《线性代数B》复习题docx.docx

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《线性代数B》复习题

一、填空题:

21

1.行列式19

7

5中元素的代数余子式等于

-8

2.若3.交换行列式中两行的位置行列式

0

0

0

0

...0

...2

1

0

4.行列式

•••

•••

••••••

•••

0

n-1

...0

0

n

0

...0

0

5•设/为3阶方阵,国=5,则\2A\=

6.

a0b0

0a0b~

b0a0

7.

则AB=

'&A=（2

（32、

8.设力=•则力―

M3丿

9.设A,B,C均为舁阶方阵，〃可逆，则矩阵方程A+BX=C的解为

‘111、

10.矩阵/=123的秩=

「214,

11.单独一个向量Q线性无关的充分必要条件是

12•单个向量。

线性相关的充要条件是•

13.设向量组a】二（1,2,3）,他=（2,1,0）,他=（3,0,-2）,则向量0=4-2a2-ay等

于・

14.若$=（1,2,3）,笑=（4,5,6）,均=（0,0,0）,则0],。

2，。

3线性•

15.刀维向量组｛匕心心｝线性相关，则.

（填线性相关，线性无关或不能确定）

16.向量组0=（1,0,0）、湛=（1，1，°）、爲=（1丄1）的秩是•

17.设〃是非齐次线性方程组Ax=b的解，纟是方程组Ax=0的解，则〃+2§为方程组

的解.

1&齐次线性方程组自由未知量的个数与基础解系所含解向量的个数.

19.非齐次线性方程组AX=b有解的充要条件是.

20.若非齐次线性方程组Ax=b有唯一解，则方程组Ax=Q.

21.齐次线性方程组AX=0一定有解.

‘12-1、

22•设A=4t3,以/为系数矩阵的齐次线性方程组有非零解，则八.

<3-14丿

‘1001、

23.线性方程组〃后〃，其增广矩阵经初等行变换化为刀T0102,此方程组的

0013,

解为.

24.设x=/7,及兀=%都是方程Ax=b的解，则x=/7i-/;2为线性方程组的解.

25.设力为6阶方阵，虑（/）二3,则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中含有

个线性无关的解向量.

1

29.若矩阵力=-2

「0

26.2是力的特征值，则是kA的特征值.

27.设可逆方阵力的特征值为2,则右的待征值为

28.〃阶矩阵/与它的转置矩阵/的特征.

-20、

2-2的特征值人=一1,入=2,则/的第3个特征值

-23.

30.设n阶方阵A=（知）的全部特征值为几入，…,入，则有人入…人=

二、单项选择题:

Qii

d19

2ci、i2ci\°

1.若行列式

11

12

—

:

QH0,

则行列式

1112

5

a22

5a?

]5g2。

A

.10d

B.2a

C.5q

D.7a

ab

f

c

ab+e

2.若

=&

•Z

=2,则

=（）.

cd

e

a

Cd+f

A.

10

B.

6

C.-6

D.一10

3.设A是6阶方阵，则阳卜（

）•

=（）.

111

B.k=\C-k=-1'的伴随矩阵才二（）.

D.k=3

A.

<11、

B.

<-l-0

c.

<-l1、

D.

仃-n

、T"I

J1丿

Ij1丿

j-i;

7.下列说法正确的是（）

A.A和B为两个任意矩阵，则A-B一定有意义.

B.任何矩阵都有行列式.

C.设AB、BA均有意义，则AB二BA.

D.矩阵A的行秩二A的列秩二A的秩.

E.

设八与B是等价矩阵，则下列说法错误的是（）•

"100、

‘001、

<312、

‘100、

A.

010

B.

010

c.

123

D.

000

<012丿

<100丿

231l厶J丄丿

、001?

）.

/

3

1

9.下列矩阵为初等矩阵的是（

C.1

D.0

11.己知力=

如丿

a\\

&21

y）

且A=2,|b|=3,贝！

1A+B=（

A.4B.5

C.10

D.6

12•设几〃是刀阶可逆矩阵，那么

（）不正确•

A.（AB”=B_

B.

C.（2A）~l=2A~}D.\AB\=\BA\

13.对刃阶可逆方阵4,B,数QhO,下列说法正确的是（）.

C.（A~lyx=AD.（AA）-1=

14.对任意同阶方阵A,B,下列说法正确的是（）.

A.（AB）1=BrArB.|A+B|=|A|+|B|C.=犷B^'D.AB=BA

15.设A,B,C,D均为n阶矩阵，

E为n阶单位方阵，下列命题正确的是（）.

A.若才=（）,则A=0

B.若AB=0f则力=0或5=0

C.若AB=AC,则B=C

D.若AB=BA,贝0（^+5）2=A2+2AB+B2

16.设向量组,色，…，色线性相关,

则…定有（）.

A.线性相关

B.Q|,02，…，並+1线性相关

C.內皿2,…皿£-1线性无关

D・Q],乞，並+1线性无关

17.向虽组0二（1,0,0）,也=（0,1,0）,a?

=（0,0,1）的秩为（）•

A.0B.1C.2D.3

18•设向量组內,…，给线性相关，则必可推出（）.

A.內,…，a炳中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合

B.內,…，。

〃中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合

C.av--,anj中至少有两个向量成比例

D.a】,…，如中至少有一个向量为零向量

19.设a]ta2fa3线性相关,则以下结论正确的是（）.

