《高等数学基础》作业.docx
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《高等数学基础》作业
成绩:
咼等数学基础
形成性考核册
专业：
建筑
学号：
姓名：
牛萌
河北广播电视大学开放教育学院
（请按照顺序打印，并左侧装订）
高等数学基础形考作业1:
函数
极限与连续
（一）单项选择题
1•下列各函数对中，（C）中的两个函数相等.
A.f（x）（、..x）2,g（x）
xB.f（x）
g（x）
c.f（x）lnx3,g（x）
31nx
D.f（x）
x1,
g（x）
x21
x1
2•设函数f（x）的定义域为（
则函数f（x）f（
x）的图形关于（C
）对称.
A.坐标原点
C.y轴
3•下列函数中为奇函数是
B.
D.
）.
A.yln（1x2）
B.
xcosx
xx
aa
C.y
2
D.
ln（1
x）
4•下列函数中为基本初等函数是（
）•
A.yx1
B.
C.yx
D.
1,
1,
5.下列极限存计算不正确的是
A.
lim
x
B.
limln（1
x0
C.
lim
x
6•当
A.
x
sinx
sinx0x
0时，变量（
D.
B.
C.
x
.1
xsin
x
D.
7•若函数f（x）在点x0满足（
A.limf（x）f（x°）
xx
C.limf（x）f（x0）
xx0
x）
limxsin—
xx
是无穷小量.
1
B.
D.
ln（x2）
，则f（x）在点xo连续。
f（x）在点xo的某个邻域内有定义
limf（x）limf（x）
X冷x
x0
x1，x0的间断点是x0.sinx,x0
（二）填空题
2.已知函数
f（x
1）
2x
x，则f（x）
•lim（1
；）x
1
e
x
2x
4.若函数
f（x）
（1
x
1
x）x
k,
x0，在x
x0
0处连续，则k
1.函数f（x）
ln（1x）的定义域是x>3.
5.函数y
6•若limf（x）A，则当xXo时，f（x）A称为无穷小量。
xX。
（三）计算题
1•设函数
f（x）
求：
f
（2）,f（0）,f
（1）.
2x1
2•求函数y|g的定义域.
x
2丫一1解：
欲使函数有意义，必使
X
7Y_1
艮卩：
>1亦即匕2x-1>x
X
解得画数的定义域是.A>1
底边的两个端点在半圆上,
3•在半径为R的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合,试将梯形的面积表示成其高的函数.
解：
设梯形的高则DM=vJ?
：
-A'；
梯形的上底DC二2后二+,下底AB=2R则梯形的面积
-丘+2尺）{
s—
2
二（VA*-x2+7?
）x（0
—3x
Ihn沁
i—2¥
2
xsin（x
M：
「厦式二十工十1）_Hm_>5（小+工：
+l）5i"VJl+H：
+1r^°SlflX
8•求lim（Z^）x•
xx3
解；原式=liinCv~4Xt-2）=x-£=2
x-»4（x一4）（x一1）r->4x-l3
io.设函数
2
（x2）,x1
f（x）x,1x1
x1,x1
讨论f（x）的连续性。
解：
先看函数在分段点工=-1处的情况.
:
limf（幣）=Hm（工一D=—1十i=°
r-4-l-工—一「
lim/（v）=limv=-l
x_j-l+x_k-i+
■-lim护lini广⑺）‘故lin-几灯不存在*
r—>-Ex-f-Tr-^-l
Ar=-1为函数f（x）的间断点。
再看函数在分段点兀=1处的情况，
lin/Cv）=Jimx=1
h#x^r
Um/⑴=lim（工-刀亠=l
之j.]"*
■'■limr（“=lim/⑴，故lim""=1c
Hi厂JCT厂J-J-l
又因为/
（1）=寸口二1
所以Inn几鷲）=f⑴
故X=1是函数f（工）的连缠点0
函數『任）在辞续区间是：
C-x?
_l）o（-L^）.
