2．单位根检验步骤。
单位根检验做得不好常常会把退势平稳过程误判为随机趋势非平稳过程（隐性趋势）和确定性趋势非平稳（显性趋势）过程。
检验时间序列中是否含有单位根时常会碰到如下几种问题：
（1）当被检验过程（d.g.p.）的形式未知时，应该考虑到其中是否含有随机的或确定性的时间趋势成分。
（2）被检验过程（d.g.p.）的形式通常要比AR
（1）形式复杂，可能是高阶自回归过程或含有移动平均成分。
（3）当被检验随机过程接近含有单位根但实为平稳过程（特征根小于1，但接近1）时，在有限样本、特别是小样本条件下的单位根检验结果容易接受原假设，误判为单位根过程，即检验功效降低。
（4）应该注意的是当被检验过程中含有未发现的突变点时，常导致单位根检验易于接受零假设（非平稳过程）。
（5）对于季节随机过程除了检验零频率单位根外，还要检验季节单位根（不讲）。
检验单位根通常有3种方法。
（1）DF（ADF）检验法（Dickey-Fuller,1979）、
（2）CRDW（cointegrationregressionDW）检验法（Sargan-Bhargava,1983）、（3）PP（或Z）检验法（Phillips,1987）。
最常用的是DF（和ADF）检验法。
DF检验式的一种形式是
yt=yt-1+ut,utIID（0,2）（1.a）
H0：
=1，H1：
<1。
检验统计量DF=
或
yt=yt-1+ut,utIID（0,2）（1.b）
其中=-1。
H0：
=0，H1：
<0。
检验统计量DF=
=
。
其中
和
分别表示和的OLS估计量。
检验式（1.b）更常用。
尽管DF计算公式与t统计量相同，但在H0：
=0成立（yt非平稳）条件下，DF不服从t分布，而服从DF分布。
以=1的
（1）式为数据生成系统（d.g.p.），DF分布百分位数用蒙特卡罗模拟的方法得到（见表1第1部分）。
检验用临界值从中查取（摘自Fuller（1976））。
用
（1）式检验单位根等价于先验认定被检验过程yt是一个零均值、无趋势项的AR
（1）过程。
因为只有当一个含有单位根的随机过程中不含有确定性变量，那么该过程的均值完全由初始值决定，所以y0=0。
可见，只有在一个过程的均值为零时，使用
（1）式检验单位根才是正确的。
换句话说，如果被检验的过程的均值非零，就应该首先减去这个均值，然后再用
（1）式检验单位根。
但实际中，被检验过程的均值一般是不知道的。
所以，当不知被检验过程的均值是否为零，或不知其初始值y0是否为零时，应该用下式检验单位根。
yt=+yt-1+ut,utIID（0,2）（2.a）
H0：
=1，H1：
<1。
检验统计量DF=
或
yt=+yt-1+ut,utIID（0,2）（2b）
其中=-1。
H0：
=0，H1：
<0。
检验统计量DF=
=
。
其中
和
分别表示和的OLS估计量。
DF检验临界值应从表1第2部分查找。
条件是数据由=1的
（1）式生成，而DF检验式是
（2）式。
注意，估计
（2）式得到的
和DF的分布都不受y0取值的影响。
这一点太重要了。
否则必须先知道y0的值和DF分布才能进行单位根检验。
表1DF分布百分位数表
DF检验式
T
α
0.01
0.025
0.05
0.10
0.90
0.95
0.975
0.99
25
-2.66
-2.26
-1.95
-1.60
0.92
1.33
1.70
2.16
50
-2.62
-2.25
-1.95
-1.61
0.91
1.31
1.66
2.08
（a）
100
-2.60
-2.24
-1.95
-1.61
0.90
1.29
1.64
2.03
检验式
（1）
250
-2.58
-2.23
-1.95
-1.62
0.89
1.29
1.63
2.01
500
-2.58
-2.23
-1.95
-1.62
0.89
1.28
1.62
2.00
-2.58
-2.23
-1.95
-1.62
0.89
1.28
1.62
2.00
25
-3.75
-3.33
-3.00
-2.63
-0.37
0.00
0.34
0.72
50
-3.58
-3.22
-2.93
-2.60
-0.40
-0.03
0.29
0.66
（b）
100
-3.51
-3.17
-2.89
-2.58
-0.42
-0.05
0.26
0.63
检验式
（2）
250
-3.46
-3.14
-2.88
-2.57
-0.42
-0.06
0.24
0.62
500
-3.44
-3.13
-2.87
-2.57
-0.43
-0.07
0.24
0.61
-3.43
-3.12
-2.86
-2.57
-0.44
-0.07
0.23
0.60
25
-4.38
-3.95
-3.60
-3.24
-1.14
-0.80
-0.50
-0.15
50
-4.15
