精算师中国精算师资格考试《金融数学》真题.docx

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精算师中国精算师资格考试《金融数学》真题

精算师2021中国精算师资格考试《金融数学》真题

利息理论

第1章　利息的基本概念

单项选择题（以下各小题所给出的5个选项中，只有一项最符合题目要求，请将正确选项的代码填入括号内）

1．已知在未来三年中，银行第一年按计息两次的名义年利率10%计息，第二年按计息四次的名义年利率12%计息，第三年的实际年利率为6.5%。

某人为了在第三年末得到一笔10000元的款项，第一年年初需要存入银行（　 ）元。

[2011年秋季真题］

A．7356

B．7367

C．7567

D．7576

E．7657

【答案】C@@@

【解析】由名义年利率

和实际年贴现因子

的等价关系

，可得：

每年的贴现因子分别为

，

，

。

因此，第三年末10000元的款项在第一年初的现值为：

。

2．已知0时刻在基金A中投资1元到2t时的积累值为（3t＋1）元，在基金B中投资1元到3t时的积累值为

元。

假设在T时基金B的利息强度为基金A的利息强度的两倍，则0时刻在基金中B投资1000元在5T时的积累值为（　　）元。

［2011年秋季真题］

A．27567

B．27657

C．27667

D．27676

E．27687

【答案】C@@@

【解析】由题得，0时刻在基金A中投资1元到t时的积累值为（1.5t＋1）元，即积累因子

，利息强度

在基金B中投资1元到3t时的积累值为

 元，因此在基金B中投资1元到t时的积累值为

元，因此

。

当

时，即

，解得

，因此0时刻在基金中B投资1000元在5T时的积累值为

元。

3．已知某基金的积累函数a（t）为三次函数，每三个月计息一次，第一季度每三个月计息一次的年名义利率为10%，第二季度每三个月计息一次的年名义利率为12%，第三季度每三个月计息一次的年名义利率为15.2%，则

为（　　）。

A．0.0720

B．0.0769

C．0.0812

D．0.0863

E．0.0962

【答案】E@@@

【解析】令

，由于

，所以

。

到第一季度末，

，到第二季度末：

，到第三季度末：

，联立上述三个方程，解得

。

因此

。

而

，所以

=0.0962.

4．已知0时刻在基金A中投资一元到T时刻的积累值为1.5t＋1，在基金B中投资一元到3t时刻的积累值为9t2-3t＋1元，假设在T时刻基金B的利息强度为基金A的利息强度的两倍，则0时刻在基金B中投资10000元，在7T时刻的积累值为（　　）。

[2011年春季真题]

A．566901　 

B．567902　 

C．569100　 

D．570000　 

E．570292

【答案】D@@@

【解析】

，

。

可得：

，解得T=8/7。

所以

5．（2008年真题）已知

，则第10年的

等于（　　）。

A．0.1671　 

B．0.1688

C．0.1715　 

D．0.1818　 

E．0.1874

【答案】D@@@

【解析】由已知

，得：

，

所以，

，

又

，故

。

6．（2008年真题）如果现在投资3，第二年末投资1，则在第四年末将积累5，则实际利率为（　　）。

A．6.426%　 

B．6.538%　 

C．6.741%　 

D．6.883%　 

E．6.920%

【答案】B@@@

【解析】设实际利率为i，则有：

解得：

i=6.538%。

7．（2008年真题）假定名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%，则1000元在3年末的积累值为（　　）元。

A．1065.2　 

B．1089.4　 

C．1137.3　 

D．1195.6　 

E．1220.1

【答案】D@@@

【解析】1000元在3年末的积累值为：

8．（2008年真题）某人初始投资额为100，假定年复利为4%，则这个人从第6年到第10年的5年间所赚利息为（　　）。

A．26　 

B．27　 

C．28　 

D．29　 

E．30

【答案】A@@@

【解析】从第6年到第10年的5年间所赚利息为：

9．（2008年真题）己知

，其中a>0，b>0为常数，则积累函数a（t）为（　　）。

A．

B．

C．

D．

E．

【答案】E@@@

【解析】

10．（2008年真题）甲基金以月度转换12%的利率积累，乙基金以利息力

积累，期初存入两支金额相等的基金，则两支基金金额相等的下一个时刻为（　　）。

A．1.4328　 

B．1.4335　 

C．1.4362　 

D．1.4371　 

E．1.4386

【答案】A@@@

【解析】不妨设期初存入的金额为1，则甲基金的积累函数为：

乙基金的积累函数为：

，

由

，得：

，

解得：

t=1.4328。

11．（2008年真题）甲基金按6%的年利率增长，乙基金按8%的年利率增长，在第20年的年末两个基金之和为2000，在第10年末甲基金是乙基金的一半，则第5年年末两基金之和为（　　）。

