北师大版八年级数学下学期 第1章 三角形的证明同步单元练习题.docx

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北师大版八年级数学下学期第1章三角形的证明同步单元练习题

第1章三角形的证明

一．选择题（共10小题）

1．如图，△ABC中，D为AB的中点，BE⊥AC，垂足为E．若DE＝4，AE＝6，则BE的长度是（　　）

A．10B．

C．8D．

2．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（　　）

A．AB与CD互相垂直平分B．CD垂直平分AB

C．AB垂直平分CDD．CD平分∠ACB

3．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝5cm，△ABD的周长为18cm，则△ABC的周长为（　　）

A．23cmB．28cmC．13cmD．18cm

4．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC＝112°，则∠EAF为（　　）

A．38°B．40°C．42°D．44°

5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6cm，则△DBE的周长是（　　）

A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm

6．如图，在△ABC中，高AD和BE交于点H，且∠1＝∠2＝22.5°，下列结论：

①∠1＝∠3；②BD+DH＝AB；③2AH＝BH；④若DF⊥BE于点F，则AE﹣FH＝DF．其中正确的结论是（　　）

A．①②③B．③④C．①②④D．①②③④

7．如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB＝60°，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，EP∥OA，交OB于点E，且EP＝6．若点F是OP的中点，则CF的长是（　　）

A．6B．

C．

D．

8．如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，这样的格点C有（　　）

A．3个B．4个C．5个D．6个

9．如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF＝6，BC＝10，则△EFM的面积是（　　）

A．6B．8C．12D．30

10．如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，D为AC边上一动点，O为BD中点，DE⊥AB，垂足为E，连结OE，CO，延长CO交AB于F，设∠BAC＝α，则（　　）

A．∠EOF＝

αB．∠EOF＝2α

C．∠EOF＝180°﹣αD．∠EOF＝180°﹣2α

二．填空题（共5小题）

11．等腰三角形的一个外角度数为100°，则顶角度数为　　．

12．等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为　　．

13．如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝120°，BD⊥BC交AC于点D，BD＝1，则AC的长　　．

14．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于D点．若BD平分∠ABC，则∠A＝　　°．

15．如图，∠AOB＝30°，OP平分∠AOB，PD⊥OB于D，PC∥OB交OA于C，若PC＝10，则PD＝　　．

三．解答题（共8小题）

16．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边上的中线，E是AB上一点且BD＝BE，求∠ADE的度数．

17．如图，AB＝BC，AB⊥BC于B，FC⊥BC于C，E为BC上一点，BE＝FC，请探求AE与BF的关系，并说明理由．

18．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B．

求证：

CD⊥AB．

19．如图所示，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，求PD的长．

20．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，求证：

BE垂直平分CD．

21．已知：

如图，△ABC的角平分线BE、CF相交于点P．求证：

点P在∠A的平分线上．

22．在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC上一点，BE＝CD，EF∥AD交AB于F点，交CA的延长线于P，CH∥AB交AD的延长线于点H，

①求证：

△APF是等腰三角形；

②猜想AB与PC的大小有什么关系？

证明你的猜想．

23．如图所示，△ABC中，AB＝BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交AC于F．

（1）若∠AFD＝155°，求∠EDF的度数；

（2）若点F是AC的中点，求证：

∠CFD＝

∠B．

参考答案

一．选择题（共10小题）

1．

D．

2．

C．

3．

B．

4．

D．

5．

A．

6．

C．

7．

D．

8．

D．

9．

C．

10．

B．

二．填空题（共5小题）

11．

80°或20°．

12．

20．

13．

3．

14．

36

15．

5．

三．解答题（共8小题）

16．解：

∵AB＝AC，∠BAC＝120°，

∴∠B＝∠C＝30°，

∵BD＝BE，

∴∠BDE＝∠BED＝75°，

∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，

∴∠ADB＝90°，

∴∠ADE＝∠ADB﹣∠BDE＝15°．

17．解：

AE⊥BF且AE＝BF．

理由：

∵AB⊥BC于B，FC⊥BC于C，

∴∠ABE＝∠BCF＝90°．

∵AB＝BC，BE＝FC，

∴△ABE≌△BCF．

∴AE＝BF，∠A＝∠FBC，∠AEB＝∠F．

∵∠A+∠AEB＝90°，

∴∠FBC+AEB＝90°．

∴AE⊥BF．

∴AE⊥BF且AE＝BF．

18．证明：

∵∠ACB＝90°，

∴∠A+∠B＝90°，

∵∠ACD＝∠B，

∴∠A+∠ACD＝90°，

∴∠ADC＝90°，

∴CD⊥AB．

19．解：

如图，过点P作PE⊥OB于E，

∵PC∥OA，

∴∠AOP＝∠CPO，

∴∠PCE＝∠BOP+∠CPO＝∠BOP+∠AOP＝∠AOB＝30°，

又∵PC＝4，

∴PE＝

PC＝

×4＝2，

∵AOP＝∠BOP，PD⊥OA，

∴PD＝PE＝2．

20．证明：

∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，

∴∠ACB＝∠BDE＝90°，

在Rt△BDE和Rt△BCE中，

，

∴Rt△BDE≌Rt△BCE，

∴ED＝EC，

∵ED＝EC，BD＝BC，

∴BE垂直平分CD．

21．证明：

如图，过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N，

∵BE平分∠ABC，点P在BE上，

∴PD＝PM，

同理，PM＝PN，

∴PD＝PN，

∴点P在∠A的平分线上．

22．①证明：

∵EF∥AD，

∴∠1＝∠4，∠2＝∠P，

∵AD平分∠BAC，

∴∠1＝∠2，

∴∠4＝∠P，

∴AF＝AP，

即△APF是等腰三角形；

②AB＝PC．理由如下：

证明：

∵CH∥AB，

∴∠5＝∠B，∠H＝∠1，

∵EF∥AD，

∴∠1＝∠3，

∴∠H＝∠3，

在△BEF和△CDH中，

∵

，

∴△BEF≌△CDH（AAS），

∴BF＝CH，

∵AD平分∠BAC，

∴∠1＝∠2，

∴∠2＝∠H，

∴AC＝CH，

∴AC＝BF，

∵AB＝AF+BF，PC＝AP+AC，

∴AB＝PC．

23．解：

（1）∵∠AFD＝155°，

∴∠DFC＝25°，

∵DF⊥BC，DE⊥AB，

∴∠FDC＝∠AED＝90°，

在Rt△EDC中，

∴∠C＝90°﹣25°＝65°，

∵AB＝BC，

∴∠C＝∠A＝65°，

∴∠EDF＝360°﹣65°﹣155°﹣90°＝50°．

（2）连接BF

∵AB＝BC，且点F是AC的中点，

∴BF⊥AC，∠ABF＝∠CBF＝

∠ABC，

∴∠CFD+∠BFD＝90°，

∠CBF+∠BFD＝90°，

∴∠CFD＝∠CBF，

∴∠CFD＝

∠ABC．