全国中考数学续61套压轴题分类解析汇编专题9几何综合问题.docx
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全国中考数学续61套压轴题分类解析汇编专题9几何综合问题
2019年全国中考数学（续61套）压轴题分类解析汇编
专题9：
几何综合问题
24.（2019湖北恩施12分）如图，AB是⊙O的弦，D为OA半径的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O
于点F，且CE=CB．
（1）求证：
BC是⊙O的切线；
（2）连接AF，BF，求∠ABF的度数；
（3）如果CD=15，BE=10，sinA=
5
13
，求⊙O的半径．
【答案】解：
（1）证明：
连接OB，
∵OB=OA，CE=CB，
∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC。
又∵CD⊥OA，
∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°。
∴∠OBA+∠ABC=90°。
∴OB⊥BC。
∴BC是⊙O的切线。
（2）连接OF，AF，BF，
∵DA=D，OCD⊥OA，
∴△OAF是等边三角形。
∴∠AOF=60°。
1
∴∠ABF=∠AOF=30°。
2
（3）过点C作CG⊥BE于点G，由CE=CB，
1
2
∴EG=
BE=5。
易证Rt△ADE∽Rt△CGE，
5
∴sin∠ECG=sin∠A=
，
13
∴
EG5
CE==13
5
sinECG
13
。
∴CGCE2EG21325212。
又∵CD=15，CE=13，∴DE=2，
由Rt△ADE∽Rt△CGE得
ADDE
CGGE
，即
AD2
125
，解得
AD
24
5
。
48
5
∴⊙O的半径为2AD=
。
【考点】等腰（边）三角形的性质，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，圆周角定理，勾股定理，相似三
角形的判定和性质，锐角三角函数定义。
【分析】
（1）连接OB，有圆的半径相等和已知条件证明∠OBC=9°0即可证明BC是⊙O的切线。
（2）连接OF，AF，BF，首先证明△OAF是等边三角形，再利用圆周角定理：
同弧所对的圆周角是所对
圆心角的一半即可求出∠ABF的度数。
1
（3）过点C作CG⊥BE于点G，由CE=CB，可求出EG=
2
BE=5，由Rt△ADE∽Rt△CGE和勾股定理求出DE=2，
由Rt△ADE∽Rt△CGE求出AD的长，从而求出⊙O的半径。
25.（2019黑龙江哈尔滨10分）已知：
在△ABC中，∠ACB=90，0点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，
交BP的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，A0=MN．
（1）如图l，求证：
PC=AN；
（2）如图2，点E是MN上一点，连接EP并延长交BC于点K，点D是AB上一点，连接DK，∠DKE=∠ABC，EF⊥PM
于点H，交BC延长线于点F，若NP=2，PC=3，CK：
CF=2：
3，求DQ的长．
【答案】解：
（1）证明：
∵BA⊥AM，MN⊥AP，∴∠BAM=ANM=°90。
∴∠PAQ+∠MAN∠=MAN∠+AMN=9°0，∴∠PAQ=∠AMN。
∵PQ⊥ABMN⊥AC，∴∠PQA=∠ANM=9°0。
∴AQ=M。
N∴△AQP≌△MNA（ASA）。
∴AN=PQ，AM=AP。
∴∠AMB∠=APM。
∵∠APM∠=BPC∠BPC+∠PBC=90°，∠AMB∠+ABM=9°0，∴∠ABM∠=PBC。
∵PQ⊥AB，PC⊥BC，∴PQ=P（C角平分线的性质）。
∴PC=AN。
（2）∵NP=2PC=3，∴由
（1）知PC=AN=。
3∴AP=NC=，5AC=8。
∴AM=AP=。
5∴
22
AQMNAMAN4。
∵∠PAQ=∠AMN，∠ACB=∠ANM=9°0，∴∠ABC=∠MAN。
∴tanABCtanMANMN4
AN3
。
∵tanABCAC
BC
，∴BC=6。
∵NE∥KC，∴∠PEN=∠PKC。
又∵∠ENP=∠KCP，∴△PNE∽△PCK。
∴
NENP
CKPC
。
∵CK：
CF=2：
3，设CK=2k，则CF=3k。
∴NE2
2k3
，
4
NEk
3
。
过N作NT∥EF交CF于T，则四边形NTFE是平行四边形。
4
∴NE=TF=
3
k
，∴CT=CF－TF=3k－
45
k=k
33
。
∵EF⊥PM，∴∠BFH+∠HBF=90°=∠BPC+∠HBF。
∴∠BPC=∠BFH。
∵EF∥NT，∴∠NTC=∠BFH=∠BPC。
∴tanNTCtanBPCBC2
PC
。
∴tanNTCNC2
CT
，
15
CTNC=
22
。
∴CT=5k=5
32
。
∴k=3
2
。
∴CK=2×3
2
=3，BK=BC－CK=3。
