11阶立方体魔方阵的制作及原理精.docx

1、11阶立方体魔方阵的制作及原理精11 階立方體魔方陣的製作及原理摘要：在這篇報告中，我們將01330中每一個正整數，先將每一個數都連續除以11兩次，再把每一個數的餘數以及商，分別取出來，再將每一個數都表示成a112+b11+c，其中a、b、c都是010的正整數，再將這些數轉化成座標形式(a、b、c)，再利用等差數列的觀念，從原點分別向X軸、Y軸、Z軸增加一定的座標量，希望11 階立方體陣中，每一個平面上它們的橫線、直線、對角線，及立方體的四條對角線，他們的x座標、y座標及z座標010均只出現一次，如此一來，將這些座標換算回所對的數，會出現每一個面的直線、橫線、對角線及方體中四條對角線上面的數字

2、總和相等的結果。研究動機：在上學期學習數量關係，曾經提到一種以相同大小 增加或減少的數列，老師提到可以用這種觀念來解釋 平面上的魔方陣.在有趣的魔方陣這本書中，我們 又看到了有關於魔方的各種製作方法及各式各樣的變 形魔方，其中所介紹的立體方陣引起了我們的興趣 ，但是我們發現書本所記的立體方陣都只提到2階，3 階或者12面體的立體方陣（見圖）的製作及結果，但 是這本書的介紹僅限於此，並沒有再提到任何立體方 陣的敘述，所以我們就想到了一個問題:”能不能用類似 的手法創造一個與正方形魔方類似的立體方陣?”，也 就是在它的格子中填入一些數字，使它裡面的每一面 橫、直、對角線的總和均相等且立方體內的四條

3、對角 線總和也與前述相等，基於這項原因經過多次的實驗 及推理觀察，我們將對11階的立方體進行觀察研究。 研究目的：發展一個製作11階立方體魔方的方法，使它能滿足研究動機中的結論，並推測是否還有其他立體方陣存在。研究方法：根據85年度嘉義中小學科展作品奇數階的製作及原理我們以11階的平面魔方陣為例，重新觀察它的製作過程，現在我們的問題是:”將0120的每一個正整數填入（如圖）1111的正方形空格中，使它的直、橫、及對角線總和均相等”，面對這個問題，我們先將0120的每個數都除以11，找出商及餘數，並表示成座標得到詳細結果如下：0110 0（0，0） 11101（0，1） 21102（0，2）31

4、10 3（0，3） 41104（0，4） 51105（0，5）6110 6（0，6） 71107（0，7） 81108（0，8）9110 9（0，9） 1011010（0，10） 111110（1，0）12111 1（1，1） 131112（1，2） 141113（1，3）15111 4（1，4） 161115（1，5） 171116（1，6）18111 7（1，7） 191118（1，8） 201119（1，9）21111 10（1，10） 221120（2，0） 231121（2，1）24112 2（2，2） 251123（2，3） 261124（2，4）27112 5（2，5） 2811

5、26（2，6） 291127（2，7）30112 8（2，8） 311129（2，9） 3211210（2，10）33113 0（3，0） 341131（3，1） 351132（3，2）36113 3（3，3） 371134（3，4） 381135（3，5）39113 6（3，6） 401137（3，7） 411133（3，8）42113 9（3，9） 4311310（3，10） 441140（4，0）45114 1（4，1） 461142（4，2） 471143（4，3）48114 4（4，4） 491145（4，5） 501146（4，6）51114 7（4，7） 521148（4，8）

6、531149（4，9）54114 10（4，10） 551150（5，0） 561151（5，1）57115 2（5，2） 581153（5，3） 591154（5，4）60115 5（5，5） 611156（5，6） 621157（5，7）63115 8（5，8） 641159（5，9） 6511510（5，10）66116 0（6，0） 671161（6，1） 681162（6，2）69116 3（6，3） 701164（6，4） 711165（6，5）72116 6（6，6） 731167（6，7） 741168（6，8）75116 9（6，9） 7611610（6，10） 771170

7、（7，0）78117 1（7，1） 791172（7，2） 801173（7，3）81117 4（7，4） 821175（7，5） 831176（7，6）84117 7（7，7） 851178（7，8） 861179（7，9）87117 10（7，10） 881180（8，0） 891181（8，1）90118 2（8，2） 911183（8，3） 921184（8，4）93118 5（8，5） 941186（8，6） 951187（8，7）96118 8（8，8） 971189（8，9） 9811810（8，10）99119 0（9，0） 1001191（9，1） 1011192（9，2）1

