11阶立方体魔方阵的制作及原理精.docx
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11阶立方体魔方阵的制作及原理精
11階立方體魔方陣的製作及原理
摘要：
在這篇報告中，我們將0~1330中每一個正整數，先將每一個數都連續除以11兩次，再把每一個數的餘數以及商，分別取
出來，再將每一個數都表示成a×112+b×11+c，其中a、b、c都是0~10的正整數，再將這些數轉化成座標形式（a、b、c），再利用等差數列的觀念，從原點分別向X軸、Y軸、Z軸增加一定的座標量，希望11階立方體陣中，每一個平面上它們的橫線、直線、對角線，及立方體的四條對角線，他們的x座標、y座標及z座標0~10均只出現一次，如此一來，將這些座標換算回所對的數，會出現每一個面的直線、橫線、對角線及方體中四條對角線上面的數字總和相等的結果。
研究動機：
在上學期學習「數量關係」，曾經提到一種以相同大小
增加或減少的數列，老師提到可以用這種觀念來解釋
平面上的魔方陣.在「有趣的魔方陣」這本書中，我們
又看到了有關於魔方的各種製作方法及各式各樣的變
形魔方，其中所介紹的立體方陣引起了我們的興趣
，但是我們發現書本所記的立體方陣都只提到2階，3
階或者12面體的立體方陣（見圖）的製作及結果，但
是這本書的介紹僅限於此，並沒有再提到任何立體方
陣的敘述，所以我們就想到了一個問題:
”能不能用類似
的手法創造一個與正方形魔方類似的立體方陣?
”，也
就是在它的格子中填入一些數字，使它裡面的每一面
橫、直、對角線的總和均相等且立方體內的四條對角
線總和也與前述相等，基於這項原因經過多次的實驗
及推理觀察，我們將對11階的立方體進行觀察研究。
研究目的：
發展一個製作11階立方體魔方的方法，使它能滿足
研究動機中的結論，並推測是否還有其他立體方陣
存在。
研究方法：
根據85年度嘉義中小學科展作品「奇數階的製作及
原理」我們以11階的平面魔方陣為例，重新觀察它
的製作過程，現在我們的問題是:
”將0－120的每一
個正整數填入（如圖）11×11的正方形空格中，使
它的直、橫、及對角線總和均相等”，面對這個問題，
我們先將0－120的每個數都除以11，找出商及餘數
，並表示成座標得到詳細結果如下：
0÷11＝0……0（0，0）1÷11＝0……1（0，1）2÷11＝0……2（0，2）
3÷11＝0……3（0，3）4÷11＝0……4（0，4）5÷11＝0……5（0，5）
6÷11＝0……6（0，6）7÷11＝0……7（0，7）8÷11＝0……8（0，8）
9÷11＝0……9（0，9）10÷11＝0……10（0，10）11÷11＝1……0（1，0）
12÷11＝1……1（1，1）13÷11＝1……2（1，2）14÷11＝1……3（1，3）
15÷11＝1……4（1，4）16÷11＝1……5（1，5）17÷11＝1……6（1，6）
18÷11＝1……7（1，7）19÷11＝1……8（1，8）20÷11＝1……9（1，9）
21÷11＝1……10（1，10）22÷11＝2……0（2，0）23÷11＝2……1（2，1）
24÷11＝2……2（2，2）25÷11＝2……3（2，3）26÷11＝2……4（2，4）
27÷11＝2……5（2，5）28÷11＝2……6（2，6）29÷11＝2……7（2，7）
30÷11＝2……8（2，8）31÷11＝2……9（2，9）32÷11＝2……10（2，10）
33÷11＝3……0（3，0）34÷11＝3……1（3，1）35÷11＝3……2（3，2）
36÷11＝3……3（3，3）37÷11＝3……4（3，4）38÷11＝3……5（3，5）
39÷11＝3……6（3，6）40÷11＝3……7（3，7）41÷11＝3……3（3，8）
42÷11＝3……9（3，9）43÷11＝3……10（3，10）44÷11＝4……0（4，0）
45÷11＝4……1（4，1）46÷11＝4……2（4，2）47÷11＝4……3（4，3）
48÷11＝4……4（4，4）49÷11＝4……5（4，5）50÷11＝4……6（4，6）
51÷11＝4……7（4，7）52÷11＝4……8（4，8）53÷11＝4……9（4，9）
54÷11＝4……10（4，10）55÷11＝5……0（5，0）56÷11＝5……1（5，1）
57÷11＝5……2（5，2）58÷11＝5……3（5，3）59÷11＝5……4（5，4）
60÷11＝5……5（5，5）61÷11＝5……6（5，6）62÷11＝5……7（5，7）