高等数学基础作业2:
第3章导数与微分
（一）单项选择题
1•设f（0）
0且极限lim（）存在，则lim（）（B）
x0
xx0x
A.f（0）
B.
f（0）
C.f（X）D.
0
》设f（x）在xo可导，则nf（x°22hf（Xo）（D）
C.2f（x°）
D.
f（x°）
3•设f（x）
ex，则lim
f（1x）
f⑴（A）.
x
0x
A.eB.
2eC.
1
-eD
1e
2
4
4•设f（x）
x（x1）（x
2）（x
99），则f（0）（D）
A.99B.
99
C.
99!
D.99!
A.2f（xo）
B.f（xo）
5•下列结论中正确的是（C）
A.若f（X）在点Xo有极限，则在点Xo可导.B.若f（x）在点Xo连续，则在点Xo可导.
C.若f（X）在点Xo可导，则在点Xo有极限.
D.若f（X）在点Xo有极限，则在点Xo连续.
（二）填空题
2
1.设函数f（X）
xsin,xo
X，则f（o）
o,xo
2Inx+5
》设f（eX）e2x5eX，则嘗
3•曲线f（x）.X1在（1,2）处的切线斜率是1/2。
2x芒"（21门芷十2）
5•设yx2x，则y
丄
6.设yxlnx，则yX
（三）计算题
1•求下列函数的导数y:
⑵y
2
cotxxInx
解:
f,-sinxsinx-cosxcos.t_tx2.
y=（+工lnx）=（+2xlnx+——）
“sinxsinxx
=-\-4-2x1113；-x
sinx
⑶y
2X
Inx
hi'A
h（21z-1）
~in7^~
2
X
解;
（-sinx-^2Xln2）x'一（cos.r+21）・3龙’
A
-rsina+1112•2‘工-3cos,t-32V
Inxx2
sinx
11
（一2%）sinx-cos%（lnr-x^）解=f=.
siirx
（1-x一xco3（lnx-
xsin*兀
⑹yx4sinxlnx
解：
j,F=4x3-（cosrxlnx+
x
3,sinx
=4x-cos.rxln^
p（cost4-2x）3J-3Xln3（sinx+x:
）
月军；r—匸
cosx42x-In3（sinx+x"）
⑻yextanxInx
I
解:
yf=@、tan.r,—）--
TCOS'工X
eA（sinxcosx1）1
COS.V
2.
求下列函数的导数y:
⑵yIncosx
解’广=注込=_仙川
00S,Y
2
⑷ysinx
解：
因为＞'=2sinrcost=sin2x
⑸ysinx2
解:
yr=cosx1-2x=2^cosxif
2
X
⑹ycose
二—『或2
⑺ysinnxcosnx
解；yr=倡in"xXcos^x+sm"x（cosmy
=?
?
siii.vcqsx•cos?
?
x+sinRsinnx）•?
?
=wsinx（cos.rcos/?
x—sinxsinnx）
sinx
⑻y5
解；设1'=5Uii=sin.v
-COSX
yr=yf=5"ln5-cosx=ta5-5~r
J*■v.X
cosx
⑼ye
解：
设v=euu=cosx
yf=冗心二护-（-sinx）=—ssinx
3.在下列方程中，yyX）是由方程确定的函数，求y
⑴ycosxe2y
解；為方程两边对X求导’
vFcoI-vsiir=2e*y・vr
X*«■
移顶yF（cos.r-2^2v）=ysinx肚"r>sinr
⑵ycosylnx
解；将方程两边对t求导：
yf=（cosv）Unx+co1rr/
・州cost
y=-siny・ylnx-+
移项vf（l+sinrxInx）=
r
cosv
x（l+In.rsiny）
2
X
⑶2xsiny
y
律血叫以心莎一"一心
V=7
2xcosv+芯
3
2xy-2y'simv
qF
2xvkcosv+x"~
■fiff
⑷yxIny
解’因为’vp=1+—
T
解得y=丄
y-1
⑸Inxeyy2
解：
将方程两边对x求导:
—+疋•yF=2yyr
X
整理得：
y=
咒（2尹—护）
2x
解：
将方程两边对X求导,
2厂『=护
V*・*
⑹y1esiny
sm「十£COST•1
jX.bf**■■
-Qsiny
2v~excosv
⑺eyex
解：
将方程两边对x求导|ey=才一3y2
整理得：
F二_r
⑻y5x2y
解’将方程两边对x求导*
/=5rta5+2yln2^y整理得;
_5Jln5
3~l-2y}n2
4.