A．652.86　 

B．663.24　 

C．674.55　 

D．682.54　 

E．690.30

【答案】E@@@

【解析】设甲、乙基金分别为P、R，则有：

解方程组，得：

故第5年年末两基金之和为：

12．王女士到银行存入1000元，第一年末她存折上的余额为1050元，第二年末她存折上的余额为1100元。

则第一年、第二年的实际利率分别为（　　）。

A．4.762%；5%　 

B．5%；4.762%　 

C．5%；5%　 

D．8.762%；7%

E．10%；10%

【答案】B@@@

【解析】已知A（0）=1000，A

（1）=1050，A

（2）=1100，所以第一年、第二年的实际利率分别为：

i1=[A

（1）－A（0）]/A（0）=50/1000=5%；

i2=[A

（2）－A

（1）]/A

（1）=50/1050=4.762%。

13．张先生投资1000元于一年期证券上，该证券年实际利率为10%。

则一年后，此人将得到的金额及利息分别为（　 ）元。

A．1001；1　 

B．1010；10　 

C．1100；100　 

D．1200；200　 

E．2000；1000

【答案】C@@@

【解析】总金额为：

A

（1）=A（0）（1＋i）=1000（1＋0.1）=1100（元）；

其中利息为：

I1=A

（1）－A（0）=100（元）。

14．某银行年息为6%，李某于2008年8月存入5000元，则以复利计息5年后的积累值比以单利计息5年后的积累值多（　　）元。

A．150.13　 

B．191.13　 

C．300　 

D．6500　 

E．6691.13

【答案】B@@@

【解析】若以单利计息，则其5年后的积累值为：

A1（5）=5000（1＋5×6%）=6500（元）

若以复利计息，则其5年后的积累值为：

A2（5）=5000（1＋6%）5=6691.13（元）

故以复利计息比以单利计息多：

6691.13－6500=191.13（元）。

15．已知年实际利率为8%，则4年后支付10000元的现值为（　　）元。

A．7348.0　 

B．7349.1　 

C．7350.3　 

D．7351.2　 

E．7352.4

【答案】C@@@

【解析】由于i=8%，故

，所以4年后支付10000元的现值为：

（元）

16．（样题）在1980年1月1日，某人以年利率j（每半年计息一次）向X银行存入1000元，1985年1月1日，他以年利率k（每季计息一次）把X银行全部资金转存Y银行，1988年1月1日，其Y银行的存款余额为1990.76元，如果他从1980年1月1日至1988年1月1日都能获得年利率k（每季计息一次），则他的银行存款余额可达2203.76元。

