∴1-5m2>0
∴且m≠0
∴
评注：
利用双曲线的定义找到点P轨迹是重要一步，当题目条件有等量关系时，一般考虑利用函数思想，建立函数关系式。
例4、已知x2+y2=1，双曲线（x-1）2-y2=1，直线同时满足下列两个条件：
①与双曲线交于不同两点；②与圆相切，且切点是直线与双曲线相交所得弦的中点。
求直线方程。
解题思路分析：
选择适当的直线方程形式，把条件“是圆的切线”“切点M是弦AB中点”翻译为关于参数的方程组。
法一：
当斜率不存在时，x=-1满足；
当斜率存在时，设：
y=kx+b
与⊙O相切，设切点为M，则|OM|=1
∴
∴b2=k2+1①
由得：
（1-k2）x2-2（1+kb）x-b2=0
当k≠±1且△>0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），则中点M（x0，y0），
∴y0=kx0+b=
∵M在⊙O上
∴x02+y02=1
∴（1+kb）2+（k+b）2=（1-k2）2②
由①②得：
或
∴：
或
法二：
设M（x0，y0），则切线AB方程x0x+y0y=1
当y0=0时，x0=±1，显然只有x=-1满足；
当y0≠0时，
代入（x-1）2-y2=1得：
（y02-x02）x2+2（x0-y0）2x-1=0
∵y02+x02=1
∴可进一步化简方程为：
（1-2x02）x2+2（x02+x0-1）x-1=0
由中点坐标公式及韦达定理得：
∴
即2x03-x02-2x0+1=0
解之得：
x0=±1（舍），x0=
∴y0=。
下略
评注：
不管是设定何种参数，都必须将形的两个条件（“相切”和“中点”）转化为关于参数的方程组，所以提高阅读能力，准确领会题意，抓住关键信息是基础而又重要的一步。
例5、A、B是抛物线y2=2px（p>0）上的两点，且OA⊥OB，
（1）求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；
（2）求证：
直线AB过定点；
（3）求弦AB中点P的轨迹方程；
（4）求△AOB面积的最小值；
（5）O在AB上的射影M轨迹方程。
解题思路分析：
设A（x1,y1），B（x2,y2），中点P（x0,y0）
（1）
∵OA⊥OB
∴kOAkOB=-1
∴x1x2+y1y2=0
∵y12=2px1，y22=2px2
∴
∵y1≠0，y2≠0
∴y1y2=-4p2
∴x1x2=4p2
（2）∵y12=2px1，y22=2px2
∴（y1-y2）（y1+y2）=2p（x1-x2）
∴
∴
∴直线AB：
∴
∴
∵
∴
∴
∴AB过定点（2p，0），设M（2p，0）
（3）设OA∶y=kx，代入y2=2px得：
x=0，x=
∴A（）
同理，以代k得B（2pk2，-2pk）
∴
∵
∴
即y02=px0-2p2
∴中点M轨迹方程y2=px-2p2
（4）
≥
当且仅当|y1|=|y2|=2p时，等号成立
评注：
充分利用
（1）的结论。
（5）法一：
设H（x3,y3），则
∴
∴AB：
即代入y2=2p得
由
（1）知，y1y2=-4p2
∴
整理得：
x32+y32-2px3=0
∴点H轨迹方程为x2+y2-4x=0（去掉（0，0））
法二：
∵∠OHM=900，又由
（2）知OM为定线段
∴H在以OM为直径的圆上
∴点H轨迹方程为（x-p）2+y2=p2，去掉（0，0）
例6、设双曲线上两点A、B，AB中点M（1，2）
（1）求直线AB方程；
（2）如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点，那么A、B、C、D是否共圆，为什么？
解题思路分析：
（1）法一：
显然AB斜率存在
设AB：
y-2=k（x-1）
由
得：
（2-k2）x2-2k（2-k）x-k2+4k-6=0
当△>0时，设A（x1,y1），B（x2,y2）
则
∴k=1，满足△>0
∴直线AB：
y=x+1
法二：
设A（x1,y1），B（x2,y2）
则
两式相减得：
