高中数学评优课圆与圆的位置关系教学设计.docx
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高中数学评优课圆与圆的位置关系教学设计
2014年第七届高中青年数学教师优秀课展示课例——
圆与圆的位置关系
教学设计
学校:
深圳市深圳中学
教师:
张建强
圆与圆的位置关系
授课教师:
张建强(广东深圳中学)
本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实习教科书(A版)数学必修2第四章4.2.2《圆与圆的位置关系》是第1课时.
教学内容分析
1、《圆》的地位与作用
《课程标准》指出:
在“解析几何初步”这个单元,“学生将在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程,运用代数方法研究几何性质,体会数形结合的思想”。
第四章《圆》是在学生学习了第三章《直线方程》之后,对“解析法”的思想的进一步学习。
初中的教学中已经初步介绍了圆的基础知识,再次学习的时候,不仅要让学生能够使用“解析法“的工具,更要体会这种方法的优越性和必要性。
2、本节课的地位与作用
“圆与圆的位置关系”位于“解析几何初步”这个单元的末尾,应该起到三个作用:
(1)完善圆的知识体系;
(2)升华数形结合思想;
(3)为后续教学做准备。
教学目标设置
1.学生掌握判断两个圆的位置关系的方法,能够根据给定的圆的方程判断圆与圆的位置关系
2.学生理解两种判断方法的数学本质与不同的适用范围,从而进一步感受“几何问题代数化”得以
实现的数学本质,也就是曲线与方程的关系。
其中教学的重点是:
圆与圆的位置关系的两种判定方法的操作步骤;教学的难点是:
两种判断方法的数学本质与适用范围
学生学情分析
此时的学生处于从初中到高中的转型期,常常感觉旧的学习方法不适于学习更加抽象的高中知识,所以,他们不仅需要透彻理解数学原理,而且,对学习方法也有渴求。
在本节课之前,学生已经学习了直线和圆的方程,直线与圆的位置关系,初步了解了“坐标法”的特征。
教学策略分析
为了实现教学目标,我设计了“三层四段五问”教学模式。
1、准备阶段,包括预习、复习、目标展示等环节;
2、探究阶段。
这是课堂的主体,解决是什么、怎么用、何时用的问题。
3、运用阶段,包括模仿练习、比较练习、巩固练习等。
我将它们穿插在问题解决的过程中。
4、建构阶段,包括为什么学和怎样发展两个问题,使得新知识融入旧的知识体系,并促进知识体系的再生长。
“是什么、怎么用、何时用、为什么学和怎样发展”等五个问题,对应着数学知识学习的三个层次:
数学工具品质、认知品质和研究品质。
这样,可以使得不同水平的学生均能有所收获。
教学流程框图
本节课希望以清晰的脉络,让学生体会知识产生发展的过程,逐步培养适合新知识的学习方式。
教学的主要过程设计如下:
(一)预习候课
(二)概念复习
(三)明确任务
复习引入阶段
第一部分:
怎么用
(一)怎样判断两圆关系?
策略一:
d-r比较法
(二)怎样判断两圆关系?
策略二:
联立方程法
(三)强化练习
第二部分:
何时用
(四)两种策略比较
(五)核心思想深化
(六)逆向练习
问题解决阶段
(一)为什么再次学习“圆与圆的位置关系“?
(二)学完了这节课之后,你还能提出哪些与两圆位置关系相关的新问题?
(三)布置作业
问题生成阶段
教学过程设计
第一阶段——复习引入阶段(计划用时4分钟)
分为四个步骤:
(一)侯课阶段、
(二)概念复习、(三)明确任务
预计时间
教学内容
教师活动
学生活动
教学评价
0分钟
预习候课
操作:
展示本节课题和课前预习问题:
1、圆与圆的位置关系有哪几种情况?
你还记得初中课本中是如何定义的吗?
2、通过学习课本中例题3,归纳利用两种方法判断圆与圆的位置关系的步骤。
3、回答例3旁注中的问题“两圆方程作差之后的直线有什么特征?
为什么?
