人教版初中数学初二下重点知识点汇总.docx
《人教版初中数学初二下重点知识点汇总.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教版初中数学初二下重点知识点汇总.docx（34页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
人教版初中数学初二下重点知识点汇总
数学初二（下）知识点汇总
第1课反比例函数
1.定义：
一般地，形如
（
为常数，
）的函数称为反比例函数。
还可以写成__________。
2.反比例函数解析式的特征：
⑴等号左边是函数
，等号右边是一个分式。
分子是不为零的常数
（也叫做比例系数
），分母中含有自变量
，且指数为1.
⑵比例系数___________.
⑶自变量
的取值为一切非零实数。
⑷函数
的取值是一切非零实数。
3.反比例函数的图像
⑴图像的画法：
描点法
1列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）
2描点（有小到大的顺序）
3连线（从左到右光滑的曲线）
⑵反比例函数的图像是双曲线，
（
为常数，
）中自变量
，函数值
，所以双曲线是不经过______，断开的两个分支，延伸部分逐渐_______坐标轴，但是永远______________相交。
⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是______________）。
⑷反比例函数
（
）中比例系数
的几何意义是：
过双曲线
（
）上任意引
轴
轴的垂线，所得矩形面积为______。
4．反比例函数性质如下表：
的取值
图像所在象限
函数的增减性
_______________
在每个象限内，
值随
的增大而减小
二、四象限
____________________________________
5.反比例函数解析式的确定：
利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出
）
6．“反比例关系”与“反比例函数”：
成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数
中的两个变量必成反比例关系。
【答案】1.
2.
（2）
3.
（2）原点，靠近,不与坐标轴（3）
或
（4）
4.一、三象限,在每个象限内，
值随
的增大而增大
第2课反比例函数与一次函数
1．函数自变量的取值范围
自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．
①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y=2x+13中的x．
②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y=x+2x﹣1．
③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
④对实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
2.函数的图象
函数的图象定义：
对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．
注意：
①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；
②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；
③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：
将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．
3.函数的表示方法
函数的三种表示方法：
____、____、____．
其特点分别是：
列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．
注意：
①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；
②它们之间可以互相转化．
4．反比例函数的性质
反比例函数的性质：
（1）反比例函数y=xk（k≠0）的图象是____；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
注意：
反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
5．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y=xk（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在xk图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
6．待定系数法求反比例函数解析式
用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：
（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y=xk（k为常数，k≠0）；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；
（3）解方程，求出待定系数；
（4）写出解析式．
7．反比例函数的应用
（1）利用反比例函数解决实际问题：
①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．
②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．
③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．
（2）跨学科的反比例函数应用题
要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．
（3）反比例函数中的图表信息题
正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．
8．反比例函数综合题
（1）应用类综合题
能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识．
（2）数形结合类综合题
利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．
9.一次函数的图象
（1）一次函数的图象的画法：
经过两点（0，b）、（﹣bk，0）或（1，k+b）作直线y=kx+b．
注意：
①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．
②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x=a，y=b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：
直线y=kx+b，可以看做由直线y=kx平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：
①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：
________；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
10．一次函数图象与系数的关系
由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
①k＞0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限．
11．两条直线相交或平行问题
直线y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合．
（1）两条直线的交点问题
两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．
（2）两条直线的平行问题
若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
例如：
若直线y1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2平行，那么k1=k2．
12．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：
①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
13．一次函数综合题
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
14．反比例函数与一次函数的交点问题
反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
（2）判断正比例函数y=k1x和反比例函数y=
在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
①当k1与k2同号时，正比例函数y=k1x和反比例函数y=
在同一直角坐标系中有2个交点；
②当k1与k2异号时，正比例函数y=k1x和反比例函数y=
在同一直角坐标系中有0个交点．
参考答案：
3.列表法、解析式法、图象法
4.
（1）双曲线
9.
