人教版九年级数学上《实际问题与一元二次方程》拓展练习.docx
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人教版九年级数学上《实际问题与一元二次方程》拓展练习
《实际问题与一元二次方程》拓展练习
一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）
1．（5分）要组织一次篮球比赛，赛制为主客场形式（每两队之间都需在主客场各赛一场），计划安排30场比赛，设邀请x个球队参加比赛，根据题意可列方程为（ ）
A．x（x﹣1）＝30B．x（x+1）＝30C．
＝30D．
＝30
2．（5分）某种植物的主干长出若干个数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，求每个支干长出多少个小分支？
解：
设主干长出x个支干，每个支干有x个小分支，由题意，所列方程正确的是（ ）
A．1+x+x2＝111B．x+x2＝111C．2x+1＝111D．2x＝111
3．（5分）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由460元降为215，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（ ）
A．460（1+x）2＝215B．460（1﹣x）2＝215
C．460（1﹣2x）2＝215D．460（1﹣x2）＝215
4．（5分）如图，幼儿园计划用30m的围栏靠墙围成一个面积为100m2的矩形小花园（墙长为15m），则与墙垂直的边x为（ ）
A．10m或5mB．5m或8mC．10mD．5m
5．（5分）如图，某农场拟建一间面积为200平方米的长方形种牛饲养室，饲养室一面靠墙（假设墙足够长），另三面用总长58米的建筑材料围成．若设该长方形垂直于墙的一边长为x米，则下列方程正确的为（ ）
A．x（58﹣x）＝200B．x（29﹣x）＝200
C．x（29﹣2x）＝200D．x（58﹣2x）＝200
二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）
6．（5分）某化肥厂一月份生产化肥500吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产化肥1750吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？
若设二、三月份平均每月的增长率为x，则可列方程为 ．
7．（5分）我国南宋数学家杨辉在1275年提出了一个问题：
直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）．问阔及长各几步？
若设阔（宽）为x步，则所列方程为 ．
8．（5分）在国庆节的一次同学聚会上，每人都向其他人赠送了一份小礼品，共互送110份小礼品，则参加聚会的有 名同学．
9．（5分）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染给 个人．
10．（5分）在一次新年聚会中，小朋友们互相赠送礼物，全部小朋友共互赠了110件礼物，若假设参加聚会小朋友的人数为x人，则根据题意可列方程为 ．
三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）
11．（10分）某工厂设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销，经过调查，得到如下数据：
销售单价x（元∕件）
…
30
40
50
60
…
每天销售量y（件）
…
500
400
300
200
…
（1）研究发现，每天销售量y与单价x满足一次函数关系，求出y与x的关系式；
（2）当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润8000元？
12．（10分）列方程解应用题：
某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：
每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个．已知每个玩具的固定成本为360元，设这种玩具的销售单价为x元．
（1）根据销售单价每降低1元，每天可多售出2个，则现在销售数量为 个（用含有x的代数式表示）
（2）当x为多少元时，厂家每天可获利润20000元？
13．（10分）某汽车专卖店经销某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为15万元/辆，经销一段时间后发现：
当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．
（1）当售价为22万元/辆时，求平均每周的销售利润．
（2）若该店计划平均每周的销售利润是90万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价．
14．（10分）利民商场经营某种品牌的T恤，购进时的单价是300元，根据市场调查：
在一段时间内，销售单价是400元时，销售量是60件，销售单价每涨10元，销售量就减少1件．设这种T恤的销售单价为x元（x＞400）时，销售量为y件、销售利润为W元．
（1）请分别用含x的代数式表示y和W（把结果填入下表）：