8、02119 3（9，3） 1031194（9，4） 1041195（9，5）105119 6（9，6） 1061197（9，7） 1071198（9，8）108119 9（9，9） 10911910（9，10） 11011100（10，0）1111110 1（10，1） 11211102（10，2） 11311103（10，3）1141110 4（10，4） 11511105（10，5） 11611106（10，6）1171110 7（10，7） 11811108（10，8） 11911109（10，9）1201110 10（10，10）現在我們想將這些數對填入空格中，而且我們希望能讓我們的橫

9、、直、對角線的x座標及y座標總和均相等，我們所利用的方法如下：從左下角開始填入（0，0）分別向下每跳一格加上(1，1) ，(2，3)我們可先得到如下圖結果：（8，1）（6，9）（4，6）（2，3）（0，0）（1，1）（2，2）（3，3）因為（6，9）再加（2，3）得到（8，12），我們將12除以11取其餘數一可得座標（8，1）再將其向填入空格中，其餘的座標填法均如上所述，所以我們將所有座標填入後所得到下圖結果（見圖3）（9，8）（10，9）（0，10）（1，0）（2，1）（3，2） (4，3)（5，4）（6，5）（7，6）（8，7）（7，5）（8，6）（9，7）（10，8）（0，9）（1，10

10、（2，0）（3，1）（4，2）（5，3）（6，4）（5，2）（6，3）（7，4）（8，5）（9，6）（10，7）（0，8）（1，9）（2，10）（3，0）（4，1）（3，10）（4，0）（5，1）（6，2）（7，3）（8，4）（9，5）（10，6）（0，7）（1，8）（2，9）（1，7）（2，8）（3，9）（4，10）（5，0）（6，1）（7，2）（8，3）（9，4）（10，5）（0，6）（10，4）（0，5）（1，6）（2，7）（.3，8）（4，9）（5，10）（6，0）（7，1）（8，2）（9，3）（8，1）（9，2）（10，3）（0，4）（1，5）（2，6）（3，7）（4，8）（5，9）

11、（6，10）（7，0）（6，9）（7，10）（8，0）（9，1）（10，2）（0，3）（1，4）（2，5）（3，6）（4，7）（5，8）（4，6）（5，7）（6，8）（7，9）（8，10）（9，0）（10，1）（0.，2）（1，3）（2，4）（3，5）（2，3）（3，4）（4，5）（5，6）（6，7）（7，8）（8，9）（9，10）（10，0）（0，1）（1，2）（0，0）（1，1）（2，2）（3，3）（4，4）（5，5）（6，6）（7，7）（8，8）（9，9）（10，10）觀察上述結果，因為橫、直、對角線他們的x座標及y座標均從010出現一次，所以我們可以推測將座標還原成原先代表的數字能夠得

12、到我們要的結論，還原的結果如下：1071191011233547597183958294106118921223446587057698193105117820323345434456688092104116719311830425455677991103115611451729415365667890102891011134162840526476777587881001123152739516350627486989911121426382537496173859710911011301224364860728496108120上述方法的優點是:1. 我們將原本相當多且複雜的數轉換成座標後

13、,每一個座標所要考慮的對象都變少了(只要考慮010)2. 因為從(0,0)向x軸、向y軸增加一定的座標。綜合以上,我們發現使用這種方法,可以將所考慮的問題簡化成如何在11階的立方體空格中,填入適當的座標,使他們的直線、橫線、對角線的x座標及y座標, z座標總和均相等。”現在將01330中的每一個數(設x),都除以11,得到餘數。假設情形如下:x11=y餘c,再將y除以11,假設得到y11=a餘b。在這裡a、b、c均是010的正整數,將x仿(1)的方式表示成座標(a、b、c),我們將結果詳述如下:0=(0,0,0) 1=(0,0,1) 2=(0,0,2) 3=(0,0,3) 4=(0,0,4)

14、5=(0,0,5) 6=(0,0,6) 7=(0,0,7) 8=(0,0,8) 9=(0,0,9)10=(0,0,10) 11=(0,1,0) 12=(0,1,1) 13=(0,1,2) 14=(0,1,3) 15=(0,1,4) 16=(0,15,) 17=(0,1,6) 18=(0,1,7) 19=(0,1,8) 20=(0,1,9) 21=(0,1,10) 22=(0,2,0) 23=(0,2,1) 24=(0,2,2) 25=(0,2,3) 26=(0,2,4) 27=(0,2,5) 28=(0,2,6) 29=(0,2,7) 30=(0,2,8) 31=(0,2,9) 32=(0,2