ydx）
求下列函数的微分dy：
（注：
dy
⑴ycotxcscx
cosX
sin■x
解：
因为讨=—_^+（丄y=_
sdn亠工sinxsin"x
1+cosx
=—斗
sin'x
所以由一二
^sinInx
sinx
sinx-cos.r-ln.r
解：
因为yf=2:
'sin*,r
sinx-rcoex■Inx
=:
~?
.XSillV
亍cisinx一.rcosxJnx所夙d\-；dx
xsin亠.x
⑶ysin2x
解【设y=irsu=sinx
加■
则.<
三2elcosy=2sinicosx-sin2.r
所以dv=sin2x砥
x
⑹ytane
解：
设：
尹=taujz,u=ex
则F=t：
・h：
衬hKX
1r
=——e
cos"li
—2r
cos"e
所以dv=:
dx
cos"e
5•求下列函数的二阶导数：
⑴y、、x
⑵y3x
解：
y=3'ln3
=（3Xhi=3xbi3xlii3
⑶yInx
⑷yxsinx
解：
yf=sinx-i-.rcos.Y
尹"=（sitt+xco9f）'=cos+cosr-.rsiti:
=2cos-A&iir
（四）证明题
设f（x）是可导的奇函数，试证f（x）是偶函数.
设/xe是可导的奇函数.试证广（町是偶函数.证明；因为/住）是奇函数，所以又因为几¥）可导，團数f〔-紛为复合画数。
对/*（—X）=—f（X）两端对X求导f得：
厂⑴
即-八-对=-广⑴
所叽
根据偶函数的定义，广⑴是偶国数。
高等数学基础形考作业3:
第4章导数的应用
（一）单项选择题
•若函数f（X）满足条件（
D），则存在（a,b），使得f（）f（b）f（a）ba
A.在（a,b）内连续
B.在（a,b）内可导
C.在（a,b）内连续且可导
D.在［a,b］内连续，在（a,b）内可导
2.函数
）•
2x
的单调增加区间是（D
2•若函数f（X）在点Xo可导，且Xo是f（X）的极值点，则f（Xo）
3•函数yln（1x2）的单调减少区间是：
.
2
4•函数f（x）ex的单调增加区间是
血+死）
5•若函数f（x）在［a,b］内恒有f（x）0,贝Uf（x）在［a,b］上的最大值是f（a）
6•函数f（x）25x3x3的拐点是（0.2）
（三）计算题
2
1.求函数y（x1）（x5）的单调区间和极值.
31?
31.
解匸y=-（x+1）2（X_§）亠+2（x+l）2（x-5）=-（x+l）i（x-5）（3x-15+4x+4）
11
=-（.v+l）2（x+5X7x-11）=0
得驻点：
-1x=5x=—
-1
11
7
5
（2+s）
Y'
0
+
0
—
0
-r
y
左端点
Z
极大
17丿2401
极小
/（5）=0
/
A/（X）在「L节U（,=c）内单调上升，在内单调下降样极大值是/J；卜岁器极小值是/（5）=0
2•求函数yx22x3在区间［0,3］内的极值点，并求最大值和最小值.
2.丄
解：
V=—（■¥‘—2玄）一2）=0得驻点％=L
又当x=0x=2时V无意义，但原函数连续
--«0）=0f（l）=1艮2}=0f（3>V9
X
0
HW）
1
（⑵
（23）
3
Y
无意义
+
0
—
无意义
+
+
y
0
/
极大值
极小值
f
（2）=0
/
/
二最小值f（0）=f
（2）=0最大值是f?
