高三入学定位考试数学文试题含答案doc.docx
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高三入学定位考试数学文试题含答案doc
2019-2020年高三入学定位考试数学文试题含答案
一、选择题：
本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知集合
，
，则
（）
A．
B．
C．
D．
2.已知复数
满足
，则
（）
A．
B．
C．
D．
3.执行如图所示的程序框图，输出的
值为（）
A．12B．20C．40D．70
4.下列函数中，在区间
上为减函数的是（）
A．
B．
C．
D．
5.已知圆
与直线
有两个交点，则正实数
的值可以为（）
A．
B．
C．1D．
6.已知数列
，则“
为等比数列”是“
”的（）
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
7.已知实数
，满足
，则
的最小值为（）
A．8B．16C．32D．64
8.已知函数
其中
的公约数只有1，在下列结论中：
①
；②
；
③
，
；④
，
；
A．①③B．①④C．①③④D．②③④
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题：
共6小题，每题5分，共30分.
9.已知向量
，
，
，若
，则
_____.
10.下图中的三个直角三角形是一个体积为20
几何体的三视图，则
_______
.
11.设
的内角
所对的边分别为
，若
，则
的度数为______.
12.已知双曲线
的离心率为2，此双曲线的一个焦点坐标为（4,0），则
______；
________.
13.已知如下六个函数：
，
，
，
，
，
，从中选出两个函数记为
和
，若
的图像如上图所示，则
____.
14.网上购鞋常常看到这样一张脚的长度与鞋号的对照表，第一行可以理解为脚的长度，第二行是我们习惯称呼的“鞋号”.
从上述表格中可以推算出30号的童鞋对应的脚的长度为____；若一个篮球运动员的脚长为282
，则他该传_____号的鞋.
三、解答题：
本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知数列
是等比数列，满足
，
，数列
是等差数列，满足
，
.
（Ⅰ）求数列
和
的通项公式；
（Ⅱ）设
，求数列
的前
项和.
16.（本小题满分13分）
已知函数
.
（Ⅰ）求函数
的最小正周期；
（Ⅱ）求函数
的最大值及
取最大值时
的集合.
17.某市为鼓励居民节约用电，将实行阶梯电价，该市每户居民每月用电量划分为三档，电价实行分档递增.
第一档电量：
用电量不超过200千瓦时，电价标准为0.5元/千瓦时；
第二档电量：
用电量超过200但不超过400千瓦时，超出第一档电量的部分，电价标准比第一档电价提高0.1元/千瓦时；
第三档电量：
用电量超过400千瓦时，超出第二档电量的部分，电价标准比第一档电价提高0.3元/千瓦时.
随机调查了该市1000户居民，获得了他们某月的用电量数据，整理得到如下的频率分布表：
（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出
的值；
（Ⅱ）从该市调查的1000户居民中随机抽取一户居民，求该户居民用电量不超过300千瓦时的概率；
（Ⅲ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，试估计该市每户居民该月的平均电费.
18.（本小题满分14分）
如图，在四棱锥
中，底面
是矩形，
，
，
是棱
的中点.
（Ⅰ）求证：
平面
平面
；
（Ⅱ）求证：
平面
；
（Ⅲ）在棱
上是否存在动点
，使得
平面
?
并说明理由.
19.（本小题满分14分）
已知椭圆
的离心率为
，右焦点
，
是椭圆上关于
轴对称的两点.
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）已知
，若
与
相交于点
，证明：
点
在椭圆
上.
20.（本小题满分13分）
已知函数
.
（Ⅰ）当
时，
有极小值，求
的值；
（Ⅱ）若过点
只有一条直线与曲线
相切，求
的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，判断过点
，
，
分别存在几条直线与曲线
相切.（只需写出结论）
北京市2016-2017学年高三年级入学定位考试
数学（文科）参考答案及评分标准
一、选择题：
共8小题，每小题5分，共40分.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
二、填空题：
共6小题，每小题5分，共30分.