∵∠PKC+∠DKC=∠ABC+∠BDK，∠DKE=∠ABC，∴∠BDK=∠PKC。
∴tanPKCPC1
。
∴tan∠BDK=1。
KC
过K作KG⊥BD于G。
∵tan∠BDK=1，tan∠ABC=4
3
，∴设GK=4n，则BG=3n，GD=4n。
321
∴BK=5n=3，∴n=。
∴BD=4n+3n=7n=
。
55
∵ABAC2BC210，AQ=4，∴BQ=AB－AQ=6。
∴DQ=B－QBD=6－
219
=
55
。
【考点】相似形综合题，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，
等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形。
【分析】
（1）确定一对全等三角形△AQP≌△MNA，得到AN=PQ；然后推出BP为角平分线，利用角平分线的性质
得到PC=PQ；从而得到PC=AN。
（2）由已知条件，求出线段KC的长度，从而确定△PKC是等腰直角三角形；然后在△BDK中，解直角三
角形即可求得BD、DQ的长度。
26.（2019湖北十堰10分）如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD∥AC，且∠CBD=∠BAC，OD交⊙O
于点E．
（1）求证：
BD是⊙O的切线；
（2）若点E为线段OD的中点，证明：
以O、A、C、E为顶点的四边形是菱形；
FG
（3）作CF⊥AB于点F，连接AD交CF于点G（如图2），求
的值．
FC
【答案】解：
（1）证明：
∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA=90°。
∴∠ABC+∠BAC=90°。
又∵∠CBD=∠BAC，∴∠ABC+∠CBD=9°0。
∴∠ABD=90°。
∴OB⊥BD。
∴BD为⊙O的切线。
（2）证明：
如图，连接CE、OC，BE，
∵OE=E，D∠OBD=9°0，∴BE=OE=E。
D
∴△OBE为等边三角形。
∴∠BOE=6°0。
又∵OD∥AC，∴∠OAC=6°0。
又∵OA=O，C∴AC=OA=O。
E∴AC∥OE且AC=OE。
∴四边形OACE是平行四边形。
而OA=O，E∴四边形OACE是菱形。
（3）∵CF⊥AB，∴∠AFC=∠OBD=9°0。
又∵OD∥AC，∴∠CAF=∠DOB。
∴Rt△AFC∽Rt△OBD。
∴FCAF
BDOB
，即
FC
BDAF
OB
。
又∵FG∥BD，∴△AFG∽△ABD。
∴FGAF
BDAB
，即
FG
BDAF
AB
。
∴FGOB1
FCAB2
。
【考点】圆的综合题，圆周角定理，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，直角三角形斜边上的中线性质，
等边三角形的判定和性质，平行的判定和性质，菱形的判定，相似三角形的判定和性质。
【分析】
（1）由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠BCA=90°，则∠ABC+∠BAC=90°，
而∠CBD=∠BA，得到∠ABC+∠CBD=9°0，即OB⊥BD，根据切线的判定定理即可得到BD为⊙O的切
线。
（2）连接CE、OC，BE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到BE=OE=E，D则△OBE为等边三
角形，于是∠BOE=6°0，又因为AC∥OD，则∠OAC=6°0，AC=OA=O，E即有AC∥OE且AC=OE，可得到四边形OACE
是平行四边形，加上OA=O，E即可得到四边形OACE是菱形。
（3）由CF⊥AB得到∠AFC=∠OBD=9°0，而OD∥AC，则∠CAF=∠DOB，根据相似三角形的
FCAF
判定易得Rt△AFC∽Rt△OBD，则有
BDOB
，即
FC
BDAF
OB
，再由FG∥BD易证得△AFG∽△ABD则，
FGAF
BDAB
，
即FGBDAF
AB
，然后求FG与FC的比即可。
27.（2019江苏镇江11分）等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP，以AP
为边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB、AC交于点M、N（如图1）。
（1）求证：
AM=AN；
（2）设BP=x。
3
①若，BM=
8
，求x的值；
②记四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式以及S的最小值；
③连接DE，分别与边AB、AC交于点G、H（如图2），当x取何值时，∠BAD=15
0？
并判断此时以DG、GH、HE这
三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由。
【答案】解：
（1）证明：
∵△ABC、△APD和△APE都是等边三角形，