（x1-x2）（x1+x2）=（y1-y2）（y1+y2）
∵x1≠x2
∴
∴
∴AB：
y=x+1
代入得：
△>0
评注：
法一为韦达定理法，法二称为点差法，当涉及到弦的中点时，常用这两种途径处理。
在利用点差法时，必须检验条件△>0是否成立。
（2）此类探索性命题通常肯定满足条件的结论存在，然后求出该结论，并检验是否满足所有条件。
本题应着重分析圆的几何性质，以定圆心和定半径这两定为中心
设A、B、C、D共圆于⊙OM，因AB为弦，故M在AB垂直平分线即CD上；又CD为弦，故圆心M为CD中点。
因此只需证CD中点M满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|
由
得：
A（-1，0），B（3，4）
又CD方程：
y=-x+3
由
得：
x2+6x-11=0
设C（x3,y3），D（x4,y4），CD中点M（x0,y0）
则
∴M（-3，6）
∴|MC|=|MD|=|CD|=
又|MA|=|MB|=
∴|MA|=|MB|=|MC|=|MD|
∴A、B、C、D在以CD中点，M（-3，6）为圆心，为半径的圆上
评注：
充分分析平面图形的几何性质可以使解题思路更清晰，在复习中必须引起足够重视。
五、同步练习
（一）选择题
1、方程
表示的曲线是
A、椭圆B、双曲线C、抛物线D、不能确定
2、把椭圆绕它的左焦点顺时针方向旋转，则所得新椭圆的准线方程是
A、B、C、D、
3、方程的曲线形状是
A、圆B、直线C、圆或直线D、圆或两射线
4、F1、F2是椭圆（a>b>0）的两焦点，过F1的弦AB与F2组成等腰直角三角形ABF2，其中∠BAF2=900，则椭圆的离心率是
A、B、C、D、
5、若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则它的半焦距C的取值范围是
A、（0，1）B、（1，2）C、（1，+∞）D、与m有关
6、以抛物线y2=2px（p>0）的焦半径|PF|为直径的圆与y轴位置关系是
A、相交B、相切C、相离D、以上三种均有可能
7、直线y=kx-2交抛物线y2=8x于A、B两点，若AB中点横坐标为2，则|AB|为
A、B、C、D、
8、已知圆x2+y2=1，点A（1，0），△ABC内接于圆，∠BAC=600，当BC在圆上运动时，BC中点的轨迹方程是
A、x2+y2=B、x2+y2=C、x2+y2=D、x2+y2=
填空题
9、已知A（4，0），B（2，2）是椭圆内的点，M是椭圆上的动点，则|MA|+|MB|的最大值是____________。
10、椭圆的离心率为，则a=__________。
11、高5米和3m的旗竿在水平地面上，如果把两旗竿底部的坐标分别定为A（-5，0），B（5，0），则地面上杆顶仰角相等的点的轨迹是__________。
12、若x，y∈R,且3x2+2y2=6，则x2+y2最大值是________，最小值是________。
13、抛物线y2=2x上到直线x-y+3=0距离最短的点的坐标为__________。
（三）解答题
14、求以达原点与圆x2+y2-4x+3=0相切的两直线为渐近线且过椭圆4x2+y2=4两焦点的双曲线方程。
15、已知P（x，y）为平面上的动点且x≥0，若P到y轴距离比到点（1，0）距离小1
（1）求点P轨迹C的方程；
（2）设过M（m，0）的直线交双曲线C于A、B两点，问是否存在这样的m，使得以线段AB为直径的圆恒过原点。
16、设抛物线y2=4ax（a>0）的焦点为A，以B（a+4，0）为圆心，|BA|为半径，在x轴上方画圆，设抛物线与半圆交于不同两点M、N，点P是MN中点
（1）求|AM|+|AN|的值；
（2）是否存在这样的实数a，恰使|AM|，|AP|，|AN|成等差数列？
若存在，求出a；若不存在，说明理由。
17、设椭圆中心为0，一个焦点F（0，1），长轴和短轴长度之比为t
（1）求椭圆方程；
（2）设过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分交点为Q，点P在该直线上，且，当t变化时，求点P轨迹。
