高考数学理必刷试题+参考答案+评分标准 32.docx
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高考数学理必刷试题+参考答案+评分标准32
2020高考数学模拟试题
（理科）
一、选择题（本大题共12小题）
1.已知集合，，则
A.B.
C.D.
2.已知，i为虚数单位，若为实数，则a的值为
A.1B.2C.3D.4
3.孙子算经是我国古代的数学名著，书中有如下问题：
“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：
五人各得几何？
”其意思为“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子，数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”根据上述问题的己知条件，分得橘子最多的人所得的橘子个数为
A.15B.16C.18D.21
4.函数的大致图象为
A.
B.
C.
D.
5.的展开式中，的系数是
A.40B.60C.80D.100
6.按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M处条件为
A.B.C.D.
7.已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则
A.10B.9C.8D.5
8.曲线与直线围成的平面图形的面积为
A.B.C.D.
9.已知函数，若直线l过点，且与曲线相切，则直线l的斜率为
A.B.2C.D.e
10.已知将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象若是偶函数，则
A.B.C.D.1
11.如图为我国数学家赵爽约3世纪初在为周髀算经作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则A，C区域涂色不相同的概率为
A.B.C.D.
12.如图，将边长为1的正方形ABCD沿x轴正向滚动，先以A为中心顺时针旋转，当B落在x轴时，又以B为中心顺时针旋转，如此下去，设顶点C滚动时的曲线方程为，则下列说法不正确的是
A.恒成立B.
C.D.
二、填空题（本大题共4小题）
13.已知等差数列，且，则数列的前7项和______
14.若x，y满足约束条件，则的最小值为______．
15.已知向量与的夹角为，且，，若，且，则实数的值为______．
16.若过抛物线上一点，作两条直线PA，PB使它们的斜率之积为定值4，则直线AB恒过点______．
三、解答题（本大题共6小题）
17.已知等差数列的前n项和为，且，又．
求数列的通项公式；
若数列满足，求证：
数列的前n项和．
18.如图1，在正方形ABCD中，E是AB的中点，点F在线段BC上，且若将，分别沿ED，FD折起，使A，C两点重合于点M，如图2．
求证：
平面MED；
求直线EM与平面MFD所成角的正弦值．
19.2016年某市政府出台了“2020年创建全国文明城市简称创文”的具体规划，今日，作为“创文”项目之一的“市区公交站点的重新布局及建设”基本完成，市有关部门准备对项目进行调查，并根据调查结果决定是否验收，调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图，相关规则为：
调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分；采用百分制评分，内认定为满意，80分及以上认定为非常满意；市民对公交站点布局的满意率不低于即可进行验收；用样本的频率代替概率．
求被调查者满意或非常满意该项目的频率；
若从该市的全体市民中随机抽取3人，试估计恰有2人非常满意该项目的概率；
已知在评分低于60分的被调查者中，老年人占，现从评分低于60分的被调查者中按年龄分层抽取9人以便了解不满意的原因，并从中选取2人担任群众督察员，记为群众督查员中老年人的人数，求随机变量的分布列及其数学期望．
20.已知椭圆的焦点坐标分別为，，P为椭圆C上一点，满足且
求椭圆C的标准方程：
设直线l：
与椭圆C交于A，B两点，点，若，求k的取值范围．
21.已知函数，．
求证：
对恒成立；
若，若，，求证：
22.在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为参数，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
求圆C的极坐标方程；
直线l的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求的范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：
因为集合，，
解得，
所以，，，
故选：
B．
由集合，，解得，所以
本题考查了集合的包含关系和集合的运算，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：
为实数，
，即．
故选：
A．
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为0求解．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3.【答案】C
【解析】解：
设第一个人分到的橘子个数为，
由题意得：
，
解得．
则．
得到橘子最多的人所得的橘子个数是18．
故选：
C．
设第一个人分到的橘子个数为，由等差数列前n项和公式能求出得到橘子最少的人所得的橘子个数，再由等差数列的通项公式即可求出答案．
本题考查等差数列的应用，考查等差数列前n项和公式、通项公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
