方程与方程组经典.docx

1、方程与方程组经典方程与方程组一、知识要点概述1、等式和方程的有关概念、等式的基本性质2、一元一次方程的解法及最简方程ax=b解的三种情况(1)解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项和将未知数的系数化为1(2)最简方程ax=b的解有以下三种情况：当a0时，方程有唯一解；当a=0，b0时，方程无解当a=0，b=0时，方程有无穷多解3、一元二次方程的一般形式是ax2bxc=0(a0)其解法主要有：直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法4、一元二次方程ax2bxc=0(a0)的求根公式是：注意：求根公式成立的条件为：a0；b24ac05、一元二次方程ax2bxc=0(a0)的

2、根的判别式是=b24ac当0时，方程有两个不相等的实数根当=0时，方程有两个相等的实数根，即；当0时，方程没有实根，反之成立6、若一元二次方程ax2bxc=0(a0)的两根为x1，x2，则7、以两数、为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2()x=08、解一次方程组的基本思想是消元，常用的消元方法是加减消元法和代入消元法9、解简单的二元二次方程组的基本思想是“消元”与“降次”若方程组中有一个是一次方程，则一般用代入消元法求解；若方程组中有能分解成两个一次方程的方程，则一般用“分解降次”的方法将原方程组化为两个或四个方程组求解10、简单的分式方程组的解法，一般是用去分母或换元法将其转化为整式方

3、程组求解，并要验解11、方程组的解的存在性问题，一般转化为方程的解的存在性问题来研究二、典例剖析点评：灵活解一元一次方程时常用到以下方法技巧(1)若括号内有分数时，则由外向内先去括号，再去分母；(2)若有多重括号，则去括号与合并同类项交替进行；(3)恰当用整体思想例2、解下列关于x的方程(1)4xb=ax8(a4)(2)mx1=nx(3)分析：把方程化为一般形式后，再对每个方程中字母系数可能取值的情况进行讨论例4、已知m是整数，方程组有整数解，求m的值分析：先求出y，运用整除的性质求出m的值，需注意所求的整数m要使得x也为整数解：由原方程组解得，若y有整数解，则2m9=1或2或17或34，经检

4、验当2m9=1或17时，m为整数且x也为整数，得m=4或4或5或13例5、已知关于x的一元二次方程有两个不等的实数根(1)求m的取值范围；例7、解下列方程(2)3x2x7=0分析：对于(1)首先应回避复杂的小数运算，注意此时只运用分数的基本性质而未用到等式有关性质对于(2)此方程用分解因式法难以行通，故考虑用求根公式解：(1)原方程化简得方程两边都乘以12(即去分母)得3(35x5)=4(5x)6(25x5)去括号得：105x15=204x150x30移项及合并同类项得：259x=5例8、如果关于x的一元二次方程kx22(k2)xk5=0没有实根，试说明关于x的方程(k5)x22(k2)xk=

5、0必有实数根分析：由一元二次方程kx22(k2)xk5=0没有实数根，可以得出k0，b24ac0，从而求出k的取值范围，再由k的取值范围来说明(k5)x22(k2)xk=0必有实数根解：关于kx22(k2)xk5=0没有实数根，解得k4当k=5时，方程(k5)x22(k2)xk=0为一元一次方程，14x5=0，此时方程的根为当k5时，方程(k5)x22(k2)xk=0为一元二次方程=2(k2)24(k5)k=4(9k4)k4且k5，=4(9k4)0此时方程必有两不等实数根，综上可知方程(k5)x22(k2)xk=0必有实数根点评：(1)方程“有实数根”与“有两个实数根”有着质的区别方程“有实数

6、根”表示方程可能为一元一次方程，此时方程有一实数根，方程也可能为一元二次方程，此时方程有两个实数根，而方程“有两个实数根”，则表示此时方程一定为一元二次方程点评：构造一元二次方程是解题的常用技巧，构造的主要方法有：(1)当已知等式具有相同的结构，就可以把两个变元看成关于某个字母的一元二次方程；(2)对于含有多个变元的等式，可以将等式整理为关于某个字母的一元二次方程分式方程一、知识要点概述1、分式方程：分母中含有未知数的有理方程叫分式方程2、解分式方程的基本思想方法是：3、解分式方程必须验根二、典型例题剖析例1、解方程分析：根据解分式方程的一般步骤来解此题解：方程两边同乘以(x3)(x2)得：1

7、02(x2)=(x3)(x2)化简，整理得：x2x12=0解之得x1=3或x2=4经检验可知：x1=3是原方程的增根，x2=4是原方程的根原方程的根是x=4分析：用换元法解这些分式方程解：(1)设x2x=y，则原方程变为 解这个方程得y1=2，y2=6， 当y1=2时，x2x=2，此方程无解； 当y2=6时，x2x=6，x1=2，x2=3 经检验可知：x1=2，x2=3都是原方程的根 原方程的解为x1=2，x2=3例3、当m为何值时，关于x的方程无实根？分析：先将分式方程化为整式方程，如果整式方程有实根，那么这些根均是原方程的增根，这样x=0或x=1是所得整式方程的根，如果整式方程无实根，那么

8、原方程也无实根解：原方程去分母，整理得：x2x2m=0(1)若方程有实根，根据题意知，方程的根为x=0或x=1 把x=0或x=1代入方程得m=2 而x=0或x=1是原方程的增根 当m=2时原方程无实根(2)若方程(1)无实根，则=(1)24(2m)0 解之得 当时，原方程无实根 综合之，当m=2或时，原方程无实根例4、若方程有增根，试求m的值分析：分式方程将会产生增根，即最简公分母x24=0，故方程产生增根有两种可能：x1=2，x2=2由增根的定义知：x1=2，x2=2是原分式方程去分母化成整式方程的根，由根的定义即可求出m的值解：将原方程去分母得：2(x2)mx=3(x2)整理得：(m1)x=10 (1)原方程有增根，x24=0x1=2，x2=2将x1=2代入(1)得2(m1)=10m=4将x2=2代入(1)得2(m1)=10m=6所以m的值为4或6点评：(1)增根的求法：令最简公分母为0；(2)求有增根的方程中参数的值，应先求出可能的增根，再将其代入化简后的整式方程即可例5、已知a2a1=0且求x的值分析：为求x的值，须将x与a2分离，联想到分式的基本性质，从而原等式含，这样应从条件出发构造倒数关系解：