15、,10) 33=(0,3,0) 34=(0,3,1) 35=(0,3,2) 36=(0,3,3) 37=(0,3,4) 38=(0,3,5) 39=(0,3,6) 40=(0,3,7) 41=(0,3,8) 42=(0,3,9) 43=(0,3,10) 44=(0,4,0) 45=(0,4,1) 46=(0,4,2) 47=(0,4,3) 48=(0,4,4) 49=(0,4,5) 50=(0,4,6) 51=(0,4,7) 52=(0,4,8) 53=(0,4,9) 54=(0,4,10) 55=(0,5,0) 56=(0,5,1) 57=(0,5,2) 58=(0,5,3) 59=(0,5

16、,4) 60=(0,5,5) 61=(0,5,6) 62=(0,5,7) 63=(0,5,8)64=(0,5,9) 65=(0,5,10) 66=(0,6,0) 67=(0,6,1) 68=(0,6,2) 69=(0,6,3) 70=(0,6,4) 71=(0,6,5) 72=(0,6,6) 73=(0,6,7) 74=(0,6,8) 75=(0,6,9) 76=(0,6,10) 77=(0,7,0) 78=(0,7,1) 79=(0,7,2) 80=(0,7,3) 81=(0,7,4) 82=(0,7,5) 83=(0,7,6) 84=(0,7,7) 85=(0,7,8) 86=(0,7,9

17、) 87=(0,7,10) 88=(0,8,0) 89=(0,8,1) 90=(0,8,2) 91=(0,8,3) 92=(0,8,4) 93=(0,8,5) 94=(0,8,6) 95=(0,8,7) 96=(0,8,8) 97=(0,8,9) 98=(0,8,10) 99=(0,9,0) 100=(0,9,1) 101=(0,9,2) 102=(0,9,3) 103=(0,9,4) 104=(0,9,5) 105=(0,9,6) 106=(0,9,7) 107=(0,9,8)108=(0,9,9) 109=(0,9,10) 110=(0,10,0) 111=(0,10,1) 112=(0,

18、10,2) 113=(0,10,3) 114=(0,10,4) 115=(0,10,) 116=(0,10,6) 117=(0,10,7) 118=(0,10,8) 119=(0,10,9) 120=(0,10,10) 121=(1,0,0) 122=(1,0,1) 123=(1,0,2) 124=(1,0,3) 125=(1,0,4) 126=(1,0,5) 127=(1,0,6) 128=(1,0,7) 129=(1,0,8) 130=(1,0,9) 131=(1,0,10) 132=(1,1,0) 133=(1,1,1) 134=(1,1,2) 135=(1,1,3) 136=(1,1,

19、4) 137=(1,1,5) 138=(1,1,6) 139=(1,1,7) 140=(1,1,8) 141=(1,1,9) 142=(1,1,10) 143=(1,2,0) 144=(1,2,1) 145=(1,2,2) 146=(1,2,3) 147=(1,2,4) 148=(1,2,5) 149=(1,2,6) 150=(1,2,7) 151=(1,2,8) 152=(1,2,9) 153=(1,2,10) 154=(1,3,0) 155=(1,3,1) 156=(1,3,2) 157=(1,3,3) 158=(1,3,4) 159=(1,3,5) 160=(1,3,6) 161=(1,

20、3,7) 162=(1,3,8) 163=(1,3,9) 164=(1,3,10) 165=(1,4,0) 166=(1,4,1) 167=(1,4,2) 168=(1,4,3) 169=(1,4,4) 170=(1,4,5) 171=(1,4,6) 172=(1,4,7) 173=(1,4,8) 174=(1,4,9) 175=(1,4,10) 176=(1,5,0) 177=(1,5,1) 178=(1,5,2) 179=(1,5,3) 180=(1,5,4) 181=(1,5,5) 182=(1,5,6) 183=(1,5,7) 184=(1,5,8) 185=(1,5,9) 186=(

21、1,5,10) 187=(1,6,0) 188=(1,6,1) 189=(1,6,2) 190=(1,6,3) 191=(1,6,4) 192=(1,6,5) 193=(1,6,6) 194=(1,6,7) 195=(1,6,8) 196=(1,6,9) 197=(1,6,10) 198=(1,7,0) 199=(1,7,1) 200=(1,7,2) 201=(1,7,3) 202=(1,7,4) 203=(1,7,5) 204=(1,7,6) 205=(1,7,7) 206=(1,7,8) 207=(1,7,9) 208=(1,7,10) 209=(1,8,0) 210=(1,8,1) 21

