一轮复习专题小练命题及其关系充要条件.docx
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一轮复习专题小练命题及其关系充要条件
§1.2 命题及充要条件
1.命题的概念
在数学中把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题,判断为假的语句叫假命题.
2.四种命题及相互关系
3.四种命题的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.
4.充分条件与必要条件
(1)如果p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;
(2)如果p⇒q,q⇒p,则p是q的充要条件.
1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“x2+2x-3<0”是命题.( × )
(2)“sin45°=1”是真命题.( × )
(3)命题“三角形的内角和是180°”的否命题是三角形的内角和不是180°.( × )
(4)若一个命题是真命题,则其逆否命题是真命题.( √)
(5)“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的必要不充分条件.( × )
(6)若α∈(0,2π),则“sinα=-1”的充要条件是“α=
π”.( √ )
2.命题“若α=
,则tanα=1”的逆否命题是________.
答案 若tanα≠1,则α≠
3.设集合A={x∈R|x-2>0},B={x∈R|x<0},C={x∈R|x(x-2)>0},则“x∈A∪B”是“x∈C”的________条件.
答案 充要
解析 因为A={x|x-2>0}={x|x>2}=(2,+∞),
B={x|x<0}=(-∞,0),
所以A∪B=(-∞,0)∪(2,+∞),
C={x|x(x-2)>0}={x|x<0或x>2}
=(-∞,0)∪(2,+∞).
即A∪B=C.故“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件.
4.已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A⊆B”的________条件.
答案 充分而不必要
解析 a=3时A={1,3},显然A⊆B.
但A⊆B时,a=2或3.所以a=3是A⊆B的充分而不必要条件.
5.设φ∈R,则“φ=0”是“f(x)=cos(x+φ)(x∈R)为偶函数”的________条件.
答案 充分而不必要
解析 由条件推结论和结论推条件后再判断.
若φ=0,则f(x)=cosx是偶函数,
但是若f(x)=cos(x+φ)(x∈R)是偶函数,
则φ=π也成立.故“φ=0”是“f(x)=cos(x+φ)(x∈R)为偶函数”的充分而不必要条件.
题型一 四种命题及真假判断
例1
写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断其真假.
(1)已知a,b,c,d是实数,若a=b,c=d,则a+c=b+d;
(2)已知a,b,c∈R,若ac<0,则ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.
思维启迪 认清命题的条件p和结论q,然后按定义写出逆命题、否命题和逆否命题,最后判断真假.
解
(1)逆命题:
已知a,b,c,d是实数,若a+c=b+d,则a=b,c=d,是假命题.
否命题:
已知a,b,c,d是实数,若a≠b或c≠d,则a+c≠b+d,是假命题.
逆否命题:
已知a,b,c,d是实数,若a+c≠b+d,则a≠b或c≠d,是真命题.
(2)逆命题:
已知a,b,c∈R,若ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根,则ac<0,是假命题,例如当a=1,b=-3,c=2时,方程x2-3x+2=0有两个不等实根x1=1,x2=2,但ac=2>0.
否命题:
已知a,b,c∈R,若ac≥0,则ax2+bx+c=0没有两个不相等的实数根,是假命题.
逆否命题:
a,b,c∈R,若ax2+bx+c=0没有两个不相等的实数根,则ac≥0,是真命题.
思维升华
(1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键;
(2)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假;(3)判断一个命题为假命题可举反例.
有下列四个命题:
①若“xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题;②“面积相等的三角形全等”的否命题;③若“m≤1,则x2-2x+m=0有实数解”的逆否命题;④“若A∩B=B,则A⊆B”的逆否命题.其中真命题为________.(填序号)
答案 ①②③
解析 ①的逆命题:
“若x,y互为倒数,则xy=1”是真命题;
②的否命题:
“面积不相等的三角形不是全等三角形”是真命题;
③的逆否命题:
“若x2-2x+m=0没有实数解,则m>1”是真命题;
命题④是假命题,所以它的逆否命题也是假命题.
题型二 充要条件的判定
例2
已知下列各组命题,其中p是q的充分必要条件的是________.(填序号)
①p:
m≤-2或m≥6;q:
y=x2+mx+m+3有两个不同的零点;
②p:
=1;q:
y=f(x)是偶函数;
③p:
cosα=cosβ;q:
tanα=tanβ;
④p:
A∩B=A;q:
A⊆U,B⊆U,∁UB⊆∁UA.
思维启迪 首先要分清条件和结论,然后可以从逻辑推理、等价命题或集合的角度思考问题,做出判断.
答案 ④
解析 对于①,由y=x2+mx+m+3有两个不同的零点,可得Δ=m2-4(m+3)>0,从而可得m<-2或m>6.所以p是q的必要不充分条件;
对于②,由
=1⇒f(-x)=f(x)⇒y=f(x)是偶函数,但由y=f(x)是偶函数不能推出
=1,例如函数f(x)=0,所以p是q的充分不必要条件;
对于③,当cosα=cosβ=0时,不存在tanα=tanβ,反之也不成立,所以p是q的既不充分也不必要条件;
对于④,由A∩B=A,知A⊆B,所以∁UB⊆∁UA;
反之,由∁UB⊆∁UA,知A⊆B,即A∩B=A.
所以p⇔q.
