方程与方程组经典.docx

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方程与方程组经典

方程与方程组

一、知识要点概述

1、等式和方程的有关概念、等式的基本性质．

2、一元一次方程的解法及最简方程ax=b解的三种情况．

（1）解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项和将未知数的系数化为1．

（2）最简方程ax=b的解有以下三种情况：

　　①当a≠0时，方程有唯一解

；

　　②当a=0，b≠0时，方程无解．

　　③当a=0，b=0时，方程有无穷多解．

3、一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c=0（a≠0）

　　其解法主要有：

直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法．

4、一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的求根公式是：

注意：

求根公式成立的条件为：

①a≠0；②b2－4ac≥0．

5、一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的根的判别式是△=b2－4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根．

当△=0时，方程有两个相等的实数根，即

；

当△＜0时，方程没有实根，反之成立．

6、若一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的两根为x1，x2，则

7、以两数α、β为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2－（α＋β）x＋αβ=0．

8、解一次方程组的基本思想是消元，常用的消元方法是加减消元法和代入消元法．

9、解简单的二元二次方程组的基本思想是“消元”与“降次”．①若方程组中有一个是一次方程，则一般用代入消元法求解；②若方程组中有能分解成两个一次方程的方程，则一般用“分解降次”的方法将原方程组化为两个或四个方程组求解．

10、简单的分式方程组的解法，一般是用去分母或换元法将其转化为整式方程组求解，并要验解．

11、方程组的解的存在性问题，一般转化为方程的解的存在性问题来研究．

二、典例剖析

点评：

灵活解一元一次方程时常用到以下方法技巧．

（1）若括号内有分数时，则由外向内先去括号，再去分母；

（2）若有多重括号，则去括号与合并同类项交替进行；

（3）恰当用整体思想．

例2、解下列关于x的方程．

（1）4x＋b=ax－8（a≠4）

（2）mx－1=nx

（3）

分析：

把方程化为一般形式后，再对每个方程中字母系数可能取值的情况进行讨论．

例4、已知m是整数，方程组

有整数解，求m的值．

分析：

先求出y，运用整除的性质求出m的值，需注意所求的整数m要使得x也为整数．

　解：

由原方程组解得

，

　　若y有整数解，则2m＋9=±1或±2或±17或±34，经检验当2m＋9=±1或±17时，m为整数且x也为整数，得m=4或－4或－5或－13．

例5、已知关于x的一元二次方程

有两个不等的实数根．

（1）求m的取值范围；

例7、解下列方程

（2）3x2＋x－7=0

分析：

　　对于

（1）首先应回避复杂的小数运算，注意此时只运用分数的基本性质而未用到等式有关性质．

　　对于

（2）此方程用分解因式法难以行通，故考虑用求根公式．

解：

（1）原方程化简得

　　　　方程两边都乘以12（即去分母）得

　　　　3（35x－5）=4（5－x）－6（25x＋5）

　　　　去括号得：

105x－15=20－4x－150x－30

　　　　移项及合并同类项得：

259x=5

例8、如果关于x的一元二次方程kx2－2（k＋2）x＋k＋5=0没有实根，试说明关于x的方程（k－5）x2－2（k＋2）x＋k=0必有实数根．

分析：

　　由一元二次方程kx2－2（k＋2）x＋k＋5=0没有实数根，可以得出k≠0，b2－4ac＜0，从而求出k的取值范围，再由k的取值范围来说明（k－5）x2－2（k＋2）x＋k=0必有实数根．

解：

∵关于kx2－2（k＋2）x＋k＋5=0没有实数根，

　　解得k＞4

当k=5时，方程（k－5）x2－2（k＋2）x＋k=0为一元一次方程，－14x＋5=0，此时方程的根为

．

当k≠5时，方程（k－5）x2－2（k＋2）x＋k=0为一元二次方程

∴△=[－2（k＋2）]2－4（k－5）·k=4（9k＋4）

∵k＞4且k≠5，∴△=4（9k＋4）＞0

∴此时方程必有两不等实数根，

综上可知方程（k－5）x2－2（k＋2）x＋k=0必有实数根．

点评：

（1）方程“有实数根”与“有两个实数根”有着质的区别．方程“有实数根”表示方程可能为一元一次方程，此时方程有一实数根，方程也可能为一元二次方程，此时方程有两个实数根，而方程“有两个实数根”，则表示此时方程一定为一元二次方程．

点评：

　　构造一元二次方程是解题的常用技巧，构造的主要方法有：

（1）当已知等式具有相同的结构，就可以把两个变元看成关于某个字母的一元二次方程；

（2）对于含有多个变元的等式，可以将等式整理为关于某个字母的一元二次方程．

分式方程

一、知识要点概述

1、分式方程：

分母中含有未知数的有理方程叫分式方程．

2、解分式方程的基本思想方法是：

3、解分式方程必须验根．

二、典型例题剖析

例1、解方程

．

分析：

根据解分式方程的一般步骤来解此题．

　解：

方程两边同乘以（x＋3）（x－2）得：

　　　10＋2（x－2）=（x＋3）（x－2）

　　　化简，整理得：

x2－x－12=0

　　　解之得x1=－3或x2=4

　　　经检验可知：

x1=－3是原方程的增根，x2=4是原方程的根．

　　　∴原方程的根是x=4．

分析：

用换元法解这些分式方程．

　解：

（1）设x2－x=y，则原方程变为

　　　　解这个方程得y1=－2，y2=6，

　　　　当y1=－2时，x2－x=－2，此方程无解；

　　　　当y2=6时，x2－x=6，∴x1=－2，x2=3．

　　　　经检验可知：

x1=－2，x2=3都是原方程的根．

　　　　∴原方程的解为x1=－2，x2=3．

例3、当m为何值时，关于x的方程

无实根？

分析：

　　先将分式方程化为整式方程，如果整式方程有实根，那么这些根均是原方程的增根，这样x=0或x=1是所得整式方程的根，如果整式方程无实根，那么原方程也无实根．

　解：

原方程去分母，整理得：

x2－x＋2－m=0　　①

（1）若方程①有实根，根据题意知，方程①的根为x=0或x=1．

　　　　把x=0或x=1代入方程①得m=2．

　　　　而x=0或x=1是原方程的增根．

　　　　∴当m=2时原方程无实根．

（2）若方程

（1）无实根，则△=（－1）2－4（2－m）＜0

　　　　解之得

　　　　∴当

时，原方程无实根．

　　　　综合之，当m=2或

时，原方程无实根．

例4、若方程

有增根，试求m的值．

分析：

　　分式方程将会产生增根，即最简公分母x2－4=0，故方程产生增根有两种可能：

x1=2，x2=－2．由增根的定义知：

x1=2，x2=－2是原分式方程去分母化成整式方程的根，由根的定义即可求出m的值．

　解：

将原方程去分母得：

2（x＋2）＋mx=3（x－2）

　　　整理得：

（m－1）x=－10

（1）

　　　∵原方程有增根，∴x2－4=0

　　　∴x1=2，x2=－2．

　　　将x1=2代入

（1）得2（m－1）=－10

　　　∴m=－4

　　　将x2=－2代入

（1）得－2（m－1）=－10

　　　∴m=6

　　　所以m的值为－4或6．

点评：

（1）增根的求法：

令最简公分母为0；

（2）求有增根的方程中参数的值，应先求出可能的增根，再将其代入化简后的整式方程即可．

例5、已知a2－a－1=0且

求x的值．

分析：

　　为求x的值，须将x与a2分离，联想到分式的基本性质，从而原等式含

，这样应从条件出发构造倒数关系．

解：