则比率

=（　　）。

A．1.20　 

B．1.25　 

C．1.30　 

D．1.35　 

E．1.40

【答案】B@@@

【解析】从80年1月1日到88年1月1日存款积累值为：

　 　 ①

如果他来时就存入Y银行，则其在88年1月1日的银行存款余额为：

所以，

，

故

，代入①，解得：

故

。

17．王先生到银行存入5000元，第一年末他存折上的余额为5200元，第二年末他存折上的余额为5400元。

则其第一年、第二年的实际贴现率分别为（　　）。

A．3.846%；3.704%　 

B．3.704%；4%　 

C．4%；3.846%　 

D．4%；8%

E．3.846%；8%

【答案】A@@@

【解析】已知A（0）=5000，A

（1）=5200，A

（2）=5400，故

第一年的实际贴现率为：

=3.846%；

第二年的实际贴现率为：

=3.704%。

18．设0

（1）若0

>1－dt；

（2）若t=1，则

=1－dt；

（3）若t>1，则

<1－dt。

A．

（1）　 

B．

（2）　 

C．（3）　 

D．

（1）

（2）　 

E．

（1）

（2）（3）

【答案】B@@@

【解析】令

，于是

。

①当0

，从而

。

所以对任意的0

即当0

>1－dt；

②当t=1时，有：

=1－dt=1－d；

③当t>1时，

，所以

，f（d）为单调递增函数，

从而f（d）>f（0）=0，即当t>1时，

<1－dt。

19．已知某项投资在一年中能得到的利息金额为336元，而等价的贴现金额为300元，则其本金为（　　）元。

A．2500　 

B．2600　 

C．2700　 

D．2800　 

E．2900

【答案】D@@@

【解析】设本金为P元，则P·i=336，P·d=300，又d=i/1＋i，所以：

1＋i=336/300=1.12

解得：

i=0.12。

故本金P=336/0.12=2800（元）。

20．10000元按每年计息4次的年名义利率6%投资3年的积累值为（　　）元。

A．11956　 

B．11996　 

C．12000　 

D．12006　 

E．12056

【答案】A@@@

【解析】

=11956.2（元）。

21．（样题）用年贴现率

（每季计息一次），计算年利率

（每4年计息一次）所得的结果为（　　）。

A．

B．

C．

D．

E．

【答案】D@@@

【解析】因

，

又

，所以有：

，

因此，

。

22．如果

=0.01t，0≤t≤2。

则投资1000元在第1年末的积累值和第二年内的利息金额分别为（　 ）元。

A．1001；15.2　 

B．1002；15.0　 

C．1003；15.2　 

D．1004；15.0

E．1005；15.2

【答案】E@@@

【解析】由已知条件得：

=1005（元）；

第二年内的利息金额为：

=15.2（元）。

23．（样题）基金X本金为1000，按

累积，基金Y本金为1000，前3年按年名义利率8%（每半年计息一次）累积，以后按年复利率i累积，在第4年末基金X和基金Y价值相等，则i=（　　）。

A．0.0777　 

B．0.0800　 

C．0.0825　 

D．0.0850　 

E．0.0875

【答案】A@@@

【解析】基金X的积累值为：

，

基金Y的积累值为：

因第4年末基金X和基金Y价值相等，所以有：

X=Y，

即  

，

解得：

。

24．（样题）基金A在利息强度函数

下累积，基金B在利息强度函数

下累积，在t＝0和t＝n时，基金A与基金B价值相等。

已知a＞g＞0，h＞b＞0，计算n=（　　）。

A．

B．

C．

D．

E．

【答案】C@@@

【解析】t＝n时，基金A的积累值为：

，

基金B的积累值为：

，

两基金在t=n时的积累值相等，故有：

，

从而

。

25．如果实际利率在前3年为10%，随后2年为8%，再随后1年为6%，则一笔1000元的投资在这6年中所得总利息为（　　）元。

A．645.4　 

B．645.6　 

C．645.8　 

D．645.9　 

E．646.1

【答案】B@@@

【解析】由已知条件得：

I=A（6）－A（0）=1000[a（6）－1]

=1000[（1＋0.1）3×（1＋0.08）2×1.06－1]

