初中数学拔高九年级 专题23 圆与圆的位置关系含答案.docx
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初中数学拔高九年级专题23圆与圆的位置关系含答案
专题23圆与圆的位置关系
【阅读与思考】
两圆的半径与圆心距的大小量化确定圆与圆的外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系.圆与圆相交、相切等关系是研究圆与圆位置关系的重点，解题中经常用到相关性质.
解圆与圆的位置关系问题，往往需要添加辅助线，常用的辅助线有：
1.相交两圆作公共弦或连心线；
2.相切两圆作过切点的公切线或连心线；
3.有关相切、相离两圆的公切线问题常设法构造相应的直角三角形.
熟悉以下基本图形和以上基本结论.
【例题与求解】
【例1】如图，大圆⊙O的直径
cm，分别以OA，OB为直径作⊙O1和⊙O2，并在⊙O与⊙O1和⊙O2的空隙间作两个等圆⊙O3和⊙O4，这些圆互相内切或外切，则四边形
的面积为________cm2.（全国初中数学竞赛试题）
解题思路：
易证四边形
为菱形，求其面积只需求出两条对角线的长.
【例2】如图，圆心为A，B，C的三个圆彼此相切，且均与直线
相切.若⊙A，⊙B，
⊙C的半径分别为
，
，
（
），则
，
，
一定满足的关系式为（）
A.
B.
C.
D.
（天津市竞赛试题）
解题思路：
从两圆相切位置关系入手，分别探讨两圆半径与分切线的关系，解题的关键是作圆的基本辅助线.
【例3】如图，已知两圆内切于点P，大圆的弦AB切小圆于点C，PC的延长线交大圆于点D.求证：
（1）∠APD=∠BPD；
（2）
.（天津市中考试题）
解题思路：
对于
（1），作出相应辅助线；对于
（2），应化简待证式的右边，不妨从AC·BC=PC·CD入手.
【例4】如图⊙O1和⊙O2相交于点A及B处，⊙O1的圆心落在⊙O2的圆周上，⊙O1的弦AC与⊙O2交于点D.求证：
O1D⊥BC.
（全俄中学生九年级竞赛试题）
解题思路：
连接AB，O1B，O1C，显然△O1BC为等腰三角形，若证O1D⊥BC，只需证明O1D平分∠BO1C.充分运用与圆相关的角.
【例5】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1,AB=2，DC=
，点P在边BC上运动（与B，C不重合）.设PC=
，四边形ABPD的面积为
.
（1）求
关于
的函数关系式，并写出自变量
的取值范围；
（2）若以D为圆心，
为半径作⊙D，以P为圆心，以PC的长为半径作⊙P，当
为何值时，⊙D与⊙P相切？
并求出这两圆相切时四边形ABPD的面积.（河南省中考题）
解题思路：
对于
（2），⊙P与⊙D既可外切，也可能内切，故需分类讨论，解题的关键是由相切两圆的性质建立关于
的方程.
【例6】如图，ABCD是边长为
的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆交于另一点P，延长AP交BC于点N，求
的值.（全国初中数学联赛试题）
解题思路：
AB为两圆的公切线，BC为直径，怎样产生比例线段？
丰富的知识，不同的视角激活想象，可生成解题策略与方法.
【能力与训练】
A级
1.如图，⊙A，⊙B的圆心A，B在直线
上，两圆的半径都为1cm.开始时圆心距AB＝4cm，现⊙A，⊙B同时沿直线
以每秒2cm的速度相向移动，则当两圆相切时，⊙A运动的时间为_______秒.
（宁波市中考试题）
2.如图，O2是⊙O1上任意一点，⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，E为优弧AB上的一点，EO2及延长线交⊙O2于C，D，交AB于F，且CF＝1，EC＝2，那么⊙O2的半径为_______.
