方程与方程组经典.docx
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方程与方程组经典
方程与方程组
一、知识要点概述
1、等式和方程的有关概念、等式的基本性质.
2、一元一次方程的解法及最简方程ax=b解的三种情况.
(1)解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项和将未知数的系数化为1.
(2)最简方程ax=b的解有以下三种情况:
①当a≠0时,方程有唯一解
;
②当a=0,b≠0时,方程无解.
③当a=0,b=0时,方程有无穷多解.
3、一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)
其解法主要有:
直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法.
4、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是:
注意:
求根公式成立的条件为:
①a≠0;②b2-4ac≥0.
5、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式是△=b2-4ac.当△>0时,方程有两个不相等的实数根.
当△=0时,方程有两个相等的实数根,即
;
当△<0时,方程没有实根,反之成立.
6、若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,则
7、以两数α、β为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2-(α+β)x+αβ=0.
8、解一次方程组的基本思想是消元,常用的消元方法是加减消元法和代入消元法.
9、解简单的二元二次方程组的基本思想是“消元”与“降次”.①若方程组中有一个是一次方程,则一般用代入消元法求解;②若方程组中有能分解成两个一次方程的方程,则一般用“分解降次”的方法将原方程组化为两个或四个方程组求解.
10、简单的分式方程组的解法,一般是用去分母或换元法将其转化为整式方程组求解,并要验解.
11、方程组的解的存在性问题,一般转化为方程的解的存在性问题来研究.
二、典例剖析
点评:
灵活解一元一次方程时常用到以下方法技巧.
(1)若括号内有分数时,则由外向内先去括号,再去分母;
(2)若有多重括号,则去括号与合并同类项交替进行;
(3)恰当用整体思想.
例2、解下列关于x的方程.
(1)4x+b=ax-8(a≠4)
(2)mx-1=nx
(3)
分析:
把方程化为一般形式后,再对每个方程中字母系数可能取值的情况进行讨论.
例4、已知m是整数,方程组
有整数解,求m的值.
分析:
先求出y,运用整除的性质求出m的值,需注意所求的整数m要使得x也为整数.
解:
由原方程组解得
,
若y有整数解,则2m+9=±1或±2或±17或±34,经检验当2m+9=±1或±17时,m为整数且x也为整数,得m=4或-4或-5或-13.
例5、已知关于x的一元二次方程
有两个不等的实数根.
(1)求m的取值范围;
例7、解下列方程
(2)3x2+x-7=0
分析:
对于
(1)首先应回避复杂的小数运算,注意此时只运用分数的基本性质而未用到等式有关性质.
对于
(2)此方程用分解因式法难以行通,故考虑用求根公式.
解:
(1)原方程化简得
方程两边都乘以12(即去分母)得
3(35x-5)=4(5-x)-6(25x+5)
去括号得:
105x-15=20-4x-150x-30
移项及合并同类项得:
259x=5
例8、如果关于x的一元二次方程kx2-2(k+2)x+k+5=0没有实根,试说明关于x的方程(k-5)x2-2(k+2)x+k=0必有实数根.
分析:
由一元二次方程kx2-2(k+2)x+k+5=0没有实数根,可以得出k≠0,b2-4ac<0,从而求出k的取值范围,再由k的取值范围来说明(k-5)x2-2(k+2)x+k=0必有实数根.
解:
∵关于kx2-2(k+2)x+k+5=0没有实数根,
解得k>4
当k=5时,方程(k-5)x2-2(k+2)x+k=0为一元一次方程,-14x+5=0,此时方程的根为
.
当k≠5时,方程(k-5)x2-2(k+2)x+k=0为一元二次方程
∴△=[-2(k+2)]2-4(k-5)·k=4(9k+4)
∵k>4且k≠5,∴△=4(9k+4)>0
∴此时方程必有两不等实数根,
综上可知方程(k-5)x2-2(k+2)x+k=0必有实数根.
点评:
(1)方程“有实数根”与“有两个实数根”有着质的区别.方程“有实数根”表示方程可能为一元一次方程,此时方程有一实数根,方程也可能为一元二次方程,此时方程有两个实数根,而方程“有两个实数根”,则表示此时方程一定为一元二次方程.
点评:
构造一元二次方程是解题的常用技巧,构造的主要方法有:
(1)当已知等式具有相同的结构,就可以把两个变元看成关于某个字母的一元二次方程;
(2)对于含有多个变元的等式,可以将等式整理为关于某个字母的一元二次方程.
分式方程
一、知识要点概述
1、分式方程:
分母中含有未知数的有理方程叫分式方程.
2、解分式方程的基本思想方法是:
3、解分式方程必须验根.
二、典型例题剖析
例1、解方程
.
分析:
根据解分式方程的一般步骤来解此题.
解:
方程两边同乘以(x+3)(x-2)得:
10+2(x-2)=(x+3)(x-2)
化简,整理得:
x2-x-12=0
解之得x1=-3或x2=4
经检验可知:
x1=-3是原方程的增根,x2=4是原方程的根.
∴原方程的根是x=4.
分析:
用换元法解这些分式方程.
解:
(1)设x2-x=y,则原方程变为
解这个方程得y1=-2,y2=6,
当y1=-2时,x2-x=-2,此方程无解;
当y2=6时,x2-x=6,∴x1=-2,x2=3.
经检验可知:
x1=-2,x2=3都是原方程的根.
∴原方程的解为x1=-2,x2=3.
例3、当m为何值时,关于x的方程
无实根?
分析:
先将分式方程化为整式方程,如果整式方程有实根,那么这些根均是原方程的增根,这样x=0或x=1是所得整式方程的根,如果整式方程无实根,那么原方程也无实根.
解:
原方程去分母,整理得:
x2-x+2-m=0 ①
(1)若方程①有实根,根据题意知,方程①的根为x=0或x=1.
把x=0或x=1代入方程①得m=2.
而x=0或x=1是原方程的增根.
∴当m=2时原方程无实根.
(2)若方程
(1)无实根,则△=(-1)2-4(2-m)<0
解之得
∴当
时,原方程无实根.
综合之,当m=2或
时,原方程无实根.
例4、若方程
有增根,试求m的值.
分析:
分式方程将会产生增根,即最简公分母x2-4=0,故方程产生增根有两种可能:
x1=2,x2=-2.由增根的定义知:
x1=2,x2=-2是原分式方程去分母化成整式方程的根,由根的定义即可求出m的值.
解:
将原方程去分母得:
2(x+2)+mx=3(x-2)
整理得:
(m-1)x=-10
(1)
∵原方程有增根,∴x2-4=0
∴x1=2,x2=-2.
将x1=2代入
(1)得2(m-1)=-10
∴m=-4
将x2=-2代入
(1)得-2(m-1)=-10
∴m=6
所以m的值为-4或6.
点评:
(1)增根的求法:
令最简公分母为0;
(2)求有增根的方程中参数的值,应先求出可能的增根,再将其代入化简后的整式方程即可.
例5、已知a2-a-1=0且
求x的值.
分析:
为求x的值,须将x与a2分离,联想到分式的基本性质,从而原等式含
,这样应从条件出发构造倒数关系.
解: