第7篇步骤规范练立体几何.docx

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第7篇步骤规范练立体几何

步骤规范练——立体几何

（建议用时：

90分钟）

一、选择题

1．（2014·榆林模拟）一个几何体的主视图和左视图如图所示，则这个几何体的俯视图不可能是（　　）．

解析　∵该几何体的主视图和左视图都是正方形，∴其可能为正方体或底面直径与高相等的圆柱或底面是等腰直角三角形且其腰长等于高的直三棱柱，但不可能是一个底面矩形长与宽不相等的长方体．∴选D.

答案　D

2.（2013·豫西五校联考）如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A，B，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC的值为（　　）．

A．30°　　　　　B．45°　　

C．60°　　　　　D．90°

解析　还原正方体，如图所示，连接AB，BC，AC，可得△ABC是正三角形，则∠ABC＝60°.

答案　C

3．（2013·浙江五校联盟联考）关于直线l，m及平面α，β，下列命题中正确的是（　　）．

A．若l∥α，α∩β＝m，则l∥m

B．若l∥α，m∥α，则l∥m

C．若l⊥α，l∥β，则α⊥β

D．若l∥α，m⊥l，则m⊥α

答案　C

4．若直线m平面α，则条件甲：

直线l∥α是条件乙：

l∥m的（　　）．

A．充分不必要条件　B．必要不充分条件

C．充要条件　D．既不充分也不必要条件

解析　若l∥α，mα，不一定有l∥m；若l∥m，mα，则lα或l∥α，因而甲⇒/乙，乙⇒/甲．

答案　D

5．（2014·宜春模拟）一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）．

A．7　B.

C．

　D.

解析　依题意可知该几何体的直观图如图所示，其体积为23－2×

×

×1×1×1＝

.

答案　D

6．（2013·温州二模）下列命题正确的是（　　）．

A．若平面α不平行于平面β，则β内不存在直线平行于平面α

B．若平面α不垂直于平面β，则β内不存在直线垂直于平面α

C．若直线l不平行于平面α，则α内不存在直线平行于直线l

D．若直线l不垂直于平面α，则α内不存在直线垂直于直线l

答案　B

7．（2014·潍坊模拟）设m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（　　）．

A．m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n

B．m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n

C．m⊥α，nβ，m⊥n，则α⊥β

D．mα，nα，m∥β，n∥β，则α∥β

解析　A中的直线m，n也有可能异面，所以不正确．B正确．C中α，β不一定垂直，错误．D中当m，n相交时，结论成立，当m，n不相交时，结论不成立．所以选B.

答案　B

8．一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：

cm2）为（　　）．

A．48　B．64　

C．80　D．120

解析　

据三视图知，该几何体是一个正四棱锥（底面边长为8cm），直观图如图，PE为侧面△PAB的边AB上的高，且PE＝5cm.∴此几何体的侧面积是S＝4S△PAB＝4×

×8×5＝80（cm2）．

答案　C

9.（2014·合肥一模）如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则下列结论不成立的是（　　）．

A．EF与BB1垂直

B．EF与BD垂直

C．EF与CD异面

D．EF与A1C1异面

解析　连接B1C，AC，则B1C交BC1于F，且F为B1C的中点，又E为AB1的中点，所以EF綊

AC，

而B1B⊥平面ABCD，所以B1B⊥AC，

所以B1B⊥EF，A正确；

又AC⊥BD，所以EF⊥BD，B正确；

显然EF与CD异面，C正确；由EF綊

AC，AC∥A1C1，

得EF∥A1C1.故不成立的选项为D.

答案　D

10．（2013·广州二模）一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是（　　）．

A．12π　B．24π　

C．32π　D．48π

解析　该几何体的直观图如图所示，它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，其中底面ABCD是边长为4的正方形，高为CC1＝4，该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的直径为AC1＝4

＝2R，所以球的半径为R＝2

，所以球的表面积是4πR2＝4π×（2

）2＝48π.

答案　D

二、填空题

11．（2014·苏锡常镇四市二调）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：

①若α∥β，mβ，nα，则m∥n；②若α∥β，m⊥β，n∥α，则m⊥n；③若α⊥β，m⊥α，n∥β，则m∥n；④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n.

上面命题中，所有真命题的序号为________．

解析　①只要画出两个平行平面，可以发现分别在两个平面内的直线是可以异面的，即m与n可以异面，不一定平行；③满足条件的两条直线m和n也可以相交或异面，不一定平行．

答案　②④

12．（2013·汉中模拟）某机器零件的俯视图是直径为24mm的圆（包括圆心），主视图和左视图完全相同，如图所示，则该机器零件的体积是________mm3（结果保留π）．

解析　依题意，该机器零件可视为是从一个圆柱中挖去一个圆锥，因此该机器零件的体积为π×122×24－

×π×122×12＝2880π（mm3）．

答案　2880π

13．（2013·新课标全国Ⅰ卷）已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为________．

解析　如图，设截面小圆的半径为r，球的半径为R，因为AH∶HB＝1∶2，所以OH＝

R.由勾股定理，有R2＝r2＋OH2，又由题意得πr2＝π，则r＝1，故R2＝1＋

2，即R2＝

.由球的表面积公式，得S＝4πR2＝

.