63÷11＝5……8（5，8）64÷11＝5……9（5，9）65÷11＝5……10（5，10）
66÷11＝6……0（6，0）67÷11＝6……1（6，1）68÷11＝6……2（6，2）
69÷11＝6……3（6，3）70÷11＝6……4（6，4）71÷11＝6……5（6，5）
72÷11＝6……6（6，6）73÷11＝6……7（6，7）74÷11＝6……8（6，8）
75÷11＝6……9（6，9）76÷11＝6……10（6，10）77÷11＝7……0（7，0）
78÷11＝7……1（7，1）79÷11＝7……2（7，2）80÷11＝7……3（7，3）
81÷11＝7……4（7，4）82÷11＝7……5（7，5）83÷11＝7……6（7，6）
84÷11＝7……7（7，7）85÷11＝7……8（7，8）86÷11＝7……9（7，9）
87÷11＝7……10（7，10）88÷11＝8……0（8，0）89÷11＝8……1（8，1）
90÷11＝8……2（8，2）91÷11＝8……3（8，3）92÷11＝8……4（8，4）
93÷11＝8……5（8，5）94÷11＝8……6（8，6）95÷11＝8……7（8，7）
96÷11＝8……8（8，8）97÷11＝8……9（8，9）98÷11＝8……10（8，10）
99÷11＝9……0（9，0）100÷11＝9……1（9，1）101÷11＝9……2（9，2）
102÷11＝9……3（9，3）103÷11＝9……4（9，4）104÷11＝9……5（9，5）
105÷11＝9……6（9，6）106÷11＝9……7（9，7）107÷11＝9……8（9，8）
108÷11＝9……9（9，9）109÷11＝9……10（9，10）110÷11＝10……0（10，0）
111÷11＝10……1（10，1）112÷11＝10……2（10，2）113÷11＝10……3（10，3）
114÷11＝10……4（10，4）115÷11＝10……5（10，5）116÷11＝10……6（10，6）
117÷11＝10……7（10，7）118÷11＝10……8（10，8）119÷11＝10……9（10，9）
120÷11＝10……10（10，10）
現在我們想將這些數對填入空格中，而且我們希望能讓我們的
橫、直、對角線的x座標及y座標總和均相等，我們所利用的
方法如下：
從左下角開始填入（0，0）分別向下每跳一格加上
（1，1），（2，3）我們可先得到如下圖結果：
（8，1）
（6，9）
（4，6）
（2，3）
（0，0）
（1，1）
（2，2）
（3，3）
因為（6，9）再加（2，3）得到（8，12），我們將12除以11取其餘數一可得座標（8，1）再將其向填入空格中，其餘的座標填法均如上所述，所以我們將所有座標填入後所得到下圖結果（見圖3）
（9，8）
（10，9）
（0，10）
（1，0）
（2，1）
（3，2）
（4，3）
（5，4）
（6，5）
（7，6）
（8，7）
（7，5）
（8，6）
（9，7）
（10，8）
（0，9）
（1，10
（2，0）
（3，1）
（4，2）
（5，3）
（6，4）
（5，2）
（6，3）
（7，4）
（8，5）
（9，6）
（10，7）
（0，8）
（1，9）
（2，10）
（3，0）
（4，1）
（3，10）
（4，0）
（5，1）
（6，2）
（7，3）
（8，4）
（9，5）
（10，6）
（0，7）
（1，8）
（2，9）
（1，7）
（2，8）
（3，9）
（4，10）
（5，0）
（6，1）
（7，2）
（8，3）
（9，4）
（10，5）
（0，6）
（10，4）
（0，5）
（1，6）
（2，7）
（.3，8）
（4，9）
（5，10）
（6，0）
（7，1）
（8，2）
（9，3）
（8，1）
（9，2）
（10，3）
（0，4）
（1，5）
（2，6）
（3，7）
（4，8）
（5，9）
（6，10）
（7，0）
（6，9）
（7，10）
（8，0）
（9，1）
（10，2）
（0，3）
（1，4）
（2，5）
（3，6）
（4，7）
（5，8）
（4，6）
（5，7）
（6，8）
（7，9）
（8，10）
（9，0）
（10，1）
（0.，2）
（1，3）
（2，4）
（3，5）
（2，3）
（3，4）
（4，5）
（5，6）
（6，7）
（7，8）
（8，9）
（9，10）
（10，0）
（0，1）
（1，2）
（0，0）
（1，1）
（2，2）
（3，3）
（4，4）
（5，5）
（6，6）
（7，7）
（8，8）
