从欧拉几何定理到彭色列闭合定理欧拉彭色列大狗熊线.docx

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从欧拉几何定理到彭色列闭合定理欧拉彭色列大狗熊线

从欧拉几何定理到彭色列闭合定理（欧拉--彭色列—大狗熊线）

徐文平

（东南大学南京210096）

一、引言

1）彭色列闭合定理

图1

思考：

彭色列闭合定理的本质是什么？

为什么如此奇妙的首尾相连闭合？

2）谢国芳定理

谢国芳老师猜想，双圆锥曲线的内接外切四边形时候，对角线交叉点不变。

图2

思考：

如果是三角形的时候，彭色列闭合定理，是什么关键点永恒不变啊。

3）欧拉几何定理

a）设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，

则有

（备注：

欧拉定理定理也涉及到圆中圆的问题）

b）欧拉线

三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线，且外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半。

（三角形ABC的垂心H，九点圆圆心V，重心G，外心O共线，称为欧拉线）

图3

c）欧拉九点圆

三角形三边的中点，三高的垂足和三个欧拉点（连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点）九点共圆。

通常称这个圆为九点圆（nine-pointcircle），或欧拉圆、费尔巴哈圆。

九点圆具有许多有趣的性质，例如：

1.三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半；

2.九点圆的圆心在欧拉线上，且恰为垂心与外心连线的中点；

3.三角形的九点圆与三角形的内切圆，三个旁切圆均相切（费尔巴哈定理）；

4.九点圆心（V），重心（G），垂心（H），外心（O）四点共线，且HG=2OG，OG=2VG，OH=2OV。

图4

4）欧拉--彭色列--大狗熊线

 大狗熊定理：

三角形内切圆的切点三角形的垂心H，九点圆圆心V，重心G与三角形内心I、外心O共线（欧拉--彭色厉--大狗熊线），三角形作彭色列闭合变换时，五心位置恒定不变。

（备注：

三角形内切圆的切点三角形的外心就是三角形ABC的内心I）

图5（彭色列闭合变换时切点三角形的重心不变）

 （三角形在圆中圆中，作彭色列闭合变化时候，切点三角形的垂心H，九点圆圆心V，重心G不变，非常奇妙的发现，作业：

作图试试切点三角形的垂心H，九点圆圆心V，重心G，是不是雷打不动啊）

谢国芳定理，双圆锥曲线的内接外切四边形时候，对角线交叉点不变。

 大狗熊定理，双圆锥曲线的内接外切三角形时候，切点三角形的五心恒定不变。

谢国芳定理和大狗熊定理，揭示了彭色列闭合定理的神秘面纱，找到了命题本质。

工程应用成果：

利用欧拉—彭色列--大狗熊线恒定不变特性的摄像机和精密测量仪器标定

        （变化中发现了不变的本质）

二、欧拉--彭色厉--大狗熊线的简证

欧拉--彭色列闭合变化作图发现，有许多有趣的特性。

（ΔABC为基本三角形，ΔA1B1C1为切点三角形，ΔA2B2C2为垂足三角形）

1、ΔA2B2C2为垂足三角形与三角形ΔABC是具有位似关系

2、基本三角形构成的六边形与垂足三角形构成的六边形具有位似关系（黄色）。

3、基本三角形彭色列闭合变化，发现了大量的平行线关系

4、位似中心S点，也在欧拉—彭色列--大狗熊线上，彭色列闭合变化时不变。

5、位似中心S点就是基本三角形ΔABC外接圆和内切圆的位似中心S点

图5（彭色列闭合变换时位似中心现象）

1）潘成华老师的研究发现

思考：

可以直接做题证明（也许高中小朋友看不懂重心证明方法啊）

依据欧拉线，可改为外心O（大圆）、内心I（小圆）、垂心H（切点三角形的）共线题目。

2）1995伊朗奥数竞赛的题目

（备注，垂足三角形ΔPQR的外心J点，就是切点三角形ΔDEF的九点圆心V点）

3）彭色列闭合定理（N=3）的位似中心S点

位似中心在基本三角形ΔABC的顶点和垂足三角形顶点的连线交叉S点。

同理：

位似中心在基本三角形ΔDEF的顶点和垂足三角形顶点的连线交叉S点。

（备注：

外接圆和内切圆也具有位似关系，位似中心也在S点）

  （备注：

外接圆和内切圆和ΔABC一起位似变化，位似比相同）

  （备注：

外接圆和内切圆和外接圆和内切圆和ΔABC一起位似变化，位似比相同）。

所以，外接圆和内切圆、ΔABC和ΔDEF三者一起位似变化，位似比相同

位似比

，

位似中心S点在五心狗熊线上，即位似中心S点在五心狗熊线共线。

彭色列闭合变换（N=3）时，两者位似中心S点重合。

彭色列闭合变换（N=3）时，中心S点和五心狗熊线恒定不变。

欧拉--彭色厉--大狗熊线（增加了位似中心S点共线）

4）欧拉—彭色列--大狗熊线的不变特性简证（彭色列闭合变化时）

1、位似中心S点在五心狗熊线上，即位似中心S点在五心狗熊线共线。

（具体可以参见上述的1995伊朗奥数竞赛的题目）

2、彭色列闭合变换（N=3）时，切点三角形的的九点圆心V不变

方向不变：

由于欧拉—彭色列--大狗熊线是五心共线，并且其中二点是不变（三角形内心I、外心O在命题中是固定的），所以，彭色列闭合变换前后，九点圆心V必定在三角形内心I、外心连线方向。

半径不变：

三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半，由于切点三角形的外接圆是固定的（命题的内切圆），所以，九点圆的半径不变。