答案　

π

14.正六棱锥P－ABCDEF中，G为PB的中点，设三棱锥D－GAC的体积为V1，三棱锥P－GAC体积为V2，则V1∶V2＝________.

解析　设棱锥的高为h，

V1＝VD－GAC＝VG－ADC＝

S△ADC·

h，

V2＝VP－GAC＝

VP－ABC＝VG－ABC＝

S△ABC·

.

又S△ADC∶S△ABC＝2∶1，故V1∶V2＝2∶1.

答案　2∶1

三、解答题

15．（2014·济南一模）在如图的多面体中，AE⊥底面BEFC，AD∥EF∥BC，BE＝AD＝EF＝

BC，G是BC的中点．

（1）求证：

AB∥平面DEG；

（2）求证：

EG⊥平面BDF.

证明　

（1）∵AD∥EF，EF∥BC，∴AD∥BC.

又∵BC＝2AD，G是BC的中点，∴AD綊BG，

∴四边形ADGB是平行四边形，∴AB∥DG.

∵AB⃘平面DEG，DG平面DEG，∴AB∥平面DEG.

（2）连接GF，四边形ADFE是矩形，

∵DF∥AE，AE⊥底面BEFC，

∴DF⊥平面BCFE，EG平面BCFE，∴DF⊥EG.

∵EF綊BG，EF＝BE，∴四边形BGFE为菱形，∴BF⊥EG，又BF∩DF＝F，BF平面BFD，DF平面BFD，∴EG⊥平面BDF.

16.（2014·成都一模）如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，△ABF是等边三角形，棱EF∥BC，且EF＝

BC.

（1）求证：

EO∥面ABF；

（2）若EF＝EO，证明：

平面EFO⊥平面ABE.

证明　

（1）取AB的中点M，连接FM，OM.

∵O为矩形ABCD的对角线的交点，

∴OM∥BC，且OM＝

BC，

又EF∥BC，且EF＝

BC，

∴OM＝EF，且OM∥EF，

∴四边形EFMO为平行四边形，∴EO∥FM，

又∵FM平面ABF，EO⃘平面ABF，∴EO∥平面ABF.

（2）由

（1）知四边形EFMO为平行四边形，

又∵EF＝EO，∴四边形EFMO为菱形，连接EM，则有FO⊥EM，

又∵△ABF是等边三角形，且M为AB中点，

∴FM⊥AB，易知MO⊥AB，且MO∩MF＝M，

∴AB⊥面EFMO，

∴AB⊥FO.∵AB∩EM＝M，∴FO⊥平面ABE.

又∵FO平面EFO，∴平面EFO⊥平面ABE.

17．（2013·安徽卷）如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°.已知PB＝PD＝2，PA＝

.

（1）证明：

PC⊥BD；

（2）若E为PA的中点，求三棱锥P－BCE的体积．

（1）证明　连接AC，交BD于O点，连接PO.

因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，BO＝DO.

由PB＝PD知，PO⊥BD.再由PO∩AC＝O知，BD⊥面APC.因此BD⊥PC.

（2）解　因为E是PA的中点，

所以VP－BCE＝VC－PEB＝

VC－PAB＝

VB－APC.

由PB＝PD＝AB＝AD＝2知，△ABD≌△PBD.

因为∠BAD＝60°，

所以PO＝AO＝

，AC＝2

，BO＝1.又PA＝

，PO2＋AO2＝PA2，即PO⊥AC.故S△APC＝

PO·AC＝3.

由

（1）知，BO⊥面APC，因此VP－BCE

＝

VB－APC＝

×

·BO·S△APC＝

.

18．（2013·广东卷）如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G.将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A－BCF，其中BC＝

.

（1）证明：

DE∥平面BCF；

（2）证明：

CF⊥平面ABF；

（3）当AD＝

时，求三棱锥F－DEG的体积VFDEG.

（1）证明　在等边△ABC中，AD＝AE，

在折叠后的图形中，仍有AD＝AE，AB＝AC，

因此

＝

，从而DE∥BC.

因为DE⃘平面BCF，BC平面BCF，

所以DE∥平面BCF.

（2）证明　在折叠前的图形中，因为△ABC为等边三角形，BF＝CF，所以AF⊥BC，则在折叠后的图形中，AF⊥BF，AF⊥CF，又BF＝CF＝

，BC＝

.，

所以BC2＝BF2＋CF2，所以BF⊥CF.

又BF∩AF＝F，BF平面ABF，AF平面ABF，

所以CF⊥平面ABF.

（3）解　由

（1）知，平面DEG∥平面BCF，由

（2）知AF⊥BF，AF⊥CF，又BF∩CF＝F，所以AF⊥平面BCF，所以AF⊥平面DEG，即GF⊥平面DEG.

在折叠前的图形中，

AB＝1，BF＝CF＝

，AF＝

.

由AD＝

知

＝

，

又DG∥BF，所以

＝

＝

＝

，

所以DG＝EG＝

×

＝

，AG＝

×

＝

，

所以FG＝AF－AG＝

.故V三棱锥FDEG＝V三棱锥EDFG

＝

×

DG·FG·GE＝

·

2·

＝

.