（2）上加下减，左加右减
第3课勾股定理
1．勾股定理
（1）勾股定理：
在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于_____的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在___三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2=c2的变形有：
a2=c2﹣b2，b2=c2﹣a2及c2=a2+b2．
（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
2.直角三角形的性质
（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：
在直角三角形中，两个锐角___．
性质3：
在直角三角形中，斜边上的___等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
性质4：
直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．
性质5：
在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的___； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于___．
3．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：
①勾股定理在几何中的应用：
利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：
分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：
运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：
利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．
4．平面展开-最短路径问题
（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，_________．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．
参考答案：
1.
（1）斜边长；
（2）直角
2.
（2）互余中线一半30°
4.
（1）线段最短
第4课勾股定理逆定理
1．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是______三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：
要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
2．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会_________的思想的应用．
（3）常见的类型：
①勾股定理在几何中的应用：
利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：
分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：
运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：
利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．
3．平面展开-最短路径问题
（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，_________．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．
4．方向角
（1）方位角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．
（2）用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）
（3）画方位角
以正南或正北方向作方位角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．
5．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的_____，即S△=
×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
6．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
7．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：
①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
参考答案：
1.
（1）直角
2.
（2）数形结合
3.
（1）线段最短
5.
（1）一半
第5课平行四边形
1．平行线之间的距离
（1）平行线之间的距离
从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．
（2）平行线间的距离___________．
2．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：
三角形两边之和_____第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差_____第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
3．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：
三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：
三角形内角和是____°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
4．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：
三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为____°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
5．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：
等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
6．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：
有两组对边分别____的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：
平行四边形的对边相等．
②角：
平行四边形的对角相等．
③对角线：
平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
7．平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：
∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：
∵AB=DC，AD=BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：
∵AB∥DC，AB=DC∴四边行ABCD是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：
∵∠ABC=∠ADC，∠DAB=∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：
∵OA=OC，OB=OD∴四边行ABCD是平行四边形．
参考答案：
1.
（2）处处相等
2.
（1）大于；（3）小于
3.
（2）180
4.
（2）①360
6.
（1）平行
第6课平行四边形的判定
1.平行四边形的判定方法有：
从边的条件有：
①两组对边__________的四边形是平行四边形；
②两组对边__________的四边形是平行四边形；
③一组对边__________的四边形是平行四边形．
从对角线的条件有：
④两条对角线__________的四边形是平行四边形．
从角的条件有：
⑤两组对角______的四边形是平行四边形．
注意：
一组对边平行另一组对边相等的四边形______是平行四边形．（填“一定”或“不一定”）
2.易混点：
平行四边形的性质和平行四边形的判定的区别.
平行四边形的性质：
①平行四边形的两组对边分别______
②平行四边形的两组对边分别______.
③平行四边形的两组对角分别______.
平行四边形的两条对角线互相_____.
3．注意：
平行四边形的定义可以作为判定使用.
参考答案：
1.①分别平行；
②分别相等；
③平行且相等；
④互相平分；
⑤分别相等；不一定；
2.①平行②相等③相等④平分.
第7课矩形
1．矩形的判定
（1）矩形的判定：
①矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相_____且_____的四边形是矩形”）
（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．
②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
2．矩形的性质
（1）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：
矩形的四个角都是____；
③边：
邻边垂直；
④对角线：
矩形的对角线____；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（2）由矩形的性质，可以得到直角三角线的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的___．
3．矩形的判定与性质
（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：
一个内角是直角的____________，进一步研究其特有的性质：
是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．
（2）下面的结论对于证题也是有用的：
①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB=∠OBA，∠OCB=∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．
4．勾股定理
（1）勾股定理：
在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定_____斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2=c2的变形有：
a=c2﹣b2，b=c2﹣a2及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
5．翻折变换（折叠问题）
（1）翻折变换（折叠问题）实质上就是_______变换．
（2）折叠的性质：
折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状以及大小不变，位置
变化，对应边和对应角相等．
（3）在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形之
间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
参考答案：
1.
（1）③平分相等
2.
（1）②直角；④相等
（2）一半
3.
（1）平行四边形
4.
（1）等于
5.
（1）轴对称
第8课菱形
1．菱形的性质
（1）菱形的定义：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（平行四边形+一组邻边相等=菱形）
（2）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有___条对称轴，分别是两条对角
升级会员 