-3.80
-3.50
-3.18
-1.19
-0.87
-0.58
-0.24
（c）
100
-4.04
-3.73
-3.45
-3.15
-1.22
-0.90
-0.62
-0.28
检验式（3）
250
-3.99
-3.69
-3.43
-3.13
-1.23
-0.92
-0.64
-0.31
500
-3.98
-3.68
-3.42
-3.13
-1.24
-0.93
-0.65
-0.32
-3.96
-3.66
-3.41
-3.12
-1.25
-0.94
-0.66
-0.33
t（）
N（0,1）
-2.33
-1.96
-1.65
-1.28
1.28
1.65
1.96
2.33
注：
1.适用于DF检验式
（1）,
（2）和（3）。
T：
样本容量，：
检验水平。
2.d.g.p.是yt=yt-1+ut,utIID（0,2）。
3.摘自Fuller（1976）第373页。
DF检验式
（2）中t（
）的分布见图11。
t（
）不再服从t分布。
可见对的显著性检验也应该用蒙特卡罗模拟结果计算。
T=50条件下，临界值t（
）0.05=-2.57，临界值t（
）0.95=2.51。
图11t（
）统计量分布的蒙特卡罗模拟（T=50，模拟1万次）
当真实的随机过程如
（2）式时，就不能用
（2）式检验单位根了。
因为当=0时，yt是一个随机趋势非平稳过程。
根据的符号（正或负）分别呈向上或向下的固定趋势变化。
当0时，yt是一个以/（-）为均值的平稳过程，不含有趋势分量。
所以这种条件下，用
（2）式检验单位根就没有办法包括零假设和备择假设所有可能结果即不能包括退势平稳过程，
yt=+t+ut（3）
所以有必要在检验式中加入确定性时间趋势项t，即用下式检验单位根。
yt=+t+yt-1+ut,utIID（0,2）（4a）
H0：
=1，H1：
<1。
检验统计量DF=
或
yt=+t+yt-1+ut,utIID（0,2）（4b）
其中=-1。
H0：
=0，H1：
<0。
检验统计量DF=
=
。
其中
和
分别表示和的OLS估计量。
原假设：
=0，=0；
原假设之一：
=0，0（平稳过程）；
原假设之一：
0，0（退势平稳过程）；
DF检验临界值应从表1第3部分查找。
条件是数据由=1的
（1）式生成，而DF检验式是（4）式。
DF检验式（4）中t（
）,t（
）统计量分布的蒙特卡罗模拟结果见图12。
t（
）,t（
）的分布近似相同，但服从的不是t分布，所以不能用通常的t分布临界值做显著性检验。
T=100条件下，临界值t（
）0.05=-2.80，临界值t（
）0.95=2.87；临界值t（
）0.05=-2.89，临界值t（
）0.95=2.66。
图12t（
）,t（
）统计量分布的蒙特卡罗模拟（T=100，模拟1万次）
图13
（1）、
（2）、（4）式中DF分布的蒙特卡罗模拟（T=50，模拟1万次）与正态分布曲线
数据由=1的
（1）式生成，而DF检验式是
（1）、
（2）、（4）的DF分布的蒙特卡罗模拟结果见图13。
从图13和表1都可以看出检验式中随着和t项的加入，相应的DF分布或临界值逐渐向左移，即临界值相应变小。
可见在不正确地使用了缺少和t项的检验式将导致以过大的概率拒绝零假设。
检验式中加入的确定性成分越多，这种情形越严重。
注意：
（4）式中的和DF的分布不受y0和值的影响。
若实际过程是（4）式（同时存在随机趋势和确定性趋势）。
这时应该用带有t2趋势项的检验式检验单位根。
但实际中可以排除这种情形。
因为经济序列在取对数的情况下不可能含有t2的增长趋势。
注意：
也可以对（4）式进行联合检验，H0：
==0。
但所用的F统计量不再服从F分布。
而服从如表2的分布。
对于检验式（4），若=0不能被拒绝，但F检验的零假设==0被拒绝，这意味着0，则yt是一个确定趋势加单位根过程。
这时随机单位根过程完全被确定性趋势t所主导，对应于的DF统计量渐近服从标准正态分布。
这时应该查t分布或标准正态分布临界值表。
表2对（4）式进行联合检验H0：
==0的F分布表
T
1-
0.01
0.025
0.05
0.10
0.90
0.95
0.975
0.99
25
0.76
0.90
1.08
1.33
5.91
7.24
8.65
10.61
50
0.76
0.93
1.11
1.37
5.61
6.73
7.81
9.31
100
0.76
0.94
1.12
1.38
5.47
6.49
7.44
8.73
250
0.76
0.94
1.13
1.39
5.39
6.34
7.25
8.43
500
0.76
0.94
1.13
1.39
5.36
6.30
7.20
8.34
∞
0.77
0.94
1.13
1.39
5.34
6.25
7.16
8.27
s.e.
