（4）平行于x轴的直线与抛物线的交点
同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两
交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是kcbxax=++2的两个实数根.
知识点四：
利用二次函数解决实际问题
7.利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：
（1）建立适当的平面直角坐标系；
（2）把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；
（3）用待定系数法求出抛物线的关系式；
（4）利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.
第二十三章 旋转
23.1 图形的旋转
知识点一 旋转的定义
在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O 转动一个角度，就叫做图
形的旋转，点O 叫做旋转中心， 转动的角叫做旋转角。
我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。
知识点二 旋转的性质
旋转的特征：
（1）对应点到旋转中心的距离相等；
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； （3）旋转前后的图形全等。
理解以下几点：
（1）图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。
（2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。
（3）图形的大小和形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。
知识点三 利用旋转性质作图
旋转有两条重要性质：
（1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
（2）对应点到旋转中心的距离相等，它是利用旋转的性质作图的关键。
步骤可分为：
① 连：
即连接图形中每一个关键点与旋转中心；
② 转：
即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）
③ 截：
即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； ④ 接：
即连接到所连接的各点。
23.2 中心对称
知识点一 中心对称的定义
中心对称：
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。
注意以下几点：
中心对称指的是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转180°两个图形能够完全重合。
知识点二 作一个图形关于某点对称的图形
要作出一个图形关于某一点成中心对称的图形，关键是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。
最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可得出成中心对称图形。
知识点三 中心对称的性质有以下几点：
（1）关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分；
（2） 关于中心对称的两个图形能够互相重合，是全等形；
（3） 关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等。
知识点四 中心对称图形的定义 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。
知识点五 关于原点对称的点的坐标
在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点p（x,y）关于原点对称点为（-x,-y）
第二十四章 圆
24.1 圆
24.1.1 圆
知识点一 圆的定义
圆的定义：
第一种：
在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫作圆。
固定的端点O 叫作圆心，线段OA 叫作半径。
第二种：
圆心为O，半径为r 的圆可以看成是所有 到定点O 的距离等于定长r 的点的集合。
比较圆的两种定义可知：
第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。
知识点二 圆的相关概念
（1） 弦：
连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。
（2） 弧：
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
（3） 等圆：
等够重合的两个圆叫做等圆。
（4） 等弧：
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。
24.1.2 垂直于弦的直径
24.1.3 弧、弦、圆心角 知识点 弦、弧、圆心角的关系
（1） 弦、弧、圆心角之间的关系定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
（2） 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。
（2）注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心圆中，两个圆心角相同，但此时弧、弦不一定相等。
24.1.4 圆周角 知识点一 圆周角定理
（1） 圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
（2） 圆周角定理的推论：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对弦是直径。
（3） 圆周角定理揭示了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系。
“同弧或等弧”是不能改为“同弦或等弦”的，否则就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类。
知识点二 圆内接四边形及其性质
圆内接多边形：
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。
圆内接四边形的性质：
圆内接四边形的对角互补。
24.2 点、直线、圆和圆的位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系 知识点一 点与圆的位置关系
（1） 点与圆的位置关系有：
点在圆外，点在圆上，点在圆内三种。
知识点二 过已知点作圆
（1） 经过一个点的圆
以点A 外的任意一点（如点O）为圆心，以OA 为半径作圆即可，这样的圆可以作无数个。
