋１６＝０…………………………………３分
宣城市高二数学（文）参考答案第３页（共４页）
８
８
由韦达定理可得ｙＡ＋ｙＢ
＝
，又ＡＢ的中点为（２，２），∴
＝４，…………………４分
ｋ
ｋ
解得ｋ＝２，故直线ｌ的方程为ｙ＝２ｘ－２．…………………………………………５分
（Ⅱ）由题意，直线ｌ，ｌ的斜率存在，不妨设ｌ：
ｙ＝ｋ（ｘ－４），…………………………６分
１２１
２
２
联立抛物线方程ｙ＝８ｘ，得ｋｙ－８ｙ－３２ｋ＝０，
１
１
２
１
则ＰＱ＝１＋
｜ｙ１
－ｙ２｜＝１＋
·（ｙ１＋ｙ２）－４ｙｙ１２－４ｙｙ１２＝８１＋
·
２
２
２
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