3）=V9极大值f⑴二1极小值f
（2）二0
3.求曲线y22x上的点，使其到点A（2,0）的距离最短.
解xV+的图形过点（_2,4）和点（1,-10）,且y=-2是驻点,
X=I是拐点.
-8x+4i?
-2c+d=44a+b+e+H=-1012^-4b+c=0
<6a+2b=0
「a=l
b=-3
c=-24
•d=16
4.圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为
L,问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大?
解；设圆枉体的底面半径为工，高为£则片二圧二v二加;h—卅J厂一江'
Xh=时，圆柱体的■ft■积最大a
5.一体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小?
解：
设圆柱体的底面半径为匚高为Am申则力=
1•当x0时，证明不等式xln（1x）.
证明利用函数的单调性证明
设/（x）=x-ln（l+X）f（x）=1——=—^―>a（x>0）
1+X1+X
f（x）在［o+T内单调増加，当x>0时，有/ix）>/'（0）即/（x）=x-ln（l-hx）>0
/-x>ln（l+工）成立
2•当x0时，证明不等式exx1.
证明利用函数的单调性证明
设/（.v）=ex-.v-1f（v）=ex-I>0,（工>0）
■-/（.r）在［o+北）内单调增加I当.y>0时，有
即=-x-l>0
eT>x+1成立
高等数学基础形考作业4:
第5章不定积分
第6章定积分及其应用
（x）（D）.
A.Inx
C.-x
B.
D.
x
1
2x
2
3
x
2•下列等式成立的是（
D）•
Af（x）dx
f（x）
B.
df（x）dx
f（x）
D.
3.若f（x）
cosx，贝y
f（x）dx
（一）单项选择题
1
1.若f（x）的一个原函数是，则
df（x）f（x）C.
—f（x）dxf（x）dx
（B）•
A.
sinx
c
B.
C.
sinx
c
D.
4.
一x2f（x3）dx
dx
（B
cosxccosxc
）.
A.f（x3）B.x2f（x3）
1
C.-f（x）
3
填空题
G（a）=FCx）-c
2•若函数F（x）与G（x）是同一函数的原函数，贝yF（x）与G（x）之间有关系式
4.（tanx）dx
5•若f（x）dx
cos3xc，贝Uf
（x）
6.3（sin5x
7•若无穷积分
1
（三）计算题
1
-）dx3
2
1
-1pdx收敛，则
x
>1。
1.
1
cos-
产dx
x
r1
J1
-cos
rf=-Sill+c
」.V
XX
——dInx=ln（lnx）+cln.r
4.xsin2xdx
=—-ysia2x^e）
1
总17
=（31n.T一-ln\r）
=3i0=—
2
122
5.exe2xdx
i
J（3+lnr）dlnx=3jrflnx+
11*
6.
xe2xdx
0
7.
e
xlnxdx
1
—[-dx
21
e21
1A
8.
elnx,rdx
12
1x
（四）证明题
1•证明：
若f（x）在［a,a］上可积并为奇函数，则f（x）dx0.
证明.因为是奇函数，所臥f（-x）=-f（x）
匸f（x）dx=“（x）去+Jf（xyix
—a
令X=—『JlJijdx=-dtx
c
-a
a0
—ad0可
0a-aa
故;f/（x）dv=
-fl---
aa
2•证明：
若f（x）在[a,a]上可积并为偶函数，则af（x）dx2°f（x）dx.
a0C
Dcreea
jf（x）dx+Jf{x）dx=[f（_x）dx+[f（x）dx=2Jf（x）dxlacooo
0o
于是；|'f（x）dx二-二卩（-『禺二-jf（x）dx-口a
（/（x）rfr+[/（x）cfc二-*/（£）*+]f（x）dx~0巳*ii
证明*因为在［-邑口］上是偶函数所以/（一刃=/＜可
令工二T
f贝Jdv=-ckx
0
r
a'0
00aa
于是；|f（x）dx=-j/JfJf{x）dx
—J2
故：
|/（^）dx
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