全等三角形问题中常见的辅助线的作法.docx

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全等三角形问题中常见的辅助线的作法

全等三角形问题中常见的辅助线的作法

常见辅助线的作法有以下几种：

1）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．

2）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法

适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．

3）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．

4）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．

5）过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”

特殊方法：

在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．

一、倍长中线（线段）造全等

例1.已知：

如图3所示，AD为△ABC的中线，

求证：

AB+AC>2AD。

分析：

要证AB+AC>2AD，由图形想到：

AB+BD>AD,AC+CD>AD，所以有：

AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD，

但它的左边比要证结论多BD+CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。

证明：

延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CE。

3图

例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：

AD平分∠BAE.

因为BD=DC=AC，所以AC=1/2BC

因为E是DC中点，所以EC=1/2DC=1/2AC

∠ACE=∠BCA，所以△BCA∽△ACE

所以∠ABC=∠CAE

因为DC=AC，所以∠ADC=∠DAC

∠ADC=∠ABC+∠BAD

所以∠ABC+∠BAD=∠DAE+∠CAE

所以∠BAD=∠DAE

即AD平分∠BAE

应用：

二、截长补短

例1.已知：

如图1所示，AD为△ABC的中线，且∠1=∠2,∠3=∠4。

求证：

BE+CF>EF。

分析：

要证BE+CF>EF，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE，CF，EF移到同一个三角形中，而由已知∠1=∠2，∠3=∠4，可在角的两边截取相等的线段，利用全等三角形的对应边相等，把EN，FN，EF移到同个三角形中。

证明：

在DN上截取DN=DB，连接NE，NF。

延长FD到G,使DG=FD,再连结EG,BG

1、如图，

中，AB=2AC，AD平分

，且AD=BD，求证：

CD⊥AC

证明：

取AB中点E，连接DE

∵AD=BD

∴DE⊥AB，即∠AED=90º【等腰三角形三线合一】

∵AB=2AC

∴AE=AC

又∵∠EAD=∠CAD【AD平分∠BAC】

AD=AD

∴⊿AED≌⊿ACD（SAS）

∴∠C=∠AED=90º

∴CD⊥AC

2、如图，AC∥BD，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD过点E，求证;AB＝AC+BD

在AB上取点N,使得AN=AC

∠CAE=∠EAN,AE为公共边,所以三角形CAE全等三角形EAN

所以∠ANE=∠ACE

又AC平行BD

所以∠ACE+∠BDE=180

而∠ANE+∠ENB=180

所以∠ENB=∠BDE

∠NBE=∠EBN

BE为公共边,所以三角形EBN全等三角形EBD

所以BD=BN

所以AB=AN+BN=AC+BD

3、如图，已知在

内，

，

，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是

，

的角平分线。

求证：

BQ+AQ=AB+BP

证明：

做辅助线PM‖BQ，与QC相交与M。

（首先算清各角的度数）

∵∠APB=180°—∠BAP—∠ABP=180°—30°—80°=70°

且∠APM=180°—∠APB—∠MPC=180°—70°—∠QBC（同位角相等）=180°—70°—40°=70°

∴∠APB=∠APM

又∵AP是BAC的角平分线，

∴∠BAP=∠MAP

AP是公共边

∴△ABP≌△AMP（角边角）

∴AB=AM，BP=MP

在△MPC中，∠MCP=∠MPC=40°

∴MP=MC

∴AB+BP=AM+MP=AM+MC=AC

在△QBC中

∵∠QBC=QCB=40°

∴BQ=QC

∴BQ+AQ=AQ+QC=AC

∴BQ+AQ=AB+BP

赞同

4、角平分线

如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分

，

求证：

延长BA,作DF⊥BA的延长线，作DE⊥BC

∵∠1=∠2

∴DE=DF（角分线上的点到角的两边距离相等）

∴在Rt△DFA与Rt△DEC中

｛AD=DC,DF=DE}

∴Rt△DFA≌Rt△DEC（HL）

∴∠3=∠C

因为∠4+∠3=180°

∴∠4+∠C=180°

即∠A+∠C=180°♢

5、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC

延长AC至E，使AE=AB，连结PE。

然后证明一下△ABP≌AEP得到PB=PE备用（角边角证很容易吧~）

△PCE中，EC>PE-PC

∵EC=AE-AC，AE=AB

∴EC=AB-AC

又PB=PE

∴PE-PC=PB-PC

∴AB-AC>PB-PC

三、平移变换

例

1AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为

，△EBC周长记为

.求证

＞

.

例2如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：

AB+AC>AD+AE.

四、借助角平分线造全等

1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：

OE=OD

在AC上取点F，使AF=AE

∵AD是角A的平分线

∴∠EAO＝∠FAE

∵AO=AO

∴三角形AEO与AFO全等（两边夹角相等）

∴EO=FO，∠AOE＝∠AOF

∵CE是∠C的平分线

∴∠DCO＝∠FCO

∵∠B＝60°

∴∠A+∠C＝180－60＝120°

∴∠COD=∠CAO＋∠OCA＝∠A/2＋∠C/2＝60度

∴∠OCF＝180－∠AOF-∠COD＝180－60－60＝60°

∴∠OCF＝∠COD

∵OC=OC

∴三角形OCD与CFO全等（两边夹角相等）

∴CF=CD

∴AC=AF+CF＝AE+CD

即：

AE+CD=AC

2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.

（1）说明BE=CF的理由；

（2）如果AB=

，AC=

，求AE、BE的长.

证明：

连接BD,CD

DG⊥BC于G且平分BC

所以GD为BC垂直平分线

垂直平分线上的点到线段两端点距离相等

BD=CD

角平分线上的点到角两边距离相等

AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC的延长线于F

所以DE=DF

在RT△BED,RT△CFD中

DE=DF

BD=CD

RT△BED≌RT△CFD（HL）

BE=CF

应用：

五、旋转

例

1正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.

将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度，至三角形ABG

则GE=GB+BE=DF+BE=EF

又AE=AE，AF=AG，

所以三角形AEF全等于AEG

所以∠EAF=∠GAE=∠BAE+∠GAB=∠BAE+∠DAF

又∠EAF+∠BAE+∠DAF=90

所以∠EAF=45度

例2D为等腰

斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。

（1）

当

绕点D转动时，求证DE=DF。

（2）若AB=2，求四边形DECF的面积。

做DP⊥BC，垂足为P，做DQ⊥AC，垂足为Q

∵D为中点，且△ABC为等腰RT△ABC

∴DP=DQ=½BC=½AC

又∵∠FDQ=∠PDE（旋转）∠DQF=∠DPE=90°

∴△DQF≌△DPE

∴S△DQF=S△DPE

又∵S四边形DECF=S四边形DFCP+S△DPE

∴S四边形DECF=S四边形DFCP+S△DQF=½BC*½AC=¼AC²（AC=BC=定值）

∴四边形DECF面积不会改变

例3如图，

是边长为3的等边三角形，

是等腰三角形，且

，以D为顶点做一个

角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则

的周长为；

我简单说一下

过D点做DE⊥AB的延长线

然后证明DMN≌DME

（注意△DBE实际上是△DCN旋转后得来的）