单元卷浙教版八年级数学下册第2章 一元二次方程单元质量检测卷二含答案与解析.docx
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单元卷浙教版八年级数学下册第2章一元二次方程单元质量检测卷二含答案与解析
浙教版八年级数学下册单元质量检测卷
（二）
第2章一元二次方程
姓名：
__________________班级：
______________得分：
_________________
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间90分钟，试题共27题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.在下列方程中，有两个不相等实数根的是（ ）
A．x2＝2x﹣4B．x2﹣4x+4＝0C．x2﹣2x﹣1＝0D．x2+4＝0
2.若关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个解是x＝1，则2020﹣a﹣b的值是（ ）
A．2025B．2015C．2021D．2019
3.某商品原售价289元，经过连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则满足x的方程是（ ）
A．289（1﹣x）2＝256B．289（x﹣1）2＝256
C．256（1﹣x）2＝289D．256（x﹣1）2＝289
4.已知关于x的方程x2+4x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝（ ）
A．2B．4C．6D．8
5.若a，b，c是△ABC的三边长，且a2+b2+c2﹣10a﹣24b﹣26c＝﹣338，则△ABC的周长是（ ）
A．26B．28C．30D．32
6.如图1，有一张长32cm，宽16cm的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是130cm2，则纸盒的高为（ ）
A．2cmB．2.5cmC．3cmD．4cm
7.某商场销售一批衬衣，平均每天可售出30件，每件衬衣盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衣降价10元，商场平均每天可多售出20件．若商场平均每天盈利2000元．每件衬衣应降价（ ）元．
A．10B．15C．20D．25
8.若α、β是方程x2+2x﹣2020＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（ ）
A．2018B．2020C．﹣2020D．4040
9.为了节省材料，某工厂利用岸堤MN（岸堤足够长）为一边，用总长为80米的材料围成一个由三块面积相等的小长方形组成的长方形ABCD区域（如图），若BC＝（x+20）米，则下列4个结论：
①AB＝（10﹣1.5x）米；②BC＝2CF；③AE＝2BE；④长方形ABCD的最大面积为300平方米．其中正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．③④
10.对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法．
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则
其中正确的（ ）
A．只有①②B．只有①②④C．①②③④D．只有①②③
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11.方程x2＝2020x的解是 ．
12.已知实数满足a2﹣6a+4＝0，b2﹣6b+4＝0，且a≠b，则
+
的值是 ．
13.若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，则k的取值范围是 ．
14.设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，则m2+3m+n＝ ．
15.设m是不为0的整数，关于x的一元二次方程mx2﹣（m﹣1）x+1＝0有有理根，则m的值为 ．
16.五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的面积是135cm2，则以小长方形的宽为边长的正方形面积是 cm2．
17.如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知
，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系元二次方程”，若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”
的一个根，且S△ABC＝2，则四边形ACDE的周长是 ．
18.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有 （填序号）
①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程：
则4m2+5mn+n2＝0；
③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程；
④若方程以ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac．
三、解答题（本大题共7小题，共58分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19.解方程
（1）（x+3）（x﹣1）＝5
（2）x（x+3）＝x+3
20.已知关于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣5＝0．
（1）求证：
当m＞0时，方程一定有两个不相等的实数根；
（2）已知x＝n是它的一个实数根，若mn2﹣4n+m＝3+m2，求m的值．
21.“疫情”期间，某小区准备搭建一个面积为12平方米的矩形临时隔离点ABCD，如图所示，矩形一边利用一段已有的围墙（可利用的围墙长度仅有5米），另外三边用9米长的建筑材料围成，为方便进出，在与围墙平行的一边要开一扇宽度为1米的小门EF，求AB的长度为多少米？
22.已知关于x的一元二次方程kx2﹣（k+8）x+8＝0．
（1）求证：