圆心不变：

彭色列闭合变换前的垂足三角形的三个顶点，彭色列闭合变换后的垂足三角形的三个顶点，六点是共圆的，所以彭色列闭合变换前后，九点圆圆心不变。

彭色列闭合变换（N=3）时，切点三角形的的九点圆心V不变

3、彭色列闭合变换（N=3）时，切点三角形的切点三角形的垂心H，重心G不变。

由欧拉线的性质可知，三角形的垂心H，重心G，九点圆心V，外心O点（就是基本三角形的内心I点），具有这些点互相之间比例关系恒定的，所以，所以彭色列闭合变换前后垂心H，重心G位置不变

4、彭色列闭合变换（N=3）时，两者位似中心S点重合。

外接圆和内切圆也具有位似关系。

外接圆和内切圆和ΔABC一起位似变化，位似比相同）

外接圆和内切圆和ΔDEF一起位似变化，位似比相同）

外接圆和内切圆和外接圆和内切圆和ΔABC一起位似变化，位似比相同）。

所以，外接圆和内切圆、ΔABC和ΔDEF三者一起位似变化，位似比相同

三角形的外接圆和内切圆是固定的，两圆具有位似关系,位似比为

基本三角形ΔABC与垂足三角形也具有位似关系，位似比也为

，相同。

基本三角形ΔDEF与垂足三角形也具有位似关系，位似比也为

，相同。

因此，三者的位似比也为

，相同。

ΔABC和ΔDEF是一样的位似比

，两者相同，可以一起联盟位似变换。

因此，彭色列闭合变换前后，两者位似中心S点重合。

结论：

彭色列闭合变换前后，欧拉—彭色列--大狗熊线的不变

三、彭色列闭合定理（N=3）的简证

彭色列闭合定理非常简明和美妙，应该有纯几何证明，以便推广普及和应用。

简证思路：

儿歌唱道，两只老虎，真奇怪，一个没有尾巴，一个没有耳朵。

歌词大意是把二个残缺的老虎放在一起，可通过对比，小朋友们可想象出老虎残缺的尾巴和耳朵，画图出两只老虎完美的老虎。

彭色列闭合定理（N=3），在外接圆和内切圆固定的前提下（符合欧拉定理），两个三角形的闭合变换问题。

以一个完整的三角形彭色列闭合（一个完整老虎）为背景，分析另外一个残缺的三角形彭色列闭合在外接圆上（构造残缺的老虎的尾巴和耳朵）。

1）完整的彭色列闭合三角形

图8

分析可知：

1、基本三角形ΔDEF和切线三角形之垂足三角形是位似关系。

2、三角形内切圆的切点三角形的垂心H，九点圆圆心V，重心G与基本三角形内心I、外心O以及位似点S是六点共线（欧拉--彭色厉--大狗熊线）。

2）残缺的彭色列闭合三角形

（备注：

目标是证明A点在外接圆上，彭色列闭合定理就ok）

图9

残缺图形分析可知：

1、基本三角形ΔABC和切线三角形之垂足三角形是位似关系。

（仍然成立）

（备注：

1995年伊朗奥数竞赛的题目的方法）

2、三角形内切圆的切点三角形的垂心H，九点圆圆心V，重心G与基本三角形内心I、外心O以及位似点S是六点共线（欧拉--彭色厉--大狗熊线）。

（备注：

可能A点不在基本外接圆上，导致外接圆有所变动）

（备注：

可能A点不在基本外接圆上，导致欧拉--彭色厉--大狗熊线变异）

3）对比的二个彭色列闭合三角形

（备注：

目标是证明A点在外接圆上，彭色列闭合定理就ok）

（备注：

只需证明欧拉—彭色列--大狗熊线是重合位置，彭色列闭合定理就ok）

对比图形分析可知：

1、三角形ΔABC和切线三角形之垂足三角形是位似关系。

2、三角形ΔABC内切圆的切点三角形的垂心H，九点圆圆心V，重心G与基本三角形内心I、外心O以及位似点S是六点共线。

（备注：

两个基本三角形的欧拉--彭色厉--大狗熊线可能没有完全重合位置）

3、分析得知，两个三角形内心I，（命题）

4、两个切点三角形的九点圆圆心V位置重合。

（两个垂足三角形六点共圆）

4、依据欧拉线的比例性质，两个切点三角形的垂心H和重心G位置重合

5、进一步分析得知：

两个基本三角形的位似中心S点位置重合

（备注：

两个彭色列闭合变换中，基本三角形和垂足三角形的位似比相同）

6、两个基本三角形的外接圆心O点位置重合（位似比相同），A点在外接圆上

彭色列闭合定理（N=3）命题成立

四、椭圆情况下彭色列闭合定理（N=3）的简证

彭色列闭合定理在椭圆情况下，也是成立的

（备注：

按照圆中圆情况的思路，利用极点极线的关系，可以快速简证）

图10

通过：

仿射几何变换，图10的椭圆中椭圆，可以简化为椭圆中圆（如11），可以大大简化证明过程。

证明思路：

先构造一个基本三角形，然后构造一个残缺三角形，其中一条底边与内圆相切，底边两端点与内圆相切，切线延伸交与第六点，利用圆锥曲线内接四边形四极点调和分割定理和帕斯卡定理，利用极点和极线的性质，可以快速第六点在椭圆上简证。

（备注：

构造二个虚拟外接圆，两条欧拉—彭色列--大狗熊线，交叉线）

（备注：

此时，是内圆圆心重合共点的，两条欧拉—彭色列--大狗熊线，两线交叉角度）

由于篇幅有限制，具体证明过程，另外专门写一篇文章（很巧妙的简证）