《高等数学基础》作业.docx

1、高等数学基础作业成绩:咼等数学基础形成性考核册专业： 建筑 学号： 姓名： 牛萌 河北广播电视大学开放教育学院（请按照顺序打印，并左侧装订）高等数学基础形考作业1:函数极限与连续（一）单项选择题1下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等.A. f(x) (、. x)2 , g(x)x B. f (x)g(x)c. f (x) ln x3, g(x)31 n xD. f(x)x 1,g(x)x2 1x 12设函数f（x）的定义域为（则函数f (x) f (x）的图形关于（C）对称.A.坐标原点C. y轴3下列函数中为奇函数是B.D.).A. y ln(1 x2)B.xcosxx xa aC. y

2、 2D.ln(1x)4下列函数中为基本初等函数是（)A. y x 1B.C. y xD.1,1,5.下列极限存计算不正确的是A.limxB.lim ln(1x 0C.limx6当A.xsin xsin x 0 x0时，变量（D.B.C.x.1xsi nxD.7若函数f （x）在点x0满足（A. lim f (x) f(x)x xC. lim f (x) f (x0)x x0x)lim xsin x x是无穷小量.1B.D.ln(x 2)，则f （x）在点xo连续。f （x）在点xo的某个邻域内有定义lim f (x) lim f (x)X 冷 xx0x 1，x 0的间断点是x 0. sinx,

3、 x 0(二)填空题2.已知函数f(x1)2 xx，则 f (x) lim (1；)x1ex2x4.若函数f(x)(1x1x)xk ,x 0，在 xx 00处连续，则k1.函数 f(x)ln(1 x)的定义域是x 3 .5.函数y6若lim f (x) A，则当x Xo时，f(x) A称为 无穷小量。x X。(三)计算题1设函数f(x)求：f( 2), f(0), f(1).2x 12求函数y |g 的定义域.x2丫 一 1 解：欲使函数有意义，必使X7 Y _ 1艮卩： 1 亦即匕2x -1 xX解得画数的定义域是.A1底边的两个端点在半圆上,3在半径为R的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与

4、半圆的直径重合, 试将梯形的面积表示成其高的函数.解：设梯形的高则DM= vJ?： -A；梯形的上底DC二2后 二+ ,下底AB = 2R 则梯形的面积 -丘 + 2尺)s 2二(VA* - x2 + 7?)x (0 x 4 x-l 3io.设函数2(x 2) , x 1f (x) x , 1x1x 1 , x 1讨论f (x)的连续性。解：先看函数在分段点工=-1处的情况.:lim f(幣)=Hm (工一 D = 1 十 i = r-4-l- 工一lim/（v）= limv = -lx_j-l+ x_k-i+ - lim 护lini广）故lin -几灯不存在*r-E x-f-T r-lAr

5、= -1为函数f（x）的间断点。再看函数在分段点兀=1处的情况，lin /Cv） = Jim x = 1h# xrUm /=lim （工-刀亠=l之 j. * lim r（“ = lim /，故 lim =1 cHi 厂 JCT 厂 J-J-l又因为/（1）=寸口二1所以Inn几鷲）=f故X = 1是函数f （工）的连缠点0函數任）在辞续区间是：C-x?_l）o（-L）.高等数学基础作业2:第3章导数与微分（一）单项选择题1设 f(0)0且极限lim ()存在，则lim ( ) ( B )x 0x x 0 xA. f(0)B.f (0)C. f(X) D.0设 f（x）在xo可导，则 nf（x

6、 22h f（Xo） （D）C. 2f (x)D.f (x)3设 f(x)ex，则 limf (1 x)f (A ).x0 xA. e B.2e C.1-e D1 e244设 f (x)x(x 1)(x2) (x99)，则 f (0) ( D )A. 99 B.99C.99! D. 99!A. 2 f (xo)B. f (xo)5下列结论中正确的是（C ）A.若f(X)在点Xo有极限，则在点 Xo可导.B.若f(x)在点Xo连续，则在点Xo可导.C.若f (X)在点Xo可导，则在点Xo有极限.D.若f (X)在点Xo有极限，则在点Xo连续.(二)填空题21.设函数f (X)x sin , x

7、oX ，则 f (o)o, x o2 In x + 5设f(eX) e2x 5eX，则嘗3曲线f(x) . X 1在(1,2)处的切线斜率是1/2 。2x 芒(21门芷十2)5设 y x2x，则 y 丄6.设 y xln x，则 y X(三)计算题1求下列函数的导数 y :y2cot x x In x解:f ,-sinxsinx- cosxcos.t _ t x2.y =( + 工 lnx) =( + 2xlnx + )“ sin x sin x x=- -4- 2x1113； -xsin xy2 XIn xhi Ah(21z-1)in72X解;(-sin x -2X ln2)x 一 (cos

8、.r + 21)3龙A-rsin a +1112 2工-3cos,t - 3 2VIn x x2sin x1 1(一 2%) sin x - cos%(lnr -x) 解=f = . siir x (1 - x 一 xco3(lnx -x sin * 兀 y x4 sin xln x解：j,F = 4x3 - (cos rxlnx +x3 , sinx=4x -cos.rxln p (cost 4- 2x)3J - 3X ln3(sinx + x:)月军；r 匸 cosx 4 2x -In 3(sinx + x) y ex tan x In xI解:yf = 、tan.r ,)-T COS 工