A.4卫2一定线性相关B.引卫3一定线性相关

C.°],勺一定线性无关D.存在不全为零的数A,k>,ki使切[+心°2+*3。

3=0

IX.+X。

=1

20.线性方程组｛12（）.

1“+吃=0

A.无解；

B.只有0解；C.有唯一解；D.有无穷多解.

21.若方程组'

3xt+kx7_小=0

4x2-x3=0'有非零解，则小（）.

4x2+总3=0

A.-lB.-2C.lD.2

22.若r（J）=r

则〃元齐次线性方程组AX=0（）.

A.有惟一零解B.有非零解C.无解D.不确定

23.设/是mxn矩阵,

Ax=O是非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组,

则下列结论正确的是（）.

A.若Ax=O仅有零解，则Ax=b有惟一解

B.若Ax=O有非零解，则Ax=b有无穷多个解

C.若Ax=b有无穷多个解，则Ax=O仅有零解

D.若Ax=b有无穷多个解，则Ax=O有非零解

24.下列关于方程组的解的表述不正确的是（）.

A.若x=都是方程4r=0的解，则x=也是方程Ax=O的解

B.若x=^是方程Ax=0的解，则x=3^也是方程/兀=0的解

C.若x青是方程Ax=h的解，则x=3^也是方程Ax=h的解

D.Ax=0的基础解系中的解向量线性无关

25.

设心&是非齐次线性方程组^=b的两个解，则以下正确的是（）.

C.

-u2^Ax=0的解

D.2弘]是AX-b的解

D.秩r（A）

D.r（A）=r（A）

26.含有5个未知量的齐次线性方程组AX=0系数矩阵的秩是3,则此齐次线性方程组

AX=0（）.

A.无解B.有唯一解C.有非零解D.不确定有什么解

27.设〃元齐次线性方程组AXP有非零解，则必有（）.

A.|A|=0B.秩rU）=0C.秩r（A）=n

28.n元非齐次线性方程组AX二b有解的充要紳牛是（）.

A.r（A）=nB.r（A）

29.设2二2是可逆矩阵/的一个特征值，则其逆必有一个特征值等于（）.

A.—B.—C.2D.4

42

<31）

30.矩阵/=的特征值为（）・

V'丿

A.=2,A2=4B.=2,/l2=—4C.Aj=—2,=4D.=—2,A2=—4

三、判断正误：

1.若行列式中两行元素对应成比例，则此行列式为零.

01

11

=-3（

01

10

2.行列式

11

3.两个77阶行列式相等，其对应位置的元素也一定相等.（）

（1一八（\1A

4•设2阶方阵A可逆，且,则A=[°•（）

1—11U2/

5.若AB,BA均有意义，则必有AB=BA.（）

6.矩阵的初等变换改变矩阵的秩.（）

"10-10、

7.设矩阵A=0-234,则/!

中所有3阶子式都为零.（）

卫005,

&设是〃阶方阵，贝^A+B）2=A2^-2AB^-B2（）.

8.若向量组a】,。

?

...,*线性相关，则其中每一个向量可以由其余向量线性表出・（）

9.向量组0,。

2，的线性无关的充分必要条件是中任二向量线性无关（）•

10.5个4维向量线性相关.（）

11.若向量组中有一部分向量线性无关，则整个向量组也线性无关.（）

12.若鼻金都是Ax=b的解，则*（§+刍）也是Ax=b的解.（）

13.若齐次线性方程组AX=Q有非零解，则它一定有无数个解.（）

14.若非齐次线性方程组AX=b的导岀组有无穷多解，则该非齐次线性方程组未必也有

无穷多解.（）

15.

若x=©,x=^2为Ax=b的解，则x=3^+2^2也是它的解.（）

19.

方阵/的属于不同特征值的特征向皐线性无关.

20.特征向量可以是零向量.（

四、计算题:

<2

0

<3

-3、

A=

-1

2

1

B=

2

0

i0

1

1

1

-1

X

7

X

7

/

1

1

—

2）

5.设矩阵/二

0

-1

，求逆矩阵

1

£+兀+2x4+x5=1

7.解方程组〈

Xj+2x2-x3+2x5=2.

-Xi+花+2x3一2x4+x5=5

8.当a为何值吋，方程组£

%!

+x2+x3=1

5、

T

2

3

4

5

2

S=

4

6^3=

5

^4=

6

0）

7

求此向量组的秩并判断此向量

9.设有向量组⑦=

2x,+3x2+兀3=4有无穷多解？

此吋，求出方程组的通解。

+ax§~1

组的线性相关性，求出此向量组的一个极大线性无关组.

（-2

五、证明题:

⑷a2a3

G|°2

1•已知

5“2方3

=3,求证

2b\+al2b2+a2+a3

5巾5

ele2e3

=6•

2.设方阵/满足A23456+A=3£，证明A+E可逆，并求其逆矩阵.

3.设〃均为刀阶对称矩阵，则AB+BA也是对称矩阵.

4.设向量组a,/3，Y线性无关，试证：

向量组Q+0,0+y，7+a也线性无关.

5.证明若e,也，・・・,久”线性无关，而Q],，…,e”，0线性相关，则0可由Q],a2am线性表示，且表示方法唯一.

6.证明：

设2是八阶矩阵/的特征值，则尤是才的特征值.