无论k取任何实数，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形的一边长为4，另两边长恰好是这个方程的两个根，求此时的k值．
23.2020年疫情期间，某网店以每袋8元的成本价购进了一批口罩，四月份以每袋14元销售了400袋，为回馈客户，该网店决定五月份降价促销．经调查发现，在四月份销量的基础上，该口罩每袋降价1元，销售量就增加40袋．
（1）若五月份口罩售价为每袋10元，试求五月份的口罩销售量；
（2）当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利1920元？
24.阅读探究：
“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？
”（完成下列空格）
（1）当已知矩形A的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：
设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组
，消去y化简得：
2x2﹣7x+6＝0，
∵b2﹣4ac＝49﹣48＞0，∴x1＝ ，x2＝ ，
∴满足要求的矩形B存在．
（2）如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B．
（3）如果矩形A的边长为m和n，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？
25.发现思考：
已知等腰三角形ABC的两边分别是方程x2﹣7x+10＝0的两个根，求等腰三角形ABC三条边的长各是多少？
下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因．
涵涵的作业
解：
x2﹣7x+10＝0
a＝1b＝﹣7c＝10
∵b2﹣4ac＝9＞0
∴x＝
＝
∴x1＝5，x2＝2
所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2．
当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．
探究应用：
请解答以下问题：
已知等腰三角形ABC的两边是关于x的方程x2﹣mx+
﹣
＝0的两个实数根．
（1）当m＝2时，求△ABC的周长；
（2）当△ABC为等边三角形时，求m的值．
参考答案与解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.在下列方程中，有两个不相等实数根的是（ ）
A．x2＝2x﹣4B．x2﹣4x+4＝0C．x2﹣2x﹣1＝0D．x2+4＝0
【答案】C
【分析】先计算各方程的根的判别式，然后根据判别式的意义判断方程根的情况，从而得到正确答案．
【解答】解：
A、方程化为x2﹣2x+4＝0，则△＝（﹣2）2﹣4×4＝﹣12＜0，方程无实数根，所以A选项不符合题意；
B、△＝（﹣4）2﹣4×4＝0，方程有两个相等的实数根，所以B选项不符合题意；
C、△＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）＝8＞0，方程有两个不相等的实数根，所以C选项符合题意；
D、△＝02﹣4×4＝﹣16＜0，方程无实数根，所以D选项不符合题意．
故选：
C．
【知识点】根的判别式
2.若关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个解是x＝1，则2020﹣a﹣b的值是（ ）
A．2025B．2015C．2021D．2019
【答案】C
【分析】根据关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个解是x＝1，可以得到a+b的值，然后将所求式子变形，再将a+b的值代入，即可解答本题．
【解答】解：
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个解是x＝1，
∴a+b+1＝0，
∴a+b＝﹣1，
∴2020﹣a﹣b
＝2020﹣（a+b）
＝2020﹣（﹣1）
＝2020+1
＝2021，
故选：
C．
【知识点】一元二次方程的解
3.某商品原售价289元，经过连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则满足x的方程是（ ）
A．289（1﹣x）2＝256B．289（x﹣1）2＝256
C．256（1﹣x）2＝289D．256（x﹣1）2＝289
【答案】A
【分析】设平均每次降价的百分率为x，那么第一次降价后的售价是原来的（1﹣x），那么第二次降价后的售价是原来的（1﹣x）2，根据题意列方程即可．
【解答】解：
设平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得
289（1﹣x）2＝256．
故选：
A．
【知识点】由实际问题抽象出一元二次方程
4.已知关于x的方程x2+4x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【分析】根据判别式的意义得到△＝42﹣4m＝0，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：
根据题意得△＝42﹣4m＝0，
解得m＝4．
故选：
B．
【知识点】根的判别式
5.若a，b，c是△ABC的三边长，且a2+b2+c2﹣10a﹣24b﹣26c＝﹣338，则△ABC的周长是（ ）
A．26B．28C．30D．32
【答案】C
【分析】已知等式配方后，利用非负数的性质求出a，b，c的值，即可求出周长．
【解答】解：
已知等式变形得：
（a2﹣10a+25）+（b2﹣24b+144）+（c2﹣26c+169）＝0，
即（a﹣5）2+（b﹣12）2+（c﹣13）2＝0，
可得a﹣5＝0，b﹣12＝0，c﹣13＝0，
解得：
a＝5，b＝12，c＝13，
则△ABC周长为5+12+13＝30．
故选：
C．
【知识点】配方法的应用、非负数的性质：
偶次方
6.如图1，有一张长32cm，宽16cm的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是130cm2，则纸盒的高为（ ）
A．2cmB．2.5cmC．3cmD．4cm
【答案】C
【分析】设当纸盒的高为xcm时，纸盒的底面积是130cm2，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是130cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：