”
1、预知教学内容,逐渐进入教学状态。
2、准备与本节课相关的教材及其它工具。
我们经常见到当老师开始上课后,学生才匆匆忙忙寻找相关书籍或作业的情景。
所以,在侯课阶段,屏幕上投影一些暗示教学内容的材料,会有很好的效果。
3分钟
概念复习
1、导言:
今天我们学习的内容是圆与圆的位置关系。
那么,圆与圆的位置关系一共有多少种呢?
(学生齐答:
五种)
在自学作业中,同学们已经归纳了位置关系,我选择两个同学的作业来展示。
2、操作:
展示两名学生对自学问题1(圆与圆的位置关系有哪几种情况?
你还记得初中课本中是如何定义的吗?
)的回答。
3、点评:
第一名同学不仅给出了位置关系分类,而且画出了示意图。
但是,在名称中有一处错误,同学们看出来了吗?
此外,第一名同学给出的定义实际上是判定方法,而第二名同学的定义才与教材相符。
4、操作:
展示初中教材内容以及思维导图,教师进行讲解。
1、展示预习作业,回忆两圆位置关系的定义
2、发现屏幕中投影的作业中存在的问题,完善“相离包含外离和内含”这一认识。
通过展示作业发现学生中存在的问题,使得讲解更有针对性;利用初中的知识创造先行组织者,也为课堂后期的对比打下伏笔。
1分钟
明确任务
1、导言:
今天,我们再一次来学习圆于圆的位置关系,我想重点说明三个问题:
第一个,怎样判断位置关系;第二个,不同判断方法的本质与适用范围;第三个,我们为什么要再次学习两个圆的位置关系?
2、操作:
投影本节课的教学任务。
感知本节课的教学内容
由于本节课的内容学生初中学过,又经过了课前预习,学生很可能自我感觉良好,产生倦怠情绪。
这时,明确告诉学生这节课要讲什么,他会意识到,原来还有这么多问题我们没有想到啊。
第二阶段——问题解决阶段(计划用时34分钟)
第一部分:
怎么用
分为三个步骤:
(一)怎样判断两圆关系?
策略一:
d-r比较法
(二)怎样判断两圆关系?
策略二:
联立方程法(三)强化练习
预计时间
教学内容
教师活动
学生活动
教学评价
8分钟
怎样判断两圆关系?
策略一
1、导言:
首先,我们来探索怎样判断两个圆的位置关系。
教材中仅仅有一个例题,讲了两种方法。
同学们在自学作业中也进行了归纳。
这两种判断方法各是怎样的呢?
2、操作:
展现例题
(教材例3)已知圆
,圆
。
试判断圆
和圆
的位置关系。
3、操作:
展现两名学生对自学问题2(通过学习课本中例题3,归纳利用两种方法判断圆与圆的位置关系的步骤。
)的回答。
4、点评:
我能感受到同学们基本掌握了判断两圆位置关系的方法,但是,如果更加条理分明一些是不是更好呢?
5、操作:
展示“d-r比较法”的解答步骤,并实际板演解题过程。
在此过程中,特别要讲解如何比较
的大小关系,否则,会有一些学生明明知道如何判断,却不能得出最后结果。
方法1:
平方比较
方法2:
中间值比较
(注意到
而
)
5、归纳:
与学生共同归纳出利用“d-r比较法”的解题流程。
6、操作:
利用《几何画板》直观演示不同的关系,列表展示其判断条件。
与教师共同归纳利用“d-r比较法”的解题流程
第一步:
化成标准形式
第二步:
计算圆心距离d以及
第三步:
比较d与
的关系
通过“展现学生解答——展现教师解答——共同总结归纳——动态演示”等环节,帮助学生牢固的掌握知识技能。
归纳简洁的判断流程,就可以加强教学效果,又可以为不久之后要学习的“算法”埋下伏笔。
8分钟
怎样判断两圆关系?
策略二
1、导言:
我们又学了一种方法,称为”联立方程法“。
怎么操做呢?
2、操作:
板演利用“联立方程法”的解题过程,并指导学生重新归纳解答步骤。
3、点评:
教师总结解答步骤。
第一步,联立方程。
这时,我们对比“d-r比较法”。
我们为了方程好解,是不是一般方程更好一些呀?