22、1=(1,8,2) 212=(1,8,3) 213=(1,8,4) 214=(1,8,5) 215=(1,8,6) 216=(1,8,7) 217=(1,8,8) 218=(1,8,9) 219=(1,8,10) 220=(1,9,0) 221=(1,9,1) 222=(1,9,2) 223=(1,9,3) 224=(1,9,4) 225=(1,9,5) 226=(1,9,6) 227=(1,9,7) 228=(1,9,8) 229=(1,9,9) 230=(1,9,10) 231=(1,10,0) 232=(1,10,1) 233=(1,10,2) 234=(1,10,3) 235=(1,1

23、0,4) 236=(1,10,5) 237=(1,10,6) 238=(1,10,7) 239=(1,10,8) 240=(1,10,9) 241=(1,10,10) 242=(2,0,0) 243=(2,0,1) 244=(2,0,2) 245=(2,0,3) 246=(2,0,4) 247=(2,0,5) 248=(2,0,6) 249=(2,0,7) 250=(2,0,8) 251=(2,0,9) 252=(2,0,10) 253=(2,1,0) 254=(2,1,1) 255=(2,1,2) 256=(2,1,3) 257=(2,1,4) 258=(2,1,5) 259=(2,1,6)

24、 260=(2,1,7) 261=(2,1,8) 262=(2,1,9) 263=(2,1,10) 264=(2,2,0) 265=(2,2,1) 266=(2,2,2) 267=(2,2,3) 268=(2,2,4) 269=(2,2,5) 270=(2,2,6) 271=(2,2,7) 272=(2,2,8) 273=(2,2,9) 274=(2,2,10) 275=(2,3,0) 276=(2,3,1) 277=(2,3,2) 278=(2,3,3) 279=(2,3,4) 280=(2,3,5) 281=(2,3,6) 282=(2,3,7) 283=(2,3,8) 284=(2,3,

25、9) 285=(2,3,10) 286=(2,4,0) 287=(2,4,1) 288=(2,4,2) 289=(2,4,3) 290=(2,4,4) 291=(2,4,5) 292=(2,4,6) 293=(2,4,7) 294=(2,4,8) 295=(2,4,9) 296=(2,4,10) 297=(2,5,0) 298=(2,5,1) 299=(2,5,2) 300=(2,5,3) 301=(2,5,4) 302=(2,5,5) 303=(2,5,6) 304=(2,5,7) 305=(2,5,8) 306=(2,5,9) 307=(2,5,10) 308=(2,6,0) 309=(2

26、,6,1) 310=(2,6,2) 311=(2,6,3) 312=(2,6,4) 313=(2,6,5) 314=(2,6,6) 315=(2,6,7) 316=(2,6,8) 317=(2,6,9) 318=(2,6,10) 319=(2,7,0) 320=(2,7,1) 321=(2,7,2) 322=(2,7,3) 323=(2,7,4) 324=(2,7,5) 325=(2,7,6) 326=(2,7,7) 327=(2,7,8) 328=(2,7,9) 329=(2,7,10) 330=(2,8,0) 331=(2,8,1) 332=(2,8,2) 333=(2,8,3) 334=

27、(2,8,4) 335=(2,8,5) 336=(2,8,6) 337=(2,8,7) 338=(2,8,8) 339=(2,8,9) 340=(2,8,10) 341=(2,9,0) 342=(2,9,1) 343=(2,9,2) 344=(2,9,3) 345=(2,9,4) 346=(2,9,5) 347=(2,9,6) 348=(2,9,7) 349=(2,9,8) 350=(2,9,9) 351=(2,9,10) 352=(2,10,0) 353=(2,10,1) 354=(2,10,2) 355=(2,10,3) 356=(2,10,4) 357=(2,10,5) 358=(2,1

28、0,6) 359=(2,10,7) 360=(2,10,8) 361=(2,10,9) 362=(2,10,10) 363=(3,0,0) 364=(3,0,1) 365=(3,0,2) 366=(3,0,3) 367=(3,0,4) 368=(3,0,5) 369=(3,0,6) 370=(3,0,7) 371=(3,0,8) 372=(3,0,9) 373=(3,0,10) 374=(3,1,0) 375=(3,1,1) 376=(3,1,2) 377=(3,1,3) 378=(3,1,4) 379=(3,1,5) 380=(3,1,6) 381=(3,1,7) 382=(3,1,8) 383=(3,1,9) 384=(3,1,10) 385=(3,2,0) 386=(3,2,1) 387=(3,2,2) 388=(3,2,3) 389=(3,2,4) 390=(3,2,5) 391=(3,2,6)