（9，9）
（10，10）
觀察上述結果，因為橫、直、對角線他們的x座標及y座標均
從0－10出現一次，所以我們可以推測將座標還原成原先代表
的數字能夠得到我們要的結論，還原的結果如下：
107
119
10
11
23
35
47
59
71
83
95
82
94
106
118
9
21
22
34
46
58
70
57
69
81
93
105
117
8
20
32
33
45
43
44
56
68
80
92
104
116
7
19
31
18
30
42
54
55
67
79
91
103
115
6
114
5
17
29
41
53
65
66
78
90
102
89
101
113
4
16
28
40
52
64
76
77
75
87
88
100
112
3
15
27
39
51
63
50
62
74
86
98
99
111
2
14
26
38
25
37
49
61
73
85
97
109
110
1
13
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
120
上述方法的優點是:
1.我們將原本相當多且複雜的數轉換成座標後,每一個座標所要考慮的對象都變少了（只要考慮0~10）
2.因為從（0,0）向x軸、向y軸增加一定的座標。
綜合以上,我們發現使用這種方法,可以將所考慮的問題
簡化成〝如何在11階的立方體空格中,填入適當的座標,使他們
的直線、橫線、對角線的x座標及y座標,z座標總和均相等。
”
現在將0~1330中的每一個數（設x）,都除以11,得到餘數。
假設情
形如下:
x÷11=y…餘c,再將y除以11,假設得到y÷11=a…餘b。
在這裡a、b、c均是0~10的正整數,將x仿
（1）的方式表示成座
標（a、b、c）,我們將結果詳述如下:
0=（0,0,0）1=（0,0,1）2=（0,0,2）3=（0,0,3）4=（0,0,4）5=（0,0,5）6=（0,0,6）7=（0,0,7）8=（0,0,8）9=（0,0,9）
10=（0,0,10）11=（0,1,0）12=（0,1,1）13=（0,1,2）14=（0,1,3）15=（0,1,4）16=（0,15,）17=（0,1,6）18=（0,1,7）19=（0,1,8）20=（0,1,9）21=（0,1,10）22=（0,2,0）23=（0,2,1）24=（0,2,2）25=（0,2,3）26=（0,2,4）27=（0,2,5）28=（0,2,6）29=（0,2,7）30=（0,2,8）31=（0,2,9）32=（0,2,10）33=（0,3,0）34=（0,3,1）35=（0,3,2）36=（0,3,3）37=（0,3,4）38=（0,3,5）39=（0,3,6）40=（0,3,7）41=（0,3,8）42=（0,3,9）43=（0,3,10）44=（0,4,0）45=（0,4,1）46=（0,4,2）47=（0,4,3）48=（0,4,4）49=（0,4,5）50=（0,4,6）51=（0,4,7）52=（0,4,8）53=（0,4,9）54=（0,4,10）55=（0,5,0）56=（0,5,1）57=（0,5,2）58=（0,5,3）59=（0,5,4）60=（0,5,5）61=（0,5,6）62=（0,5,7）63=（0,5,8）
64=（0,5,9）65=（0,5,10）66=（0,6,0）67=（0,6,1）68=（0,6,2）69=（0,6,3）70=（0,6,4）71=（0,6,5）72=（0,6,6）73=（0,6,7）74=（0,6,8）75=（0,6,9）76=（0,6,10）77=（0,7,0）78=（0,7,1）79=（0,7,2）80=（0,7,3）81=（0,7,4）82=（0,7,5）83=（0,7,6）84=（0,7,7）85=（0,7,8）86=（0,7,9）87=（0,7,10）88=（0,8,0）89=（0,8,1）90=（0,8,2）91=（0,8,3）92=（0,8,4）93=（0,8,5）94=（0,8,6）95=（0,8,7）96=（0,8,8）97=（0,8,9）98=（0,8,10）99=（0,9,0）100=（0,9,1）101=（0,9,2）102=（0,9,3）103=（0,9,4）104=（0,9,5）105=（0,9,6）106=（0,9,7）107=（0,9,8）
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