4.【答案】A
【解析】解：
，
，
为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D，
在上增函数，，
在是增函数，，
所以在是增函数，排除C．
或者当时，，故排除C，
故选：
A．
判断函数的奇偶性，利用函数的单调性和函数值的变化趋势判断即可．
本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，考查计算能力．
5.【答案】C
【解析】解：
二项展开式的通项为．
令，得．
因此，二项展开式中的系数为．
故选：
C．
先写出二项展开式的通项，然后令x的指数为4，解出相应参数的值，代入通项即可得出答案．
本题考查二项式定理求指定项的系数，考查二项式定理的应用，属于中等题．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查算法框图，算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：
分支的条件循环的条件变量的赋值变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：
不能准确理解流程图的含义而导致错误．
分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是累加k值到S并输出S．
【解答】
解：
程序运行过程中，各变量的值如下表示：
S k 是否继续循环
循环前 0 1
第一圈 1 2 否
第二圈 3 4 否
第三圈 7 8 否
第四圈 15 16 是
故退出循环的条件应为，
故选A．
7.【答案】D
【解析】解：
，即，A为锐角，
，
又，，
根据余弦定理得：
，即，
解得：
或舍去，
则．
故选：
D．
利用二倍角的余弦函数公式化简已知的等式，求出cosA的值，再由a与c的值，利用余弦定理即可求出b的值．
此题考查了余弦定理，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了定积分，找到积分区间和被积函数是解决此类问题的关键．本题属于基础题．
联立，解得两曲线的交点为，，所以两曲线围成的面积为在上的积分．
【解答】
解：
如图：
联立，
解得，两曲线的交点坐标为，，
所以两曲线围成的图形的面积为．
故选：
D．
9.【答案】B
【解析】解：
函数的导数为，
设切点为，可得切线的斜率为，
则，
解得，，
故选：
B．
求得的导数，设出切点，可得切线的斜率，结合两点的斜率公式，解方程可得m，即可得到所求斜率．
本题考查导数的运用：
求切线的斜率，考查直线的斜率公式，以及方程思想和运算能力，属于基础题．
10.【答案】A
【解析】【分析】
先由题意写出，根据是偶函数求出，即可得出结果．
本题主要考查三角函数的图象变换与三角函数的性质，熟记性质即可，属于常考题型．
【解答】
解：
由题意可得：
，
因为是偶函数，所以，，即，，
又，所以，
解得，所以，故；
所以．
故选：
A．
11.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查概率的求法，考查分步计数原理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，利用分步计数原理求出不同的涂色方案有420种，其中，A、C区域涂色不相同的情况有240种，由此能求出A、C区域涂色不相同的概率．
【解答】
解：
提供5种颜色给其中5个小区域涂色，
规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，
根据题意，如图，设5个区域依次为A、B、C、D、E，分4步进行分析：
，对于区域A，有5种颜色可选；
，对于区域B，与A区域相邻，有4种颜色可选；
，对于区域E，与A、B区域相邻，有3种颜色可选；
，对于区域D、C，若D与B颜色相同，C区域有3种颜色可选，
若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色可选，C区域有2种颜色可选，
则区域D、C有种选择，
则不同的涂色方案有种，
其中，A、C区域涂色不相同的情况有：
若A、C不同色，则ABCE两两不同色，涂色方案有种，
涂D时只需要和ACE不同即可，有2种，
故有种，
、C区域涂色不相同的概率为．
故选：
D．
12.【答案】C
【解析】
解：
正方形的边长为1，正方形的对角线，
则由正方形的滚动轨迹得到时，C位于点，即，
当时，C位于点，即，
当时，C位于点，即，
当时，C位于点，即，
当时，C位于点，即，
则，即具备周期性，周期为4，
由右图可得恒成立；；
当时，C的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，方程为；
，
综上可得A，B，D正确；C错误．
故选：
C．
根据正方形的运动关系，分布求出当，1，2，3，4时对应的函数值，得到具备周期性，周期为4，结合图象，当时，C的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，即可判断所求结论．
本题主要考查函数值的计算和函数的解析式和性质，结合正方形的运动轨迹，计算出对应函数值，得到周期性是解决本题的关键．
13.【答案】56
【解析】解：
由等差数列的性质可得：
．
数列的前7项和．
故答案为：
56．
由等差数列的性质可得：
利用求和公式即可得出数列的前7项和．
本题考查了等差数列的通项公式的性质及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14.【答案】
【解析】
解：
作出不等式组对应的平面区域如图：
的几何意义是平面区域内的点到原点的距离，