设当纸盒的高为xcm时，纸盒的底面积是130cm2，
依题意，得：
×（16﹣2x）＝130，
化简，得：
x2﹣24x+63＝0，
解得：
x1＝3，x2＝21．
当x＝3时，16﹣2x＝10＞0，符合题意；
当x＝21时，16﹣2x＝﹣26＜0，不符合题意，舍去，
答：
若纸盒的底面积是130cm2，纸盒的高为3cm．
故选：
C．
【知识点】一元二次方程的应用
7.某商场销售一批衬衣，平均每天可售出30件，每件衬衣盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衣降价10元，商场平均每天可多售出20件．若商场平均每天盈利2000元．每件衬衣应降价（ ）元．
A．10B．15C．20D．25
【答案】D
【分析】利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可．
【解答】解：
设每件衬衫应降价x元．
根据题意，得：
（50﹣x）（30+2x）＝2000，
整理，得x2﹣35x+250＝0，
解得x1＝10，x2＝25．
∵“增加盈利，减少库存”，
∴x1＝10应舍去，
∴x＝25．
答：
每件衬衫应降价25元．
故选：
D．
【知识点】一元二次方程的应用
8.若α、β是方程x2+2x﹣2020＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（ ）
A．2018B．2020C．﹣2020D．4040
【答案】A
【分析】先根据一元二次方程的定义得到α2＝﹣2α+202，则α2+3α+β降次得到α+β+2020，再根据根与系数的关系得α+β＝﹣2，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：
∵α是方程x2+2x﹣2020＝0的根，
∴α2+2α﹣2020＝0，
即α2＝﹣2α+2020，
∴α2+3α+β＝﹣2α+2020+3α+β
＝α+β+2020，
∵α、β是方程x2+2x﹣2020＝0的两个实数根，
∴α+β＝﹣2，
∴α2+3α+β＝﹣2+2020＝2018．
故选：
A．
【知识点】根与系数的关系、一元二次方程的定义
9.为了节省材料，某工厂利用岸堤MN（岸堤足够长）为一边，用总长为80米的材料围成一个由三块面积相等的小长方形组成的长方形ABCD区域（如图），若BC＝（x+20）米，则下列4个结论：
①AB＝（10﹣1.5x）米；②BC＝2CF；③AE＝2BE；④长方形ABCD的最大面积为300平方米．其中正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．③④
【答案】D
【分析】根据三块面积相等的小长方形，得出小长方形边长之间关系，进而表示出各边长，求出答案．
【解答】解：
∵三块面积相等的小长方形，
∴EG＝GF，设EG＝FG＝a，AE＝HG＝DF＝b，
则EF＝2a，故BE＝FC＝
b，无法得出BC＝2CF，故选项②错误；
此时③AE＝2BE，正确；
可得：
b+
b+b+
b+b＝80﹣2（x+20），
解得：
b＝10﹣
x，
则AB＝
（10﹣
x）
＝15﹣
x，
故选项①错误；
长方形ABCD的面积为：
S＝（15﹣
x）（20+x）
＝﹣
x2+300，
∵﹣
x2≤0，
∴当x＝0，即BC＝20米时，S的最大值为300平方米，故④正确．
故选：
D．
【知识点】一元二次方程的应用、二次函数的应用
10.对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法．
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则
其中正确的（ ）
A．只有①②B．只有①②④C．①②③④D．只有①②③
【答案】B
【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案．
【解答】解：
①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知△＝b2﹣4ac≥0，故①正确；
②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴△＝0﹣4ac＞0
∴﹣4ac＞0
则方程ax2+bx+c＝0的判别式
△＝b2﹣4ac＞0
∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；
③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，
则ac2+bc+c＝0
∴c（ac+b+1）＝0
若c＝0，等式仍然成立
但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
则由求根公式可得：
x0＝
或x0＝
∴2ax0+b＝
或2ax0+b＝﹣
∴
故④正确．
故选：
B．
【知识点】根的判别式
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11.方程x2＝2020x的解是 ．
【答案】x1=0，x2=2020
【分析】利用因式分解法求解可得．
【解答】解：
∵x2﹣2020x＝0，
∴x（x﹣2020）＝0，
则x＝0或x﹣2020＝0，
解得x1＝0，x2＝2020，
故答案为：
x1＝0，x2＝2020．
【知识点】解一元二次方程-因式分解法
12.已知实数满足a2﹣6a+4＝0，b2﹣6b+4＝0，且a≠b，则
+
的值是 ．
【答案】7
【分析】根据题意可知a、b是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可得a+b＝6，ab＝4，再将
+
变形为
，代入计算即可．
【解答】解：
∵a2﹣6a+4＝0，b2﹣6b+4＝0，且a≠b，
∴a、b是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个不相等的实数根，
∴a+b＝6，ab＝4，
∴
+
＝
＝
＝7．
故答案为7．
【知识点】根与系数的关系
13.若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，则k的取值范围是 ．
【答案】k＞1
【分析】根据判别式的意义得到△＝22﹣4k＜0，然后解不等式即可．
【解答】解：