而曾经的时候,为了得到圆心和半径,
我们化成标准式。
第二步,消元变成关于x或y的方程。
怎么消元呢?
要看具体情况来做了。
变成了一个方程之后,第三步,我们开始判断根的个数。
有时可以解出来,解不出来时可以用判别式来判断
3、导言:
现在,我们想一个深层次的问题,联立方程法的原理是什么?
它本来是一个几何问题,结果变成了一个方程的问题,这种思想叫什么?
(学生齐答:
数形结合!
)
要研究的是两个圆的交点,而我们却把它变成了两个方程的解,交点的个数就等价于解的个数。
这个过程,就是把几何问题代数化这是整个解析几何的基础
4、板书:
独立归纳利用“联立方程法”的解题流程。
学生可能的归纳如下:
第一步:
联立方程;
第二步:
消元解方程。
在上一步共同归纳的基础上,由学生独立完成解题流程的归纳,可以锻炼学生的总结分析能力。
3分钟
强化练习
1、导言:
我们把例题的两种解法都学完了之后,需要大家去训练,学会这些方法。
下面看练习1,要求大家用两种方法完成这道目。
2、操作:
投影练习1,指导学生用两种方法解决。
已知圆
,圆
,试判断圆
和圆
的位置关系。
2、操作:
投影展示两名学生的解答过程。
3、点评:
指出学生解答的优点与不足。
学生自主完成强化练习。
这两种方法的讲解都是用传统的“演示——归纳——练习”模式,保证所有学生掌握两种判断方法。
归纳简洁的判断流程,就可以加强教学效果,又可以为不久之后要学习的“算法”埋下伏笔。
第二部分:
何时用
分为三个步骤:
(一)两种策略比较
(二)核心思想深化(三)逆向练习
预计时间
教学内容
教师活动
学生活动
教学评价
6分钟
两种策略对比
1、导言:
这两种方法学完了,在操作实践的基础上,我想问大家一个问题。
这两种方法,哪个更好一些呢?
(学生议论纷纷)
好,争论暂时停一下吧。
到底哪个更好呢?
我想如果有更多的经验更好一些
所以,咱们再来完成两个题目。
当你把这两道题做完之后,先独立思考一下,三分钟之后,同学们可以互相交流一下自己的想法。
2、操作:
展示两个练习。
练习2、已知曲线
与曲线
。
试判断有几个交点。
练习3、已知曲线
与曲线
。
试判断有几个交点
3、操作:
教师结合学生发言,展示上述两题的示意图与解答。
4、归纳:
利用表格形式,展示两种策略的适用范围及判断方法。
5、点评:
判断什么好什么坏是辩证的,没有一个万能的方法解决所有的问题,我们要具体问题具体分析。
针对这节课来讲,我们判断的是圆与圆的位置关系,还是用第一种方法,“d-r比较法”更好一些。
之所以“d-r比较法”看起来更好一些,是由于圆自身的完全对称性;而“联立方程法”在判断其他曲线的位置关系时更有普遍性。
1、自主完成两个练习。
2、小组交流对两种策略的比较。
3、小组代表发言,阐述观点
“一题多解”是锻炼学生发散思维的一种有效手段,但是,之后的“多解归一”更重要。
“归一”常有两种方式,一是比较不同方法的特征,从中选择一种最佳的;二是从中寻找这些方法的共同本质,加深学生的认识。
6分钟
核心思想深化
1、导言:
利用“联立方程法”,还有一个附加的产品。
我们看自学作业中的问题3:
“两圆方程作差之后的直线有什么特征?
为什么?
”
2、操作:
展示两名同学的回答。
3、点评:
回答的关键是“符合两圆方程的点的坐标必然符合直线方程”。
两圆交点代数化后是方程的解,如果这个方程的解符合直线方程,则说明直线方程过两点。
这节课一直在进行代数问题和几何问题的转换。
这不就是数形结合的思想吗?