9.-110.411.90°12.2，
13.
14.
47
三、解答题：
共6小题，共80分.
15.（本小题满分13分）
解：
（Ⅰ）设等比数列
的公比为
，由题意，得
，………………………………2分
解得
.……………………………………………………………………………………………………3分
所以
.……………………………………………………………………4分
所以
．…………………………………………………………………………………………………5分
所以
.………………………………………………………… 8分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，
，
因此
.
从而数列
的前
项和
…………………………………………………………9分
……………………………………………………………………………………11分
……………………………………………………………………………………12分
．……………………………………………………………………………………13分
16.（本小题满分13分）
解：
（Ⅰ）
，……………………… 5分
所以函数
的最小正周期为
．………………………………………………………… 7分
（Ⅱ）当
，即
，
时，
有最大值
，…………………11分
取最大值
时
的集合为
.……………………………………………13分
17.（本小题满分13分）
解：
（Ⅰ）
，
，
.………………………………………………………………………3分
（Ⅱ）设“该户居民月用电量不超过300千瓦时”为事件
.……………………………………………4分
由表可知：
共调查了1000户居民，用电量不超过300千瓦时的有200+400+200=800户，用电量超过300千瓦时的有100+100=200户，
所以该居民月用电量不超过300千瓦时的概率
.…………………………………………8分
（Ⅲ）由用电量的频率分布表和题意，得居民该月用电费用的数据分组与频率分布表：
根据题意，该市每户居民该月的平均电费为：
（元）……………………………………13分
18.（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：
在矩形
中，
.………………………………………………………………1分
又∵
且
，
∴
平面
.……………………………………………………………………………………………3分
又∵
平面
，
∴平面
平面
.…………………………………………………………………………………4分
（Ⅱ）证明：
在
中，
，
是棱
的中点，∴
.…………………………5分
由（Ⅰ）知
平面
，∴
.………………………………………………………………7分
又∵
，∴
平面
.………………………………………………………………8分
（Ⅲ）解：
在棱
上存在点
，使得
平面
，此时
为
的中点.………………………10分
证明如下：
取
中点
，连接
.…………………………………………………………………………………11分
在矩形
中，
，
，
所以四边形
为平行四边形，∴
.…………………………………………………………13分
又∵
平面
，
平面
，所以
平面
.…………………………………………………………………14分
19.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：
由已知，得
…………………………………………………………………………3分
解得
，
，…………………………………………………………………………………………5分
因此椭圆
的方程为
.……………………………………………………………………………6分
（Ⅱ）证明：
根据题意可设
的坐标分别为
，
则
直线
的方程为
，①
直线
的方程为
.②……………………………………………………………………8分
联立①②解得
，
，即
.………………………………………11分
由
，可得
.
因为
，
所以点
坐标满足椭圆
的方程，即点
在椭圆
上.…………………………………………………14分
20.（本小题满分13分）
解：
（Ⅰ）由
得
.………………………………………………………………1分
根据题意
，解得
.………………………………………………………………………………2分
此时
．
令
，解得
或
.
当时
时，
，
在
上单调递减，
当
时，
，
在
上单调递增，
符合当
时，
有极小值，因此
.………………………………………………………………4分
（Ⅱ）设过点
的直线与曲线
相切于点
，
则
，且切线斜率为
，
所以切线方程为
.
因此
，
整理得
.…………………………………………………………………………………6分
设
，
则“过点
只有一条直线与曲线
相切”等价于“
只有一个零点”.
.
当
变化时，
与
的变化情况如下：
所以，
是
的极大值，
是
的极小值.………………………………………8分
当
只有一个零点时，有
或
，解得
或
.
因此当过点
只有一条直线与曲线
相切时，
的取值范围是
或
.………………………………………………………………………………10分
（Ⅲ）过点
存在1条直线与曲线
相切；
过点
存在3条直线与曲线
相切；
过点
存在2条直线与曲线
相切.………………………………………………………13分
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