18、已知抛物线y2=2px（p>0），过动点M（a，0）且斜率为1的直线与该抛物线交于不同两点A、B，|AB|≤2p，
（1）求a取值范围；
（2）若线段AB垂直平分线交x同于点N，求△NAB面积的最大值。
[参考答案]
（一）选择题
1、A2、A3、D4、B5、C6、B7、D8、D
（二）填空题
9、10、或11、圆，12、3，2
13、，1）
（三）解答题
14、
15、
（1）y2=4x
（2）0，4
16、
（1）8
（2）不存在
17、
（1）
（2）抛物线的部分弧，，
18、
（1）
（2）
2019-2020年高二数学圆锥曲线方程教案人教版
一、知识框架
二、重点难点
重点：
椭圆的定义及相关概念，椭圆的标准方程，椭圆的几何性质；双曲线的定义及相关概念，双曲线的标准方程，双曲线的几何性质，等轴双曲线与共轭双曲线的定义；抛物线的定义及圆锥曲线的统一定义，抛物线的标准方程，抛物线的几何性质；
难点:
利用椭圆的第一定义和第二定义解题，椭圆的几何性质及其应用，求椭圆的方程；对与渐近线有关的问题的讨论，对定义、方程、几何性质中的隐形条件向显性结论转化；抛物线的几何性质。
三、知识点解析
1、椭圆及其标准方程
（1）定义：
1）文字定义：
第一定义：
平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距；
注意：
非常重要。
因为当时，其轨迹为线段；当时，其轨迹不存在；
第二定义：
平面内到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数的点的轨迹；定义中定点不在定直线上是前提，定点为椭圆的一个焦点，定直线是此焦点的相应的准线，为椭圆的离心率；
2）符号定义：
（2）方程：
1）标准方程：
①焦点在轴上：
；②焦点在轴上：
；
2）参数方程：
，是参数；
3）注意：
①标准方程中的常数源于，常数和决定椭圆的大小和扁平程度，是椭圆的定形条件；
②焦点的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型；也就是说，知道了焦点位置，其标准方程只有一种形式，不知道焦点位置，其标准方程具有多种类型；
③任何一个椭圆，只需选择适当的坐标系，其方程均可写成标准形式．当且仅当椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上时，椭圆的方程才具有上述的标准形式。
2、椭圆的简单几何性质
1）范围：
；
2）对称性：
关于轴对称，关于原点中心对称；
3）顶点：
长轴端点，短轴端点；
4）离心率：
；
5）准线：
；
6）焦半径：
，
。
3、双曲线及其标准方程
（1）定义：
1）文字定义：
第一定义：
平面内与两个定点的距离的差的绝对值是常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距，；
注：
若，则点无轨迹；
若，则点的轨迹为以焦点为端点（向两端出发）的两条射线；
第二定义：
平面内到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数的点的轨迹就是双曲线，定点为双曲线的一个焦点，定直线是双曲线的相应于这个焦点的准线，常数是双曲线的离心率；
2）符号定义：
（2）方程：
1）标准方程：
①取过焦点的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，设焦距，为双曲线上任一点，则，这里的坐标为
，这个方程称为焦点在轴上的双曲线的标准方程；②如果双曲线的焦点在轴上，焦点坐标为则，这个方程称为焦点在轴上的双曲线的标准方程；
2）参数方程：
；
（3）等轴双曲线：
实轴、虚轴长相等的双曲线就是等轴双曲线；
（4）共轭双曲线：
以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线，他们的离心率满足。