=645.63（元）。

26．已知年度实际利率为8%，则与其等价的利息强度为（　　）。

A．7.7%　 

B．7.8%　 

C．7.9%　 

D．8.1%　 

E．8.2%

【答案】A@@@

【解析】已知i=8%，故

=7.7%。

27．已知一笔业务按利息强度为6%计息，则投资500元、经过8年的积累值为（　　）元。

A．805　 

B．806　 

C．808　 

D．810　 

E．812

【答案】C@@@

【解析】投资8年后的积累值为：

=808.04（元）。

28．（样题）已知

，对于n与n＋1（2≤n≤9）之间的任意一年时间里，计算

=（　　）。

A．

B．

C．

D．

E．

【答案】C@@@

【解析】1个单位在t＝n时的累积值为：

，

在n与n＋1之间的年贴现率为：

，

于是，

，

故

。

29．（样题）时间为t时的利息强度函数为

，则

=（　　）。

A．0.78　 

B．0.80　 

C．0.82　 

D．0.84　 

E．0.86

【答案】C@@@

【解析】

。

30．设A（t）=10t＋

＋2，则a（t）=（　　）。

A．t＋0.1

＋0.2　 

B．2t＋0.2

＋0.4　 

C．5t＋0.5

＋1　 

D．10t＋

＋2

E．11t＋1.1

＋2.2

【答案】C@@@

【解析】因为A（0）=2，故a（t）

=（10t＋

＋2）／2=5t＋0.5

＋1。

31．设A（3）=20，in=0.02n，则I6=（　 ）。

A．2.85　 

B．12.25　 

C．21.60　 

D．23.76　 

E．26.61

【答案】A@@@

【解析】由题意，得：

，

，

所以，I6=A（6）－A（5）=26.61－23.76=2.85。

32．已知a（t）=at2＋b，如果在0时投资1元，能在时刻3积累至12元；如果在时刻4投资10元，在时刻8的积累值为（　　）元。

A．200.6　 

B．205.6　 

C．210.6　 

D．215.6　 

E．220.6

【答案】B@@@

【解析】由a（0）=1，得b=1；

又由a（3）=9a＋1=12，得a=

。

故所求的积累值为：

10[

×42＋1]=205.6（元）。

33．在单利下，5元的投资在3个月后可得到1.2元的利息。

那么800元的投资在5个月后的积累值为（　　）元。

A．1115　 

B．1116　 

C．1118　 

D．1120　 

E．1122

【答案】D@@@

【解析】设每月的单利为i，由题意，得：

5[a（3）－a（0）]=5（1＋3i－1）=15i=1.2

解得：

i=8%。

故所求的积累值为：

800a（5）=800（1＋5×8%）=1120（元）。

34．在复利作用下，投资5元，3个月后可得到1.2个单位的利息。

则投资800元在5个月后的积累值为（　　）元。

A．1115　 

B．1125　 

C．1135　 

D．1145　 

E．1155

【答案】D@@@

【解析】由题意，得：

5a（3）=5（1＋i）3=5＋1.2=6.2，

所以1＋i=

=1.07434。

故所求积累值为：

800（1＋i）5=800×1.074345=1144.98（元）。

35．设某项投资的单利利率为10%，则在第（　　）个时期里它的实际利率为5%。

A．7　 

B．8　 

C．9　 

D．10　 

E．11

【答案】E@@@

【解析】由已知，单利

，设第n个时期的实际利率为5%，则

解得：

n=11。

36．将1000元款项以每年1%的利率投资10年，按单利计息，则第3年的利息为（　　）元。

A．7　 

B．8　 

C．9　 

D．10　 

E．11

【答案】D@@@

【解析】第3年的利息为：

1000[a（3）－a

（2）]=1000[（1＋3×1%）－（1＋2×1%）]=10（元）

37．按复利计算，将1000元款项以每年1%的利率投资10年，则第3年的利息为（　　）元。

A．7.00　 

B．8.50　 

C．9.02　 

D．10.20　 

E．11.68

【答案】D@@@

【解析】第3年的复利利息为：

1000[a（3）－a

（2）]=1000[（1＋i）3－（1＋i）2]=10.201（元）

38．已知3个单位元经过3个月将增长到5个单位元，则在第1个月末、第2个月末、第4个月末、第6个月末分别投资6个单位元的现值之和为（　　）个单位元。

A．7.02　 

B．10.50　 

C．14.53　 

D．18.20　 

E．20.68

【答案】C@@@

【解析】设月利率为i，由题意，得：

3（1＋i）3=5，

所以，（1＋i）-1=0.84343。

故所求现值之和为：

6[（1＋i）-1＋（1＋i）-2＋（1＋i）-4＋（1＋i）-6]

=6（0.84343＋0.843432＋0.843434＋0.843436）

=14.525。

39．分别对6%的复利与单利计算d6为（　　）。

A．5.06%；4.21%　 

B．5.66%；4.41%　 

C．5.96%；4.51%　 

D．6.0%；6%

E．6.46%；4.71%

【答案】B@@@

【解析】对复利6%，有：

=0.05660；

对单利6%，有：

=0.04412。

40．复利下，贴现率为6%时，d6=____；单利下，贴现率为6%时，d6=____。

（　　）

A．6%；8.57%　 

B．6.66%；6%　 

C．6.96%；4.51%　 

D．7.06%；6%

E．8.46%；4.71%

【答案】A@@@

【解析】复利下，有：

d6=d=0.06；

单利下，有：

=0.0857。