4、操作:
证明两圆方程作差之后的直线方程就是相交弦所在直线方程
5、板书:
完善课前预习问题3的回答,体会数与形相互转化的过程。
这一部分既解决了教材中提出的问题,又体现了“多解归一”的第二种方式:
从中寻找这些方法的共同本质。
3分钟
逆向训练
1、导言:
经过比较我们已经知道,用“d-r比较法”比用“联立方程法”对圆来讲更适合一些。
所以,既然我们选它就要用好它。
第二组练习都是已知了它们的关系或者说能判断出关系,反过来求参数的取值范围
2、操作:
要求学生完成两个巩固性的逆向训练:
练习4:
集合
,
,其中
,若
中有且仅有一个元素,则
的值是_____.
练习5:
已知圆
与
没有公共点,求正数a的取值范围。
3、操作:
教师点名选择两名同学回答,要求说出结果和简要思维过程。
注意,每道题都是两种情况。
练习4答案,
;练习5答案,
。
1、自主完成练习
2、回答结果和思维过程
学生通过这两个练习,在已经学会了判断两圆关系的基础上,从逆向掌握“已知两圆关系,求参数“的问题。
同时,强化了严密的思维习惯。
第三阶段——问题生成阶段(计划用时7分钟)
分为三个步骤:
(一)为什么再次学习“圆与圆的位置关系“?
(二)学完了这节课之后,你还能提出哪些与两圆位置关系相关的新问题?
(三)布置作业
预计时间
教学内容
教师活动
学生活动
教学评价
3分钟
再次学习的原因
1、导言:
初中我们已经学过了圆与圆的位置关系,那么,高中为什么要在学一次呢?
请结合本节课乃至本章的学习,谈谈你的观点。
2、操作:
引导学生举手回答问题。
3、点评:
初中学习两圆位置关系,注重的是直观特征;高中再次学习,是在引入坐标系的基础上,侧重于量的的计算。
从这个意义上说,我们今天所学的d-r比较法与联立方程的方法本质上是同一种方法——坐标法。
利用坐标法研究几何问题,不仅仅是一种看起来“高大上”的手段,而且,它确实能够起到细致入微的作用。
这再一次证明了华罗庚先生的名言:
“数缺形时少直观,形少数时难入微。
数形结合百般好,隔离分家万事休。
“
思考并表达个人观点。
这部分内容可以起到很好的分层教学的效果。
确实有一些学生,不满足于仅仅会做题,而希望清楚地知道知识的来龙去脉;教师所能做的,就是通过自己的引领示范,让这样的学生不断增多。
同时,这部分起到了小结的作用,但比传统的小结更能吸引学生。
此外,“日全食”的例子再次出现,具有前后呼应的效果。
3分钟
提出新问题
1、导言:
这节课我们学习了利用“d-r比较法”和“联立方程法“判断两个圆的位置关系的方法。
接下来的时间交给同学们,你还能提出哪些与两圆位置关系相关的新问题?
2、操作:
提供给学生样例
例如:
相交弦的长度怎样求?
例题:
已知圆
,圆
。
求两圆相交所得弦的长度。
3、预案:
(1)对于学生提出的“怎样求相离两圆的最近距离”这类基础性的问题以及“怎样求两个圆的公切线方程”这类综合性的问题,都可作为研究型的作业,要求学生合作完成。
(2)可能有同学提出“若两个不相交的圆的方程相减,所得是什么?
”这是非常漂亮的问题,但是解决方法已经超出了《课程标准》的要求,教师应建议有兴趣的同学在课下利用网络搜索“圆的根轴”。
同时,可以对学生进行态度与价值观引导:
“提出问题比解决问题更重要,质疑与创新才是一个民族不断进步的核心动力!
”
(3)如果学生提出问题较少,可以让学生短暂展示教师整理得的知识体系。
积极提出与两圆位置关系相关的新问题。
让学生提出问题,可以锻炼他们的发散思维和类比思维能力,也对培养学生的研究精神有益。
同时,我想潜移默化的告诉学生:
任何一节课都不是知识的结束,而是一个新的开始。
1分钟
布置作业
独立作业:
习题4.2A组第4、9、10、11题,B组第5题
合作作业:
整理与两圆位置关系相关的题目类型,并编写例题,探索解决策略。
板书设计
标题
投影区
解答区1
解答区2
演算区