综上所述,p是q的充分必要条件的只有④.
思维升华 充要条件的三种判断方法
(1)定义法:
根据p⇒q,q⇒p进行判断;
(2)集合法:
根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断;
(3)等价转化法:
根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题,如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件,即可转化为判断“x=1且y=1”是“xy=1”的何种条件.
用“充分不必要”“必要不充分”“充要”和“既不充分也不必要”填空.
(1)已知m,n∈R,则“m>0”是“mn>0”的________条件;
(2)“α=β”是“tanα=tanβ”的________条件;
(3)“a<0”是“方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根”的________条件;
(4)“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的________条件;
(5)已知a,b,c是非零实数,则“a,b,c成等比数列”是“b=
”的________条件.
答案
(1)既不充分也不必要
(2)既不充分也不必要
(3)充分不必要 (4)充要 (5)必要不充分
解析
(1)当n<0,m>0⇒mn<0,反之,n<0,mn>0⇒m<0.
(2)当α=β=
时,tanα,tanβ均不存在,
则α=β不是tanα=tanβ的充分条件;
反过来,当tanα=tanβ时,α=kπ+β(k∈Z),
所以α=β也不是tanα=tanβ的必要条件.
(3)当Δ=22-4a>0,得a<1时方程有根.
a<0时,x1x2=
<0,方程有负根.
又a=1时,方程根为x=-1,所以填充分不必要;
(4)若x+y=0与x-ay=0互相垂直,则x-ay=0的斜率必定为1,
即a=1,反之显然.
(5)必要条件很容易验证,若a,b,c是非零实数,满足b=
,则a,b,c成等比数列;
但由a,b,c成等比数列,得b=±
.
题型三 充分、必要条件的应用
例3
已知p:
,q:
{x|1-m≤x≤1+m,m>0}.
(1)若m=1,则p是q的什么条件?
(2)若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围.
思维启迪 问题
(1)考查的仍是充要条件的判定,需要从“充分”和“必要”两个方面考察,并且用集合方法处理;
问题
(2)考查充要条件的应用,根据“若p是q的充分不必要条件”,得出所对应集合的关系,从而求出实数m的取值范围.
解
(1)因为p:
={x|-2≤x≤10},
q:
{x|1-m≤x≤1+m,m>0}={x|0≤x≤2},
显然{x|0≤x≤2}{x|-2≤x≤10},
所以p是q的必要不充分条件.
(2)由
(1),知p:
{x|-2≤x≤10},因为p是q的充分不必要条件,
所以
解得m≥9,即m∈[9,+∞).
思维升华 充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意:
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
(2)要注意区间端点值的检验.
(1)若“x2>1”是“x(2)设p:
|4x-3|≤1,q:
x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若非p是非q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是________.
答案
(1)-1
(2)
解析
(1)由x2>1,得x<-1,或x>1.
又“x2>1”是“x知由“x1”,反之不成立,
所以a≤-1,即a的最大值为-1.
(2)p:
|4x-3|≤1⇒-1≤4x-3≤1,
∴
≤x≤1;
q:
x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0⇒(x-a)[x-(a+1)]≤0,
∴a≤x≤a+1.
由题意知p是q的充分不必要条件,故有
或
,则0≤a≤
.
等价转化思想在充要条件中的应用
典例:
(14分)已知集合A={y|y=x2-
x+1,x∈[
,2]},B={x|x+m2≥1}.p:
x∈A,q:
x∈B,并且p是q的充分条件,求实数m的取值范围.
思维启迪
(1)先对集合进行化简;
(2)将条件间的关系转化为集合间的包含关系;
(3)利用集合间的关系列出关于m的不等式,求出实数m的范围.
规范解答
解 化简集合A,
由y=x2-
x+1.
配方,得y=
2+
.
∵x∈
,
∴ymin=
,ymax=2.
∴y∈
.
∴A=
.[4分]
化简集合B,由x+m2≥1,
得x≥1-m2,B={x|x≥1-m2}.[6分]
∵命题p是命题q的充分条件,
∴A⊆B.[8分]
∴1-m2≤
,解得m≥
,或m≤-
.[12分]
∴实数m的取值范围是
∪
.[14分]
温馨提醒 本例涉及参数问题,直接解决较为困难,先用等价转化思想,将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决.一般地,在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中,常常要利用集合的包含、相等关系来考虑,这是破解此类问题的关键.
方法与技巧
1.写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论,然后按定义来写;在判断原命题及其逆命题、否命题以及逆否命题的真假时,要借助原命题与其逆否命题同真或同假,逆命题与否命题同真或同假来判定.
2.充要关系的几种判断方法
(1)定义法:
直接判断若p则q、若q则p的真假.
(2)等价法:
即利用A⇒B与綈B⇒綈A;B⇒A与綈A⇒綈B;A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系,对于条件或结论是否定形式的命题,一般运用等价法.
(3)利用集合间的包含关系判断:
设A={x|p(x)},B={x|q(x)},若A⊆B,则p是q的充分条件或q是p的必要条件;若A=B,则p是q的充要条件.
失误与防范
1.当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时,必须保留大前提,也就是大前提不动.
2.判断命题的真假及写四种命题时,一定要明确命题的结构,可以先把命题改写成“若p则q”的形式.
3.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向,正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言.