（2）经过两点的圆
以线段AB 的垂直平分线上的任意一点（如点O）为圆心，以OA（或OB）为半径作圆即可，这样的圆可以作无数个。
（2） 经过三点的圆
① 经过在同一条直线上的三个点不能作圆
② 不在同一条直线上的三个点确定一个圆，即经过不在同一条直线上的三个点可以作圆，且只能作一个圆。
如经过不在同一条直线上的三个点A、B、C 作圆，作法：
连接AB、BC（或AB、AC 或BC、AC）并 作它们的垂直平分线，两条垂直平分线相交于点O，以点O 为圆心，以OA（或OB、OC）的长为半径作圆即可，这样的圆只能作一个。
知识点三 三角形的外接圆与外心
（1）经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。
（2） 外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。
知识点四 反证法
（1） 反证法：
假设命题的结论不成立，经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明命题的方法叫做反证法。
（2） 反证法的一般步骤：
① 假设命题的结论不成立；
② 从假设出发，经过逻辑推理，推出或与定义，或与公理，或与定理，或与已知等相矛盾的结论；
③ 由矛盾判定假设不正确，从而得出原命题正确。
24.2.2 直线和圆的位置关系 知识点一 直线与圆的位置关系
（1）直线与圆的位置关系有：
相交、相切、相离三种。
（2） 直线与圆的位置关系可以用数量关系表示
若设⊙O 的半径是r，直线l 与圆心0 的距离为d，则有：
知识点二 切线的判定和性质
（1） 切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（2） 切线的性质定理：
圆的切线垂直于过切点的半径。
（3） 切线的其他性质：
切线与圆只有一个公共点；切线到圆心的距离等于半径；经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；必过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
知识点三 切线长定理
（1） 切线长的定义：
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
（2） 切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
3） 注意：
切线和切线长是两个完全不同的概念，必须弄清楚切线是直线，是不能度量的；切线长是一条线段的长，这条线段的两个端点一个是在圆外一点，另一个是切点。
知识点四 三角形的内切圆和内心
（1）三角形的内切圆定义：
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
这 个三角形叫做圆的外切三角形。
（2） 三角形的内心：
三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心。
（3） 注意：
三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，所以当三角形的内心已知时，过三角形的顶点和内心的射线，必平分三角形的内角。
24.2.3 圆和圆的位置关系
知识点一 圆与圆的位置关系
（1） 圆与圆的位置关系有五种：
① 如果两个圆没有公共点，就说这两个圆相离，包括外离和内含两种； ② 如果两个圆只有一个公共点，就说这两个圆相切，包括内切和外切两种； ③ 如果两个圆有两个公共点，就说这两个圆相交。
（2） 圆与圆的位置关系可以用数量关系来表示：
若设两圆圆心之间的距离为
24.3 正多边形和圆
知识点一 正多边形的外接圆和圆的内接正多边形
正多边形与圆的关系非常密切，把圆分成n（n 是大于2 的自然数）等份，顺次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。
正多边形的中心：
一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
正多边形的半径：
外接圆的半径叫做正多边形的半径。
正多边形的中心角：
正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。
正多边形的边心距：
中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距。
知识点二 正多边形的性质
（1） 正n 边形的半径和边心距把正多边形分成2n 个全等的直角三角形。
（2） 所有的正多边形都是轴对称图形，每个正n 边形共有n 条对称轴，每条对称轴都经过正n 边形的中心；当正n 边形的边数为偶数时，这个正n 边形也是中心对称图形，正n 边形的中心就是对称中心。
第二十五章 概率初步
25.1 随机事件与概率 25.1.1 随机事件
知识点一 必然事件、不可能事件、随机事件
在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件；相反地，有些事件必然不会发生，这样的事件称为不可能事件；在一定条件下，可能发生也可能不会发生的事件称为随机事件。
必然事件和不可能事件是否会发生，是可以事先确定的，所以它们统称为确定性事件。
知识点二 事件发生的可能性的大小
必然事件的可能性最大，不可能事件的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小。
不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。
25.1.2 概率 知识点 概率
一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A 发生的概率，记作P（A）。
一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性
知识点三 用树形图求概率
当一次试验要涉及3 个或更多的因素时，列方形表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图。
树形图是反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，并求出概率的方法。
（1）树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时求概率的方法。
（2）在用列表法和树形图法求随机事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同。
25.3 用频率估计概率 知识点
在随机事件中，一个随机事件发生与否事先无法预测，表面上看似无规律可循，但当我们做大量重复试验时，这个事件发生的频率呈现出稳定性，因此做了大量试验后，可以用一个事件发生的频率作为这个事件的概率的估计值。
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