4、双曲线的简单几何性质
1）范围：
；
2）对称性：
关于轴对称，关于原点中心对称；
3）顶点：
轴端点；
4）离心率：
；
5）准线：
；
6）焦半径：
：
在右支上，
；在左支上，
。
5、抛物线及其标准方程
（1）定义：
1）抛物线：
平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线。
其中，定点不在定直线上；
2）圆锥曲线的统一定义：
平面内动点与定点的距离和它到定直线的距离的比等于常数，则当时，动点的轨迹是椭圆；当时，动点的轨迹是双曲线；当时，动点的轨迹是抛物线；其中定点不在定直线上；定点为圆锥曲线的一个焦点，定直线为此焦点相应的准线，常数为离心率；
（2）方程：
1）标准方程：
（开口向右），（开口向左），（开口向上），（开口向下）；
2）参数方程：
（为参数）。
6、抛物线的简单几何性质
四、例题
1、椭圆及其标准方程2、椭圆的简单几何性质
例1已知为椭圆的左焦点，分别为椭圆的右顶点和上顶点，为椭圆上的点，当，（为椭圆中心）时，求椭圆的离心率。
解析求椭圆的离心率，即求，只需求的值或用同一个量表示。
本题没有具体数值，因此只需把用同一量表示，由，易得。
解设椭圆方程为，，则，即。
，即，，。
说明由题意准确画出图形，利用椭圆方程及直线平行与垂直的性质是解决本题的关键。
例2如图所示，设的焦点为，且，求证：
的面积。
解析有些圆锥曲线问题用定义去解决比较方便。
如本题，设，则，消去可解。
解设，则，又，
由余弦定理有
，于是
，所以，这样即有
。
例3若椭圆与直线交于两点，为的中点，直线（为原点）的斜率为，且，求椭圆的方程。
解析欲求椭圆方程，需求，为此需要得到关于的两个方程，由的斜率为，易得的两个方程。
解设
。
由，
。
，。
①
。
，
，
②
由①②得
，所以方程为
。
说明直线与椭圆相交的问题，通常采取设而不求，即设出，但不是真的求出，而是借助于一元二次方程根与系数的关系来解决问题。
3、双曲线及其标准方程4、双曲线的简单几何性质
例1根据下列条件，求双曲线方程：
（1）与双曲线有共同的渐近线，且过点；
（2）与双曲线有公共焦点，且过点。
解析设双曲线方程为，求双曲线方程，即求，为此需要关于的两个方程，由题意易得关于的两个方程。
解
（1）设双曲线的方程为，由题意得，解得，所以双曲线的方程为
；
（2）设双曲线的方程为，由题意求。
又双曲线过点，。
又，，所以双曲线的方程为。
例2如图所示，已知为双曲线的焦点。
过做垂直于轴的直线交双曲线于点，且，求双曲线的渐近线方程。
解析求双曲线的渐近线方程，只需求的值域或的关系式。
解设，则，解得，
在中，，，即。
将代入，解得，渐近线方程为：
。
例3如图所示，在双曲线的上支上有三点
，它们与点的距离成等差数列。
（1）求的值；
（2）证明：
线段的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标。
（1）解，故为双曲线焦点，设准线为，离心率为，由题得①，分别过做轴的垂线，交于，则由双曲线的第二定义有，，，代入①得：
即，于是两边均加上准线与轴距离的2倍，有，此即，可见；
（2）证明的中垂线方程为
，即
②，由于均在双曲线上，所以有
，相减得。
于是有
，故②变成，易知此直线过点。
5、抛物线及其标准方程6、抛物线的简单几何性质
例1求满足焦点在上的抛物线的方程，并写出准线方程。
解令，得；令，得，抛物线的焦点为或。
当焦点为时，，抛物线方程为：
，准线为：
；
当焦点为时，，抛物线方程为：
，准线为：
。
例2已知定点，点是抛物线上一动点，点关于的对称点是。
（1）求点的轨迹方程；
（2）设
（1）中所求轨迹与抛物线交于两点，求当时的值。
解
（1）设，则，，适合方程，即为所求轨迹方程；
（2）由，得。
，所以交点存在。
设，若，则，即，
，由韦达定理得。
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