∴AD=AP，∠DAP=∠BAC=60
0，∠ADM∠=APN=600。
∴∠DAM∠=PAN。
∴△ADM≌△APN（ASA），∴AM=A。
N
（2）①易证△BPM∽△CAP，∴BMBP
CPCA
，
3
∵BN=3
8
，AC=2，CP=2－x，∴
x
8
2x2
，即4x28x+3=0。
13
解得x=或x=
。
22
②四边形AMPN的面积即为四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积。
∵△ADM≌△APN，∴SADMSAPN。
∴
S四边形SSSSS。
AMPNAPMANPAPMADMADP
如图，过点P作PS⊥AB于点S，过点D作
DT⊥AP于点T，则点T是AP的中点。
在Rt△BPS中，∵∠P=60
0，BP=x，
0
∴PS=BPsin60=
3
2
0
x，BS=BPcos60=
1
2
x。
1
∵AB=2，∴AS=AB－BC=2－x。
2
∴
2
2
222132
APASPS2x+x=x2x+4
＋。
22
1133
∴2
SAPDTAPAP=AP
ADP
2224
。
∴
33333
2
22
SS四边形SAPx2x+4x1+0AMPNADP
4444
∴当x=1时，S的最小值为
33
4
。
③连接PG，设DE交AP于点O。
0
若∠BAD=15
，
00
∵∠DAP=60，∴∠PAG=45
。
∵△APD和△APE都是等边三角形，
∴AD=DP=AP=PE=。
EA
∴四边形ADPE是菱形。
∴DO垂直平分AP。
∴GP=A。
G∴∠APG=∠PAG=45
0
。
0
∴∠PGA=90
。
设BG=t，
0
在Rt△BPG中，∠B=60，∴BP=2t，PG=3t。
∴AG=PG=3t。
∴3t+t=2，解得t=3－1。
∴BP=2t=23－2。
0∴当BP=23－2时，∠BAD=15
。
猜想：
以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。
0。
∵四边形ADPE是菱形，∴AO⊥DE，∠ADO∠=AEH=30
0000
∵∠BAD=15，∴易得∠AGO=45，∠HAO=15，∠EAH=45
。
设AO=a，则AD=AE=2a，OD=3a。
∴DG=D－OGO=（3－1）a。
0000
又∵∠BAD=15，∠BAC=60，∠ADO=30，∴∠DHA=∠DAH=75
。
∵DH=AD=2，a
∴GH=D－HDG=2a－（3－1）a=（3－3）a，
HE=2DO－DH=23a－2a=2（3－1）a。
∵
22
222
DGGH31a+33a=1683a，
2
22
HE231a=1683a，
∴DG2GH2HE2。
∴以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。
【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，锐角三
角函数定义，特殊角的三角函数值，二次函数的最值，菱形的判定和性质，勾股定理和逆定理。
【分析】
（1）由△ABC、△APD和△APE都是等边三角形可得边角的相等关系，从而用ASA证明。
（2）①由△BPM∽△CAP，根据对应边成比例得等式，解方程即可。
②应用全等三角形的判定和性质，锐角三角函数和勾股定理相关知识求得S四边形AMPNSADP，
用x的代数式表示S，用二次函数的最值原理求出S的最小值。
③由∠BAD=15
0得到四边形ADPE是菱形，应用相关知识求解。
求出DG、GH、HE的表达式，用勾股定理逆定理证明。
28.（2019福建三明14分）在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE
＝1
2
∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．
（1）当点P与点C重合时（如图①）．求证：
△BOG≌△POE；（4分）
BF
（2）通过观察、测量、猜想：
=▲，并结合图②证明你的猜想；（5分）
PE
（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图③），若∠ACB=α，
求BF
PE
的值．（用含α的式子表示）（5分）
【答案】解：
（1）证明：
∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，
∴OB=OP，∠BOC∠=BOG=9°0。
∵PF⊥BG，∠PFB=90°，∴∠GBO=9°0—∠BGO，∠EPO=9°0—∠BGO。
∴∠GBO∠=EPO。
∴△BOG≌△POE（AAS）。
（2）
BF1
PE2
。
证明如下：
如图，过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，
∴∠PNE=∠BOC=90
0，∠BPN=∠OCB。
∵∠OBC∠=OCB=45
0，∴∠NBP=∠NPB。
∴NB=NP。
∵∠MBN=90
