高中数学直线与圆锥曲线位置关系专题比值问题练习试题.docx

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高中数学直线与圆锥曲线位置关系专题比值问题练习试题

直线与圆锥曲线位置关系专题

——“比值”问题

例1．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆Ω，它的离心率为

，一个焦点和抛物线y2=-4x的焦点重合，过直线l：

x=4上一点M引椭圆Ω的两条切线，切点分别是A，B．

（Ⅰ）求椭圆Ω的方程；

（Ⅱ）若在椭圆

+

=1（a＞b＞0）上的点（x0，y0）处的椭圆的切线方程是

+

=1．求证：

直线AB恒过定点C，并出求定点C的坐标；

（Ⅲ）是否存在实数λ，使得|AC|+|BC|=λ|AC|·|BC|恒成立？

（点C为直线AB恒过的定点），若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由。

【解析】（I）设椭圆方程为

。

抛物线

的焦点是

，故

，又

，所以

，

所以所求的椭圆

方程为

…………………………4分

（II）设切点坐标为

直线

上一点M的坐标

。

则切线方程分别为

，

。

又两切线均过点M，即

，即

点A,B的坐标都适合方程

，而两点之间确定唯一的一条直线，故直线AB的方程是

，显然对任意实数t，点（1,0）都适合这个方程，故直线AB恒过定点

。

…………………………………………………………………………9分

（III）将直线AB的方程

，代入椭圆方程，得

，即

所以

不妨设

，同理

………12分

所以

即

。

故存在实数

，使

得

。

……………………………15分

例2．已知三点O（0，0），A（-2，1），B（2，1），曲线C上任意一点M（x，y）满足|

+

|=

·（

+

）+2．

（1）求曲线C的方程；

（2）动点Q（x0，y0）（-2＜x0＜2）在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为l．问：

是否存在定点P（0，t）（t＜0），使得l与PA，PB都相交，交点分别为D，E，且△QAB与△PDE的面积之比是常数？

若存在，求t的值．若不存在，说明理由．

练习：

1．设椭圆

的左、右顶点分别为

、

，点

在椭圆上且异于

、

两点，

为坐标原点.

（1）若直线

与

的斜率之积为

，求椭圆的离心率；

（2）对于由

（1）得到的椭圆

，过点

的直线

交

轴于点

，交

轴于点

，若

，求直线

的斜率.

（2）由题意知直线

的斜率存在.…………7分

设直线

的斜率为

直线

的方程为

…………8分

则有

，

设

，由于

三点共线，且

根据题意，得

…………9分

解得

或

…………11分

又点

在椭圆上，又由

（1）知椭圆

的方程为

[来源:

学,科,网Z,X,X,K]

所以

…………

或

…………

由

解得

，即

此时点

与椭圆左端点

重合,

舍去;…………12分

由

解得

，即

…………13分

直线直线

的斜率

.…………14分

2.（21）（本小题满分12分）

如图，已知椭圆

的离心率为

，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点

为顶点的三角形的周长为

.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设

为该双曲线上异于顶点的任一点，直线

和

与椭圆的交点分别为

和

.

（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；

（Ⅱ）设直线

、

的斜率分别为

、

，证明

；

（Ⅲ）是否存在常数

，使得

恒成立？

若存在，求

的值；若不存在，请说明理由.

【解析】（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为

，得

，又

，所以可解得

，

，所以

，所以椭圆的标准方程为

；所以椭圆的焦点坐标为（

，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为

。

3.（2011年高考湖南卷理科21）（本小题满分13分）如图7，椭圆

的离心率为

，

轴被曲线

截得的线段长等于

的长半轴长.

求

，

的方程；

设

与

轴的交点为

，过坐标原点

的直线

与

相交于点

，

，直线

，

分别与

相交于点

，

.

（ⅰ）证明：

;

（ⅱ）记

的面积分别为

，问：

是否存在直线

，使得

？

请说明理由.

解：

由题意知

，从而

，又

，解得

，故

，

的方程分别为

，

（ⅰ）由题意知，直线

的斜率存在，设为

，则直线

的方程为

由

得

设

，

，则

是上述方程的两个实根，于是

又点

，所以

故

即

因此

由题意知，

，解得

或

又由点

的坐标可知，

所以

故满足条件的直线

存在，且有两条，其方程分别为

和

4.（2010北京理数）（19）（本小题共14分

在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于

.

（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；

（Ⅱ）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：

是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

（I）解：

因为点B与A

关于原点

对称，所以点

得坐标为

.

设点

的坐标为

由题意得

化简得

.

故动点

的轨迹方程为

（II）解法一：

设点

的坐标为

，点

，

得坐标分别为

.

则直线

的方程为

，直线

的方程为

令

得

，

.

于是

得面积

又直线

的方程为

，

，

点

到直线

的距离

.

于是

的面积

当

时，得

又

，

所以

=

，解得

。

因为

，所以

故存在点

使得

与

的面积相等，此时点

的坐标为

.

解法二：

若存在点

使得

与

的面积相等，设点

的坐标为

则

.

因为

所以

所以

即

，解得

因为

，所以

故存在点

S使得

与

的面积相等，此时点

的坐标为

.