由图象得O到直线的距离最小，
此时最小值，
则的最小值是，
故答案为：
．
作出不等式组对应的平面区域，根据点到直线的距离公式进行求解即可．
本题主要考查线性规划的应用，利用点到直线的距离公式结合数形结合是解决本题的关键．
15.【答案】
【解析】解：
向量与的夹角为，且，，
，
，且，
，
即，
，
解得，
故答案为：
根据向量数量积的公式，结合向量垂直的关系即可得到结论．
本题主要考查平面向量的基本运算，利用向量垂直和数量积之间的关系是解决本题的关键．
16.【答案】
【解析】解：
设PA的斜率为k，则PB的斜率为：
，
所以PA的方程为：
联立抛物线方程：
，可得：
，
可得，
同理可得，
所以AB的方程为：
，
可得：
，
所以直线AB恒过点：
．
故答案为：
．
设出直线PA的斜率，求出PB的斜率，然后求解A、B坐标．得到AB方程，即可推出结果．
本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，直线系方程的应用，考查转化思想以及计算能力．
17.【答案】解：
设公差为d的等差数列的前n项和为，且，又．
所以，解得．
故．
证明：
由于，所以，
所以．
【解析】直接利用等差数列前n项和公式求出数列的公差，进一步求出数列的通项公式．
利用等比数列的求和公式和放缩法的应用求出数列的和．
本题考查的知识要点：
数列的通项公式的求法及应用，等比数列的前n项和的应用，放缩法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
18.【答案】证明：
设正方形ABCD的边长为4，由图1知，，，，
，，，
，
，即，
由题意知，在图2中，，，平面MEF，平面MEF，且，
平面MEF，平面MEF，．
又平面MED，平面MED，且，
平面MED
解：
由知平面MED，则建立如图所示空间直角坐标系，过点M作，垂足为N，
在中，，，
从而0，，，，，
，，．
设平面MFD的一个法向量为，则，
令，则，，．
设直线EM与平面MFD所成角为，
则，．
直线EM与平面MFD所成角的正弦值为．
【解析】设正方形ABCD的边长为4，由，可得，结合可得平面MED．
建立空间直角坐标系，过点M作，垂足为N．
求出平面MFD的一个法向量为，则，即可得直线EM与平面MFD所成角的正弦值．
本题考查了空间线面垂直的判定，线面角的求解，属于中档题．
19.【答案】本小题满分12分
解：
根据题意：
分或以上被认定为满意或非常满意，在频率分布直方图中，
评分在的频率为：
；
根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是，
用样本的频率代替概率，从该市的全体市民中随机抽取1人，
该人非常满意该项目的概率为，
现从中抽取3人恰有2人非常满意该项目的概率为：
；
评分低于分的被调查者中，老年人占，
又从被调查者中按年龄分层抽取9人，
这9人中，老年人有3人，非老年人6人，
随机变量的所有可能取值为0，1，2，
，
，
．
的分布列为：
0
1
2
p
的数学期望．
【解析】根据频率分布直方图，求解在的频率即可．
根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是，然后求解抽取3人恰有2人非常满意该项目的概率．
从被调查者中按年龄分层抽取9人，这9人中，老年人有3人，非老年人6人，随机变量的所有可能取值为0，1，2，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．
本题考查频率分布列，频率分布直方图，期望的求法，考查分层抽样的应用，是基础题．
20.【答案】解：
由题意设，则，又，
，
在中，由余弦定理得，，
解得，
，
，
所求椭圆方程为；
联立方程，消去y得，
则，，且
设AB的中心为，
则，
，
，
，
即，解得
把代入得，
整理得，即，
解得．
【解析】由题意设，，根据余弦定理即可求出a的值，即可求出b的值，可得椭圆方程，
根据根与系数的关系和直线的斜率，化简整理即可求出k的范围．
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到及根与系数的关系、斜率等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
21.【答案】证明：
由题意，可知
．
令，则
，，
当时，，
在上单调递增．
当时，，
在上单调递增．
当时，．
故命题得证．
由题意，，．
，．
令，解得；
令，解得；
令，解得．
在上单调递减，在上单调递增，
在处取得极小值．
大致图象如下：
根据图，可知，．
，，
根据对数平均不等式，有
，
．
，
．
故得证．
【解析】本题第题先对不等式左边进行化简整理，然后将整理后的表达式设为函数，对函数进行一阶导数和二阶导数的分析，得到在上单调递增，则当时，命题得证．第题先对整理后的进行一阶导数的分析，画出函数大致图象，可知，然后采用先取对数然后作差的方法比较大小，关键是构造对数平均数，利用对数平均不等式即可证明．
本题主要考查函数的一阶导数和二阶导数对函数单调性分析的能力，数形结合法的应用，构造函数，构造对数平均数，利用对数平均不等式的技巧，本题属偏难题．
22.【答案】解：
圆C的参数方程为参数，
消去参数，得圆C的普通方程是，
又，，
圆C的极坐标方程是．
设，则有，，
则有，
，
，．
故的范围是．
【解析】圆C的参数方程消去参数，能求出圆C的普通方程，再由，，能求出圆C的极坐标方程．
设，则有，，则，，结合，能求出的范围．
本题考查圆的极坐标方程的求法，考查两线段的乘积的取值范围的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
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