根据题意得△＝b2﹣4ac＝22﹣4k＜0，
解得k＞1．
故答案为：
k＞1．
【知识点】根的判别式
14.设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，则m2+3m+n＝ ．
【答案】2019
【分析】先由方程的解的概念和根与系数的关系得出m+n＝﹣2，m2+2m＝2021，将其代入原式＝m2+2m+m+n＝m2+2m+（m+n）计算可得．
【解答】解：
∵m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣2，m2+2m＝2021，
则原式＝m2+2m+m+n
＝m2+2m+（m+n）
＝2021﹣2
＝2019．
故答案为：
2019．
【知识点】根与系数的关系
15.设m是不为0的整数，关于x的一元二次方程mx2﹣（m﹣1）x+1＝0有有理根，则m的值为 ．
【答案】6
【分析】利用一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根，那么它的判别式一定是完全平方数，然后利用平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决．
【解答】解：
一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数．
令△＝（m﹣1）2﹣4m＝n2，
其中n是非负整数，于是m2﹣6m+1＝n2，
所以（m﹣3）2﹣n2＝8，
（m﹣3+n）（m﹣3﹣n）＝8．
由于m﹣3+n≥m﹣3﹣n，并且（m﹣3+n）+（m﹣3﹣n）＝2（m﹣3）是偶数，
所以m﹣3+n与m﹣3﹣n同奇偶，
所以
，
，
解得
，
（舍去），
∴m＝6，这时方程的两根为
，
．
∴二次方程mx2﹣（m﹣1）x+1＝0有有理根m的值为6．
故答案为：
6．
【知识点】根的判别式、一元二次方程的定义、一元二次方程的整数根与有理根
16.五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的面积是135cm2，则以小长方形的宽为边长的正方形面积是 cm2．
【答案】9
【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据大长方形的周长结合图形可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，再根据正方形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：
设小长方形的长为xcm，宽为
xcm，
根据题意得：
（x+2×
x）•x＝135，
解得：
x＝9或x＝﹣9（舍去），
则
x＝3．
所以3×3＝9（cm2）．
故答案为：
9．
【知识点】一元二次方程的应用
17.如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知
，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系元二次方程”，若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”
的一个根，且S△ABC＝2，则四边形ACDE的周长是 ．
【答案】12
【分析】根据题意可以求得a+b的值，再根据勾股定理可以求得c的值，从而可以求得四边形ACDE的周长．
【解答】解：
∵x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+
cx+b＝0的一个根，
∴a﹣
+b＝0，
∴a+b＝
c，
∵S△ABC＝2，a2+b2＝c2，
∴
＝2，得ab＝4，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝c2+2ab＝c2+8，
（a+b）2＝（
c）2＝2c2，
∴c2+8＝2c2，
解得，c＝2
或c＝﹣2
（舍去），
∵四边形ACDE的周长是：
a+b+a+b+
c＝2
c+
c＝3
c＝3
×2
＝12，
故答案为：
12．
【知识点】勾股定理的证明、一元二次方程的解、三角形的面积
18.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有 （填序号）
①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程：
则4m2+5mn+n2＝0；
③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程；
④若方程以ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac．
【答案】②③④
【分析】①求出方程的解，再判断是否为倍根方程，
②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，而m、n之间的关系正好适合，
③当p，q满足pq＝2，则px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，求出两个根，再根据pq＝2代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程，
④用求根公式求出两个根，当x1＝2x2，或2x1＝x2时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．
【解答】解：
①解方程x2﹣x﹣2＝0得，x1＝2，x2＝﹣1，得，x1≠2x2，
∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程；
故①不正确；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，x1＝2，
因此x2＝1或x2＝4，
当x2＝1时，m+n＝0，
当x2＝4时，4m+n＝0，
∴4m2+5mn+n2＝（m+n）（4m+n）＝0，
故②正确；
③∵pq＝2，则：
px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，
∴x1＝﹣
，x2＝﹣q，
∴x2＝﹣q＝﹣
＝2x1，
因此是倍根方程，
故③正确；
④方程ax2+bx+c＝0的根为：
x1＝
，x2＝
，
若x1＝
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