（四川省中考试题）
（第1题图）（第2题图）（第3题图）
3.如图，半圆O的直径AB＝4,与半圆O内切的动圆O1与AB切于点M.设⊙O1的半径为
，AM的长为
，则
与
的函数关系是_________________.（要求写出自变量
的取值范围）
（昆明市中考试题）
4.已知直径分别为
和
的两个圆，它们的圆心距为
，这两圆的公切线的条数是__________.
5.如图，⊙O1和⊙O2相交于点A，B，且⊙O2的圆心O2在圆⊙O1的圆上，P是⊙O2上一点.已知∠AO1B＝60°，那么∠APB的度数是（）
A.60°B.65°C.70°D.75°
（甘肃省中考试题）
6.如图，两圆相交于A、B两点，过点B的直线与两圆分别交于C，D两点.若⊙O1半径为
，⊙O2的半径为2，则AC：
AD为（）
A.
B.
C.
D.
（第5题图）（第6题图）（第7题图）
7.如图，⊙O1和⊙O2外切于点T，它们的半径之比为3:
2，AB是它们的外公切线，A，B是切点，AB＝
，那么⊙O1和⊙O2的圆心距是（）
A.
B.10C.
D.
8.已知两圆的半径分别为R和
（
），圆心距为
.若关于
的方程
有两相等的实数根，那么这两圆的位置关系是（）
A.外切B.内切C.外离D.外切或内切
（连云港市中考试题）
9.如图，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，点O1在⊙O2上，点C为⊙O1中优弧
上任意一点，直线CB交⊙O2于D，连接O1D.
（1）证明：
DO1⊥AC；
（2）若点C在劣弧
上，
（1）中的结论是否仍成立？
请在图中画出图形，并证明你的结论.
（大连市中考试题）
图1图2
10.如图，已知⊙O1与⊙O2外切于点P，AB过点P且分别交⊙O1和⊙O2于点A，B，BH切⊙O2于点B，交⊙O1于点C，H.
（1）求证：
△BCP∽△HAP；
（2）若AP:
PB＝3：
2，且C为HB的中点，求HA:
BC.
（福州市中考试题）
11.如图，已知⊙B，⊙C的半径不等，且外切于点A，不过点A的一条公切线切⊙B于点D，切⊙C于点E，直线AF⊥DE，且与BC的垂直平分线交于点F.求证：
BC＝2AF.
（英国数学奥林匹克试题）
12.如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点.正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过△ABC得内切圆圆心O，且点E在半圆弧上.
（1）若正方形的顶点F也在半圆弧上，求半圆的半径与正方形边长的比；
（2）若正方形DEFG的面积为100，且△ABC的内切圆半径
，求半圆的直径AB.
（杭州市中考试题）
B级
1.相交两圆的半径分别为5cm和4cm，公共弦长为6cm，这两圆的圆心距为_______.
2.如图，⊙O过M点，⊙M交⊙O于A，延长⊙O的直径AB交⊙M于C.若AB＝8，BC＝1，则AM＝_______.
（黑龙江省中考试题）
（第2题图）（第3题图）（第4题图）
3.已知圆环内直径为
cm，外直径为
cm，将50个这样的圆环一个接着一个环套环地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为___________cm.
4.如图，已知PQ＝10，以PQ为直径的圆与一个以20为半径的圆相切于点P.正方形ABCD的顶点A，B在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD切于点Q.若AB＝
，其中
，
为整数，则
___________.
（美国中学生数学邀请赛试题）
5.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点M，且分正方形为4个三角形，⊙O1，⊙O2，⊙O3，⊙O4，分别为△AMB，△BMC，△CMD，△DMA的内切圆.已知AB＝1.则⊙O1，⊙O2，⊙O3，⊙O4所夹的中心（阴影）部分的面积为（）
A.
B.
C.
D.