销售单价（元）
x
销售量y（件）
销售利润W（元）
（2）该商场计划实现销售利润10000元，并尽可能增加销售量，那么x的值应当是多少？
15．（10分）某水果店以每公斤2元的价格购进某种水果若干公斤，然后以每公斤4元的价格出售，每天可售出100公斤．通过市场调查发现，这种水果每公斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20公斤．为了保证每天至少售出260公斤，该水果店决定降价销售．
（1）若将这种水果每公斤的售价降低x元，则每天的销售量是 公斤（用含x的代数式表示）；
（2）销售这种水果要想每天盈利300元，售价应为多少？
《实际问题与一元二次方程》拓展练习
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）
1．（5分）要组织一次篮球比赛，赛制为主客场形式（每两队之间都需在主客场各赛一场），计划安排30场比赛，设邀请x个球队参加比赛，根据题意可列方程为（ ）
A．x（x﹣1）＝30B．x（x+1）＝30C．
＝30D．
＝30
【分析】由于每两队之间都需在主客场各赛一场，即每个队都要与其余队比赛一场．等量关系为：
队的个数×（队的个数﹣1）＝30，把相关数值代入即可．
【解答】解：
设邀请x个球队参加比赛，
根据题意可列方程为：
x（x﹣1）＝30．
故选：
A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系．
2．（5分）某种植物的主干长出若干个数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，求每个支干长出多少个小分支？
解：
设主干长出x个支干，每个支干有x个小分支，由题意，所列方程正确的是（ ）
A．1+x+x2＝111B．x+x2＝111C．2x+1＝111D．2x＝111
【分析】设主干长出x个支干，每个支干又长出x个小分支，得方程1+x+x2＝111，整理即可．
【解答】解：
设每个支干长出的小分支的数目是x个，
根据题意列方程得：
x2+x+1＝111，
故选：
A．
【点评】考查了一元二次方程的应用，本题设长为x个支干，把小分枝用x2表示是关键．
3．（5分）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由460元降为215，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（ ）
A．460（1+x）2＝215B．460（1﹣x）2＝215
C．460（1﹣2x）2＝215D．460（1﹣x2）＝215
【分析】设每次降价的百分率为x，根据该运动服的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：
设每次降价的百分率为x，
根据题意得：
460（1﹣x）2＝215．
故选：
B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．（5分）如图，幼儿园计划用30m的围栏靠墙围成一个面积为100m2的矩形小花园（墙长为15m），则与墙垂直的边x为（ ）
A．10m或5mB．5m或8mC．10mD．5m
【分析】设与墙垂直的边长x米，则与墙平行的边长为（30﹣2x）米，根据矩形的面积公式结合矩形小花园的面积为100m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【解答】解：
设与墙垂直的边长x米，则与墙平行的边长为（30﹣2x）米，
根据题意得：
（30﹣2x）x＝100，
整理得：
x2﹣15x+50＝0，
解得：
x1＝5，x2＝10．
当x＝5时，30﹣2x＝20＞15，
∴x＝5舍去．
故选：
C．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5．（5分）如图，某农场拟建一间面积为200平方米的长方形种牛饲养室，饲养室一面靠墙（假设墙足够长），另三面用总长58米的建筑材料围成．若设该长方形垂直于墙的一边长为x米，则下列方程正确的为（ ）
A．x（58﹣x）＝200B．x（29﹣x）＝200
C．x（29﹣2x）＝200D．x（58﹣2x）＝200
【分析】由建筑材料的长度结合垂直于墙的边长为xm，即可表示出平行于墙的一边的长度，然后根据长方形的面积公式结合牛饲养室的面积为200m2，即可得出关于x的一元二次方程．
【解答】解：
∵垂直于墙的边长为xm，
∴平行于墙的一边为（58﹣2x）m．
根据题意得：
x（58﹣2x）＝200，
故选：
D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是：
（1）根据建筑材料的长度用含x的代数式表示出平行于墙的一边的长度；
（2）根据长方形的面积公式列出一元二次方程．
二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）
6．（5分）某化肥厂一月份生产化肥500吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产化肥1750吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？
若设二、三月份平均每月的增长率为x，则可列方程为 500+500（1+x）+500（1+x）2＝1750 ．