0—∠BMN，∠NPE=900—∠BMN，∴∠MBN∠=NPE。
∴△BMN≌△PEN（ASA）。
∴BM=PE。
1
2
∵∠BPE=
∠ACB，∠BPN=∠ACB，∴∠BPF=∠MPF。
∵PF⊥BM，∴∠BFP=∠MFP=90
0。
1
又∵PF=PF，∴△BPF≌△MPF（ASA）。
∴BF=MF，即BF=BM。
2
∴BF=
1
2
PE，即
BF1
PE2
。
（3）如图，过P作PM//AC交BG于点M，交BO于点N，
∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=90
0。
1
2
由
（2）同理可得BF=
BM，∠MBN∠=EPN。
∵∠BNM∠=PNE=90
0，∴△BMN∽△PEN。
∴BMBN
PEPN
。
在Rt△BNP中，
tan=
BN
PN
，∴
BM
PE
=tan
，即
2BF
PE
=tan
。
∴BF=1tan
PE2
。
【考点】几何综合题，正方形和菱形的性质，平行的性质，全等、相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定
义。
【分析】
（1）由正方形的性质可由AAS证得△BOG≌△POE。
（2）过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，通过ASA证明△BMN≌△PEN得到BM=PE，通过ASA证明
△BPF≌△MPF得到BF=MF，即可得出
BF1
PE2
的结论。
（3）过P作PM//AC交BG于点M，交BO于点N，同
（2）证得BF=1
2
BM，∠MBN∠=EPN，从而可证得
△BMN∽△PEN，由
BMBN
PEPN
和Rt△BNP中
tan=
BN
PN
即可求得
BF1
=tan
PE2
。
29.（2019辽宁沈阳12分）已知，如图①，∠MON=6°0，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A，B不与点O
重合），且AB=43，在∠MON的内部、△AOB的外部有一点P，且AP=BP，∠APB=120°.
（1）求AP的长；
（2）求证：
点P在∠MON的平分线上；
（3）如图②，点C，D，E，F分别是四边形AOBP的边AO，OB，BP，PA的中点，连接CD，DE，EF，FC，OP.
①当AB⊥OP时，请直．接．写出四边形CDEF的周长的值；
②若四边形CDEF的周长用t表示，请直．接．写出t的取值范围．
【答案】解：
（1）过点P作PQ⊥AB于点Q∵PA=PB，∠APB=120°，AB=43，
1
2
∴AQ=
1
2
AB=
×43=23，∠APQ=1
2
1
2
∠APB=
×120°=60°。
AQ
在Rt△APQ中，sin∠APQ=
AP
∴AP=
AQ2323
sinAPQsin603
2
＝4。
（2）证明：
过点P分别作PS⊥OM于点S，PT⊥ON于点T，
∴∠OSP=∠OTP=90°。
在四边形OSPT中，∠SPT=360°-∠OSP-∠SOT-∠OTP=36°0-90°-60°-90°=120°，
∴∠APB=∠SPT=120°。
∴∠APS=∠BPT。
又∵∠ASP=∠BTP=90°，AP=BP，∴△APS≌△BPT（AAS）。
∴PS=PT。
∴点P在∠MON的平分线上。
（3）①8+43②4+43＜t≤8+43。
【考点】等腰三角形的，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，多边形内角和定理，全等三角形的判定和
性质，点在角平分线上的判定，三角形中位线定理
1
【分析】
（1）过点P作PQ⊥AB于点Q．根据等腰三角形的“三线合一”的性质推知AQ=BQ=
2
AB，然后在直角三
角形中利用特殊角的三角函数的定义可以求得AP的长度。
（2）作辅助线PS、PT（过点P分别作PS⊥OM于点S，PT⊥ON于点T）构建全等三角形△APS≌△BPT；
然后根据全等三角形的性质推知PS=OT；最后由角平分线的性质推知点P在∠MON的平分线上。
（3）利用三角形中位线定理知四边形CDEF的周长的值是OP+AB。
①当AB⊥OP时，根据直角三角形中锐角三角函数的定义可以求得OP的长度；
②当AB⊥OP时，OP取最大值，即四边形CDEF的周长取最大值；当点A或B与点O重合时，四边形CDEF
的周长取最小值，据此写出t的取值范围。
30.（2019辽宁大连12分）如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝2∠BCD＝2α，点E在AD上，点F在DC
上，且∠BEF=∠A.
（1）∠BEF=_____（用含α的代数式表示）；
（2）当AB＝AD时，猜想线段ED、EF的数量关系，并证明你的猜想；
（3）当AB≠AD时，将“点E在AD上”改为“点E在AD的延长线上，且AE＞AB，AB＝
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