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初中数学拔高九年级 专题23 圆与圆的位置关系含答案.docx

1、初中数学拔高九年级 专题23 圆与圆的位置关系含答案专题23 圆与圆的位置关系【阅读与思考】 两圆的半径与圆心距的大小量化确定圆与圆的外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系.圆与圆相交、相切等关系是研究圆与圆位置关系的重点,解题中经常用到相关性质. 解圆与圆的位置关系问题,往往需要添加辅助线,常用的辅助线有:1.相交两圆作公共弦或连心线;2.相切两圆作过切点的公切线或连心线;3.有关相切、相离两圆的公切线问题常设法构造相应的直角三角形.熟悉以下基本图形和以上基本结论.【例题与求解】【例1】 如图,大圆O的直径cm,分别以OA,OB为直径作O1和O2,并在O与O1和O2的空隙间作两个等圆O3和

2、O4,这些圆互相内切或外切,则四边形的面积为_cm2. (全国初中数学竞赛试题) 解题思路:易证四边形为菱形,求其面积只需求出两条对角线的长. 【例2】 如图,圆心为A,B,C的三个圆彼此相切,且均与直线相切.若A,B,C的半径分别为,(),则,一定满足的关系式为( )A. B. C. D. (天津市竞赛试题) 解题思路:从两圆相切位置关系入手,分别探讨两圆半径与分切线的关系,解题的关键是作圆的基本辅助线. 【例3】 如图,已知两圆内切于点P,大圆的弦AB切小圆于点C,PC的延长线交大圆于点D.求证:(1)APD=BPD;(2). (天津市中考试题) 解题思路:对于(1),作出相应辅助线;对于

3、(2),应化简待证式的右边,不妨从ACBC=PCCD入手. 【例4】 如图O1和O2相交于点A及B处,O1的圆心落在O2的圆周上,O1的弦AC与O2交于点D.求证:O1DBC.(全俄中学生九年级竞赛试题) 解题思路:连接AB,O1B,O1C,显然O1BC为等腰三角形,若证O1DBC,只需证明O1D平分B O1C.充分运用与圆相关的角. 【例5】 如图,在直角梯形ABCD中,ADBC,ABBC,AD=1,AB=2,DC=,点P在边BC上运动(与B,C不重合).设PC=,四边形ABPD的面积为.(1)求关于的函数关系式,并写出自变量的取值范围;(2)若以D为圆心,为半径作D,以P为圆心,以PC的长

4、为半径作P,当为何值时,D与P相切?并求出这两圆相切时四边形ABPD的面积. (河南省中考题) 解题思路:对于(2),P与D既可外切,也可能内切,故需分类讨论,解题的关键是由相切两圆的性质建立关于的方程. 【例6】 如图,ABCD是边长为的正方形,以D为圆心,DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆交于另一点P,延长AP交BC于点N,求的值. (全国初中数学联赛试题) 解题思路:AB为两圆的公切线,BC为直径,怎样产生比例线段?丰富的知识,不同的视角激活想象,可生成解题策略与方法. 【能力与训练】A 级1.如图,A,B的圆心A,B在直线上,两圆的半径都为1cm.开始时圆心距AB4cm,现A,B同时

5、沿直线以每秒2cm的速度相向移动,则当两圆相切时,A运动的时间为_秒.(宁波市中考试题)2.如图,O2是O1上任意一点,O1和O2相交于A,B两点,E为优弧AB上的一点,EO2及延长线交O2于C,D,交AB于F,且CF1,EC2,那么O2的半径为_.(四川省中考试题)(第1题图) (第2题图) (第3题图)3.如图,半圆O的直径AB4,与半圆O内切的动圆O1与AB切于点M.设O1的半径为,AM的长为,则与的函数关系是_.(要求写出自变量的取值范围)(昆明市中考试题)4.已知直径分别为和的两个圆,它们的圆心距为,这两圆的公切线的条数是_.5.如图,O1和O2相交于点A,B,且O2的圆心O2在圆O

6、1的圆上,P是O2上一点.已知A O1B60,那么APB的度数是( ) A.60 B.65 C.70 D.75(甘肃省中考试题)6.如图,两圆相交于A、B两点,过点B的直线与两圆分别交于C,D两点.若O1半径为,O2的半径为2,则AC:AD为( ) A. B. C. D. (第5题图) (第6题图) (第7题图)7.如图,O1和O2外切于点T,它们的半径之比为3:2,AB是它们的外公切线,A,B是切点,AB,那么O1和O2的圆心距是( ) A. B.10 C. D. 8.已知两圆的半径分别为R和(),圆心距为.若关于的方程有两相等的实数根,那么这两圆的位置关系是( ) A.外切 B.内切 C.