【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），根据二、三月份平均每月的增长为x，则二月份的产量是500（1+x）吨，三月份的产量是500（1+x）（1+x）＝500（1+x）2，再根据第一季度共生产钢铁1750吨列方程即可．
【解答】解：
依题意得二月份的产量是500（1+x），
三月份的产量是500（1+x）（1+x）＝500（1+x）2，
∴500+500（1+x）+500（1+x）2＝1750．
故答案为：
500+500（1+x）+500（1+x）2＝1750．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，能够根据增长率分别表示出各月的产量，这里注意已知的是一季度的产量，即三个月的产量之和．
7．（5分）我国南宋数学家杨辉在1275年提出了一个问题：
直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）．问阔及长各几步？
若设阔（宽）为x步，则所列方程为 x（x+12）＝864 ．
【分析】利用长乘以宽＝864，进而得出答案．
【解答】解：
设阔（宽）为x步，则所列方程为：
x（x+12）＝864．
故答案为：
x（x+12）＝864．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示出矩形的长是解题关键．
8．（5分）在国庆节的一次同学聚会上，每人都向其他人赠送了一份小礼品，共互送110份小礼品，则参加聚会的有 11 名同学．
【分析】设参加聚会的有x名学生，根据“在国庆节的一次同学聚会上，每人都向其他人赠送了一份小礼品，共互送110份小礼品”，列出关于x的一元二次方程，解之即可．
【解答】解：
设参加聚会的有x名学生，
根据题意得：
x（x﹣1）＝110，
解得：
x1＝11，x2＝﹣10（舍去），
即参加聚会的有11名同学，
故答案为：
11．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．
9．（5分）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染给 7 个人．
【分析】设每轮传染中平均一个人传染给x个人，根据经过两轮传染后共有64人患了流感，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：
设每轮传染中平均一个人传染给x个人，
根据题意得：
1+x+x（1+x）＝64，
解得：
x1＝7，x2＝﹣9（不合题意，舍去）．
答：
每轮传染中平均一个人传染给7个人．
故答案为：
7．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．（5分）在一次新年聚会中，小朋友们互相赠送礼物，全部小朋友共互赠了110件礼物，若假设参加聚会小朋友的人数为x人，则根据题意可列方程为 x（x﹣1）＝110 ．
【分析】设有x人参加聚会，则每人送出（x﹣1）件礼物，根据共送礼物110件，列出方程．
【解答】解：
设有x人参加聚会，则每人送出（x﹣1）件礼物，
由题意得，x（x﹣1）＝110．
故答案是：
x（x﹣1）＝110．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）
11．（10分）某工厂设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销，经过调查，得到如下数据：
销售单价x（元∕件）
…
30
40
50
60
…
每天销售量y（件）
…
500
400
300
200
…
（1）研究发现，每天销售量y与单价x满足一次函数关系，求出y与x的关系式；
（2）当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润8000元？
【分析】
（1）利用待定系数法求解可得；
（2）根据“总利润＝单件利润×销售量”可得关于x的一元二次方程，解之即可得．
【解答】解：
（1）设y＝kx+b，
根据题意可得
，
解得：
，
则y＝﹣10x+800；
（2）根据题意，得：
（x﹣20）（﹣10x+800）＝8000，
整理，得：
x2﹣100x+2400＝0，
解得：
x1＝40，x2＝60，
∵销售单价最高不能超过45元/件，
∴x＝40，
答：
销售单价定为40元/件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润8000元．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及找到题目蕴含的相等关系．
12．（10分）列方程解应用题：
某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：
每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个．已知每个玩具的固定成本为360元，设这种玩具的销售单价为x元．
（1）根据销售单价每降低1元，每天可多售出2个，则现在销售数量为 （1120﹣2x） 个（用含有x的代数式表示）
（2）当x为多少元时，厂家每天可获利润20000元？
【分析】