（太原市竞赛试题）
（第5题图）（第6题图）（第7题图）
6.如图，⊙O1与⊙O2内切于点E，⊙O1的弦AB过⊙O2的圆心O2，交⊙O2于点C，D.若AC：
CD:
BD＝2:
4:
3，则⊙O2与⊙O1的半径之比为（）
A.2:
3B.2:
5C.1:
3D.1:
4
7.如图，⊙O1与⊙O2外切于点A，两圆的一条外公切线与⊙O1相切于点B，若AB与两圆的另一条外公切线平行，则⊙O1与⊙O2的半径之比为（）
A.2:
5B.1:
2C.1:
3D.2:
3
（全国初中数学联赛试题）
8.如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，过点A作⊙O1的切线，交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线分别交⊙O1，⊙O2于点D，E，DE与AC相交于点P.
（1）求证：
（2）当AD与⊙O2相切且PA＝6，PC＝2，PD＝12时，求AD的长.（黄冈市中考试题）
9.如图，已知⊙O1和⊙O2外切于A，BC是⊙O1和⊙O2的公切线，切点为B，C.连接BA并延长交⊙O1于D，过D点作CB的平行线交⊙O2于E，F.
（1）求证：
CD是⊙O1的直径；
（2）试判断线段BC，BE，BF的大小关系，并证明你的结论.（四川省中考试题）
10.如图，两个同心圆的圆心是O，大圆的半径为13，小圆的半径为5，AD是大圆的直径，大圆的弦AB，BE分别与小圆相切于点C，F，AD，BE相交于点G，连接BD.
（1）求BD的长；
（2）求
的度数；
（3）求
的值.（淄博市中考试题）
11.如图，点H为△ABC的垂心，以AB为直径的⊙O1与△BCH的外接圆⊙O2相交于点D，延长AD交CH于点P.求证：
P为CH的中点.（“《数学周报杯”全国初中数学竞赛试题）
12.如图，已知AB为半圆O的直径，点P为直径AB上的任意一点，以点A为圆心，AP为半径作⊙A，⊙A与半圆O相交于点C，以点B为圆心，BP为半径作⊙B，⊙B与半圆O相交于点D，且线段CD的中点为M.求证：
MP分别与⊙A，⊙B相切.（“《数学周报杯”全国初中数学竞赛试题）
专题23圆与圆的位置关系
例1
提示：
连接
必过点O，则
⊥AB，设⊙
，⊙
的半径为xcm，在Rt△
中，有
，解得x=
.
例2D提示：
连接AB，
，
，作
⊥
，则
，即
，得
，同理，
，
，由
得
，故
.
例3提示：
⑴过P点作两圆的公切线.⑵即证
.
例4
，
，则
为
的平分线，又
，故
.
例5⑴过D作DQ⊥BC于Q，则BQ=AD=1，AB=DQ=2，CQ=
，故
（0⑵分两种情况讨论：
①当⊙P与⊙D外切时，如图1，QC=2，PC=x，QP=
，PD=x+
，DQ=2，在Rt△DQP中，由
得，
，
.
②当⊙P与⊙D内切时，如图2，PC=x，QC=2，PQ=x-2，PD=x-
，DQ=2，在Rt△DPQ中，由
得，
，
.
例6就图1给出解答：
连接CP并延长交AB于点Q，连接BP，得∠BPC90°，又
，得AQ=QB=
AB，在Rt△CQP中，
.过Q作QM∥BC交AN于M，则MQ=
.由△MQP∽△NCP，得
，故
＝
.
A级1．
或
2.23．y＝
＋x（0＜x＜4）4.3条5．D6．D 7．B 8．D 9．提示：
（1）连结AB，A
，并延长交⊙
于E，连结CE．
（2）结论仍然成立．10．
（1）略
（2）提示：
设AP＝3t，由BC·BH＝BP·BA，BH＝2BC，BC＝
t.易证△HAP∽△BAH，得HA＝
t，故
＝
.11．连结BD，CE，作BM⊥CE于M，作HN⊥CE于N，则BM∥HN．∵H是BC的中点，故N是CM的中点，∴CN＝
CM＝
（CE－EM）＝
（CE－BD），而AH＝BH－AB＝
BC－AB＝
（AB＋AC）–AB＝
（AC－AB），因此CN＝AH．由CE⊥DE，AF⊥DE，得CE//AF，故∠NCH
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