0.004
0.004
0.003
0.004
0.015
0.020
0.032
0.058
摘自：
Dickey-Fuller（1981）
对于
（2）式也可能发生类似情形。
当=0被接受，F检验的零假设==0被拒绝，这意味着0，于是非平稳单位根过程被随机趋势主导。
对应于的DF统计量渐近服从t分布。
对
（2）式进行联合检验，H0：
==0。
但所用的F统计量不再服从F分布。
实际分布见表3。
表3对
（2）式进行联合检验H0：
==0的F分布表
T
1-
0.01
0.025
0.05
0.10
0.90
0.95
0.975
0.99
25
0.29
0.38
0.49
0.65
4.12
5.18
6.30
7.88
50
0.29
0.39
0.50
0.66
3.94
4.86
5.80
7.06
100
0.29
0.39
0.50
0.67
3.86
4.71
5.57
6.70
250
0.30
0.39
0.51
0.67
3.81
4.63
5.45
6.52
500
0.30
0.39
0.51
0.67
3.79
4.61
5.41
6.47
∞
0.30
0.40
0.51
0.67
3.78
4.59
5.38
6.43
s.e.
0.002
0.002
0.002
0.002
0.01
0.02
0.03
0.05
摘自：
Dickey-Fuller（1981）
注意：
当上述两种F检验的结论是拒绝零假设H0：
==0（对应
（2）式），==0（对应（4）式）时，分别为0，=0；0，=0。
被检验的真实过程和检验式具有了相同的形式（非平稳过程且含有确定性成分）。
此时称检验为准确检验（exacttest），而利用DF统计量临界值的检验称作近似检验（similartest，含义是可以用t统计量检验）。
使用准确检验时有两点需要注意：
（1）只有当待检验d.g.p.中有非零漂移项（或趋势项），而相应DF（ADF）检验式中也含有漂移项（或趋势项）时，DF（ADF）统计量才渐近服从t分布。
比如d.g.p.中不含有趋势项，而相应DF（ADF）检验式中含有趋势项，这意味着应该使用DF分布的临界值。
因为一般不敢保证对DF（ADF）检验式的设定完全与d.g.p.形式吻合，所以在实际中使用DF分布的临界值更安全些。
（2）Banerjee等认为，尽管当DF（ADF）检验式中含有漂移项或（和）趋势项，样本容量T→∞时，使用t分布临界值要好些，但在有限样本条件下，还是使用DF分布的临界值做单位根检验更好些。
（3）当在检验式中不适当地多加一些确定项（如漂移项，趋势项t等），尽管真实的过程是平稳的，DF检验仍将以更大的概率接受原假设（非平稳），导致DF检验功效降低。
（4）因为对于检验式
（1）、
（2）、（4），DF检验临界值越来越向左移，说明检验式中增加确定项，使临界值变得越来越小（绝对值变得越来越大）。
尽管d.g.p.是平稳的，但检验结果却很难拒绝原假设（非平稳）。
（5）尽管增加多余参数会降低检出平稳序列的功效，当被检验过程的真实形式未知时，仍建议用（4）式（尽量多含确定性项）检验单位根。
因为如果检验式中确定项（漂移项或趋势项）不足，将不能把原假设和备择假设的所有情形都包括在假设中。
给出单位根检验顺序如下。
首先从（4）式开始。
若检验结果为拒绝原假设，序列具有平稳性，检验结束。
若不能拒绝原假设，则逐步剔除趋势项和漂移项（即增加约束条件）直至拒绝原假设为止。
若一直不能拒绝原假设，说明原序列是一个非平稳过程。
具体检验步骤见表4。
表4被检验过程（d.g.p.）未知条件下的单位根检验步骤
DF单位根检验式
统计量
说明
1
yt=+t+yt-1+ut
H0：
=0
DF
若拒绝H0，yt为平稳过程。
检验止。
若接受H0，进入下一步，做F检验。
2
yt=+t+yt-1+ut
H0：
==0
F
若拒绝H0，意味着0，yt含时间趋势。
继续做3a式检验。
若接受H0，进一步做3b式检验。
3a
yt=+t+yt-1+ut
H0：
=0
t
若拒绝H0，yt为退势平稳过程。
检验止。
若接受H0，yt为趋势非平稳过程。
检验止。
3b
yt=+yt-1+ut
H0：
=0
DF
若拒绝H0，yt为均值为的平稳过程。
检验止。
若接受H0：
=0，进入下一步检验。
4
yt=+yt-1+ut
H0：
==0
F
若拒绝H0，意味着0，yt为随机趋势非平稳过程。
继续做5a式检验。
若接受H0：
==0，进一步做5b式检验。
5a
yt=+yt-1+ut
H0：
=0
t
若拒绝H0，yt为平稳过程。
检验止。
若接受H0，yt为随机趋势非平稳过程。
检验止。
5b
yt=yt-1+ut
H0：
=0
DF
若拒绝H0，yt为平稳过程。
检验止。
若接受H0，yt为随机游走过程。
检验止。
DF检验流程图如图13。
若拒绝H0
若接受H0
若拒绝H0若拒绝H0
若接受H0
若接受H0
若拒绝H0
若接受H0
若拒绝H0若拒绝H0
若接受H0若接受H0
若拒绝H0
若接受H0
图13单位根检验流程图
3．ADF检验
如果被检验的真实过程是一个AR（
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