9、 XeA (sinx cosx 1) 1COS .V2.求下列函数的导数 y : y In cosx解广=注込=_仙川00S ,Y2 y sin x解： 因为 =2sinr cost = sin2x y sin x2解:yr = cosx1 - 2x = 2 cosx if2X y cose二或2 y sin n xcos nx解；yr =倡in xXcosx+sm x (cosmy=? siii .v c qsx cos?x+ sinR sin nx) ?= wsin x(cos.rcos/?xsinxsin nx)sin xy 5解；设 1 = 5U ii = sin .v-COSXyr=

10、yf =5ln5-cosx=ta5-5rJ * v. Xcosxy e解：设 v = eu u = cosxyf =冗 心二护-(-sinx) = s sinx3.在下列方程中，y yX )是由方程确定的函数，求 y ycosx e2y解；為方程两边对X求导vFc o I - vsi ir=2e*y vrX * 移顶 yF(cos.r-22v) = ysin x 肚 r sinr y cos y l n x解；将方程两边对t求导：yf = (cosv)Un x + c o 1 rr/ 州 costy = - sin y y lnx -+ 移项 vf(l + sin r x In x) =rco

11、svx(l + In .r sin y)2X 2xsin yy律血叫以心莎一一心V = 72xcosv + 芯32xy-2ysimvq F2xvk cosv + xf iff y x In y解因为 vp = 1 + T解得y =丄y -1 In x ey y2解：将方程两边对x求导:+疋 yF = 2y yrX整理得：y = 咒（2尹护）2 x解：将方程两边对X求导,2厂=护V* * y 1 e sin ysm十 COST1jX .bf* *- Q sin y2v excosv ey ex解：将方程两边对x求导| e y =才一 3y2整理得：F二 _r y 5x 2y解将方程两边对x求导*

12、/ = 5rta5+2yln2y 整理得;_ 5Jln53 l-2yn 24.y dx)求下列函数的微分 dy：（注：dy y cotx cscxcos Xsin x解：因为讨=_+（丄y = _sdn 亠工 sinx sin x1 + cos x= 斗sin x所以由一二 sinrIn xsin xsinx - cos.r -ln.r解：因为yf = 2 : sin * ,rsin x - rcoe x In x= :?.X Sill V亍 ci sin x 一 .r cos x Jnx 所夙 d- ； dxx sin 亠.x y sin2 x解【设 y = ir s u = sin x加

13、则 .V9X0HW)1(23)3Y无意义+0无意义+y0/极大值极小值f(2)=0/二最小值f(0)=f(2)=0 最大值是f?3)=V9 极大值f二1 极小值f(2)二03.求曲线y2 2x上的点，使其到点 A(2,0)的距离最短.解x V + 的图形过点(_2,4)和点(1,-10),且y = -2是驻点,X = I是拐点.-8x + 4i?-2c + d = 44 a + b + e + H = -10 12- 4b + c = 0 a(x 0)1 + X 1 + Xf(x)在o + T内单调増加，当x0时，有/ix)/(0) 即 /(x)=x-ln(l -hx)0/- x ln(l +

14、工)成立2当x 0时，证明不等式ex x 1 .证明 利用函数的单调性证明设/(.v)= ex - .v -1 f (v) = ex - I 0,(工 0)- /(.r)在o+北)内单调增加I当.y0时，有即 = -x-l0eT x + 1 成立高等数学基础形考作业4:第5章不定积分第6章定积分及其应用(x) ( D ).A. In xC.- xB.D.x12 x23x2下列等式成立的是(D )A f (x)dxf(x)B.d f(x)dxf(x)D.3.若 f (x)cosx，贝yf (x)dx(一)单项选择题11.若f(x)的一个原函数是 ，则df (x) f (x) C. f (x)dx

15、 f (x) dx(B )A.sin xcB.C.si nxcD.4.一 x2 f (x3)dxdx(Bcosx c cosx c).A. f (x3) B. x2 f (x3)1C. -f(x)3填空题G(a)=FCx)-c2若函数F(x)与G(x)是同一函数的原函数，贝y F(x)与G(x)之间有关系式4. (ta n x) dx5若 f(x)dxcos3x c，贝U f(x)6. 3(s in5x7若无穷积分1(三)计算题1-)dx 3 21-1pdx收敛，则x1 。1.1cos-产dxxr 1J 1-cosrf = - Sill + c.VX Xd In x = ln(ln x) +

16、c ln.r4. xsin 2xdx=- ysia2xe)1总 1 7= (31n.T 一 -lnr)=3 i 0 =21 2 25. exe 2xdxiJ (3 +lnr)dlnx = 3j rflnx +1 1 *6.xe 2xdx07.exln xdx1-dx2 1e2 11 A8.e ln x , r dx1 21 x(四)证明题1证明：若f(x)在a,a上可积并为奇函数，则 f(x)dx 0.证明.因为是奇函数，所臥f(-x) = -f(x)匸 f(x)dx = “(x)去 + J f(xyixa令 X =JlJij dx = -dt xc-aa 0a d 0 可0 a -a a故;

17、f /(x)dv =-fl - - -a a2证明：若f(x)在a,a上可积并为偶函数，则 a f (x)dx 2f(x)dx.a 0 CD cr e e aj f(x)dx + J fx)dx = f(_x)dx + f(x)dx = 2 J f(x)dx la c o o o0 o于是；| f(x)dx 二-二卩(-禺二-jf(x)dx -口 a(/(x)rfr+ /(x)cfc 二-* /()*+ f(x)dx 0 巳* i i证明*因为在-邑口上是偶函数 所以/（一刃=/可令工二Tf 贝J dv = -ck x0ra 00 0 a a于是；| f(x)dx = -j/J f J fx)dxJ2故：| /()dx