7、外离 D.外切或内切 (连云港市中考试题)9.如图,O1与O2相交于A,B两点,点O1在O2上,点C为O1中优弧上任意一点,直线CB交O2于D,连接O1D.(1)证明:DO1AC;(2)若点C在劣弧上,(1)中的结论是否仍成立?请在图中画出图形,并证明你的结论. (大连市中考试题) 图1 图210.如图,已知O1与O2外切于点P,AB过点P且分别交O1和O2于点A,B,BH切O2于点B,交O1于点C,H.(1)求证:BCPHAP;(2)若AP:PB3:2,且C为HB的中点,求HA:BC.(福州市中考试题) 11.如图,已知B,C的半径不等,且外切于点A,不过点A的一条公切线切B于点D,切C于点

8、E,直线AFDE,且与BC的垂直平分线交于点F.求证:BC2AF. (英国数学奥林匹克试题) 12.如图,AB为半圆的直径,C是半圆弧上一点.正方形DEFG的一边DG在直径AB上,另一边DE过ABC得内切圆圆心O,且点E在半圆弧上.(1)若正方形的顶点F也在半圆弧上,求半圆的半径与正方形边长的比;(2)若正方形DEFG的面积为100,且ABC的内切圆半径,求半圆的直径AB. (杭州市中考试题) B 级1.相交两圆的半径分别为5cm和4cm,公共弦长为6cm,这两圆的圆心距为_.2.如图,O过M点,M交O于A,延长O的直径AB交M于C.若AB8,BC1,则AM_.(黑龙江省中考试题) (第2题图

9、) (第3题图) (第4题图)3.已知圆环内直径为cm,外直径为cm,将50个这样的圆环一个接着一个环套环地连成一条锁链,那么这条锁链拉直后的长度为_cm.4.如图,已知PQ10,以PQ为直径的圆与一个以20为半径的圆相切于点P.正方形ABCD的顶点A,B在大圆上,小圆在正方形的外部且与CD切于点Q.若AB,其中,为整数,则_.(美国中学生数学邀请赛试题)5.如图,正方形ABCD的对角线AC,BD交于点M,且分正方形为4个三角形,O1,O2,O3,O4,分别为AMB,BMC,CMD,DMA的内切圆.已知AB1.则O1,O2,O3,O4所夹的中心(阴影)部分的面积为( ) A. B. C. D.

10、 (太原市竞赛试题) (第5题图) (第6题图) (第7题图)6.如图,O1与O2内切于点E,O1的弦AB过O2的圆心O2,交O2于点C,D.若AC:CD:BD2:4:3,则O2与O1的半径之比为( ) A.2:3 B.2:5 C.1:3 D.1:47.如图,O1与O2外切于点A,两圆的一条外公切线与O1相切于点B,若AB与两圆的另一条外公切线平行,则O1与O2的半径之比为( ) A.2:5 B.1:2 C.1:3 D.2:3(全国初中数学联赛试题)8.如图,已知O1与O2相交于A,B两点,过点A作O1的切线,交O2于点C,过点B作两圆的割线分别交O1,O2于点D,E,DE与AC相交于点P.(

11、1)求证: (2)当AD与O2相切且PA6,PC2,PD12时,求AD的长. (黄冈市中考试题)9.如图,已知O1和O2外切于A,BC是O1和O2的公切线,切点为B,C.连接BA并延长交O1于D,过D点作CB的平行线交O2于E,F.(1)求证:CD是O1的直径;(2)试判断线段BC,BE,BF的大小关系,并证明你的结论. (四川省中考试题)10.如图,两个同心圆的圆心是O,大圆的半径为13,小圆的半径为5,AD是大圆的直径,大圆的弦AB,BE分别与小圆相切于点C,F,AD,BE相交于点G,连接BD.(1)求BD的长;(2)求的度数;(3)求的值. (淄博市中考试题) 11.如图,点H为ABC的

12、垂心,以AB为直径的O1与BCH的外接圆O2相交于点D,延长AD交CH于点P.求证:P为CH的中点. (“数学周报杯”全国初中数学竞赛试题) 12.如图,已知AB为半圆O的直径,点P为直径AB上的任意一点,以点A为圆心,AP为半径作A,A与半圆O相交于点C,以点B为圆心,BP为半径作B,B与半圆O相交于点D,且线段CD的中点为M.求证:MP分别与A,B相切. (“数学周报杯”全国初中数学竞赛试题)专题23 圆与圆的位置关系例1 提示:连接必过点O,则AB,设,的半径为xcm,在Rt中,有,解得x=.例2 D 提示:连接AB,作,则,即,得,同理,由得,故.例3 提示:过P点作两圆的公切线. 即

13、证. 例4 ,则为的平分线,又,故.例5 过D作DQBC于Q,则BQ=AD=1,AB=DQ=2,CQ=,故(0x3). 分两种情况讨论:当P与D外切时,如图1,QC=2,PC=x,QP=,PD=x+,DQ=2,在RtDQP中,由得,.当P与D内切时,如图2,PC=x,QC=2,PQ=x-2,PD=x-,DQ=2,在RtDPQ中,由得,.例6 就图1给出解答:连接CP并延长交AB于点Q,连接BP,得BPC90,又,得AQ=QB=AB,在RtCQP中,.过Q作QMBC交AN于M,则MQ=.由MQPNCP,得,故. A 级1或 2.2 3yx(0x4) 4. 3条 5D 6D 7B 8D 9提示:(1)连结AB ,A ,并延长交于E,连结CE (2)结论仍然成立 10(1)略 (2)提示:设AP3t,由BCBHBPBA,BH2BC,BCt.易证HAPBAH,得HAt,故. 11连结BD,CE,作BMCE于M,作HNCE于N,则BMHNH是BC的中点,故N是CM的中点,CNCM(CEEM)(CEBD),而AHBHABBCAB(ABAC) AB(ACAB),因此CNAH由CEDE,AFDE,得CE/AF,故NCH

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