（1）根据每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个，可得现在销售数量为[160+2（480﹣x）]个，化简即可；
（2）根据单件利润×销售量＝总利润，列方程求解即可．
【解答】解：
（1）根据题意，可得现在销售数量为160+2（480﹣x）＝（1120﹣2x）个．
故答案为（1120﹣2x）；
（2）由题意，得：
（x﹣360）[160+2（480﹣x）]＝20000，
整理，得：
x2﹣920x+211600＝0，
解得：
x1＝x2＝460，
答：
这种玩具的销售单价为460元时，厂家每天可获利润20000元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、一元二次方程的解法，理解题意找到题目蕴含的相等关系列出方程是解题的关键．
13．（10分）某汽车专卖店经销某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为15万元/辆，经销一段时间后发现：
当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．
（1）当售价为22万元/辆时，求平均每周的销售利润．
（2）若该店计划平均每周的销售利润是90万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价．
【分析】
（1）根据当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，即可求出当售价为22万元/辆时，平均每周的销售量，再根据销售利润＝一辆汽车的利润×销售数量列式计算；
（2）设每辆汽车降价x万元，根据每辆的盈利×销售的辆数＝90万元，列方程求出x的值，进而得到每辆汽车的售价．
【解答】解：
（1）由题意，可得当售价为22万元/辆时，平均每周的销售量是：
×1+8＝14，
则此时，平均每周的销售利润是：
（22﹣15）×14＝98（万元）；
（2）设每辆汽车降价x万元，根据题意得：
（25﹣x﹣15）（8+2x）＝90，
解得x1＝1，x2＝5，
当x＝1时，销售数量为8+2×1＝10（辆）；
当x＝5时，销售数量为8+2×5＝18（辆），
为了尽快减少库存，则x＝5，此时每辆汽车的售价为25﹣5＝20（万元），
答：
每辆汽车的售价为20万元．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题关键是会表示一辆汽车的利润，销售量增加的部分．找到关键描述语，找到等量关系：
每辆的盈利×销售的辆数＝90万元是解决问题的关键．
14．（10分）利民商场经营某种品牌的T恤，购进时的单价是300元，根据市场调查：
在一段时间内，销售单价是400元时，销售量是60件，销售单价每涨10元，销售量就减少1件．设这种T恤的销售单价为x元（x＞400）时，销售量为y件、销售利润为W元．
（1）请分别用含x的代数式表示y和W（把结果填入下表）：
销售单价（元）
x
销售量y（件）
﹣
x+100
销售利润W（元）
﹣
x2+130x﹣30000
（2）该商场计划实现销售利润10000元，并尽可能增加销售量，那么x的值应当是多少？
【分析】
（1）根据销售单价每涨10元，销售量就减少1件，可以表示出y与x的关系，根据利润＝每件的利润×销售量，即可表示出W与x的关系．
（2）列出方程即可解决问题；
【解答】解：
（1）由题意y＝60﹣
＝﹣
x+100．
W＝（x﹣300）•（﹣
x+100）＝﹣
x2+130x﹣30000．
故答案为﹣
x+100，﹣
x2+130x﹣30000．
（2）由题意﹣
x2+130x﹣30000＝10000，
解得x＝500或800，
为了尽可能增加销售量，x＝500．
答：
该商场计划实现销售利润10000元，并尽可能增加销售量，那么x的值应当是500．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，记住利润、销售量、每件的利润之间的关系．
15．（10分）某水果店以每公斤2元的价格购进某种水果若干公斤，然后以每公斤4元的价格出售，每天可售出100公斤．通过市场调查发现，这种水果每公斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20公斤．为了保证每天至少售出260公斤，该水果店决定降价销售．
（1）若将这种水果每公斤的售价降低x元，则每天的销售量是 100+200x 公斤（用含x的代数式表示）；
（2）销售这种水果要想每天盈利300元，售价应为多少？
【分析】
（1）销售量＝原来销售量+下降销售量，据此列式即可；
（2）根据销售量×每斤利润＝总利润列出方程求解即可．
【解答】解：
（1）将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+
×20＝100+200x（公斤）；
故答案为：
100+200x；
（2）根据题意得：
（4﹣2﹣x）（100+200x）＝300，
解得：
x＝
或x＝1，
当x＝
时，销售量是100+200×
＝200＜260；
当x＝1时，销售量是100+200＝300（公斤）．
∵每天至少售出260公斤，
∴x＝1．
则4﹣1＝3（元）
答：
售价应为3元．
【点评】题主要考查的是一元二次方程的应用，明确利润、销售量、售价之间的关系是解题的关键．
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