新冀教版四年级上册数学第九单元探索乐园教学设计反思作业题答案.docx

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新冀教版四年级上册数学第九单元探索乐园教学设计反思作业题答案

第九单元探索乐园

■教学目标

1、结合具体事例，探索并发现植树问题中植树棵树与间隔数之间的关系，会用“植树问题”的思想和方法解答其他简单实际问题。

2、探索并发现线段上的点数与线段条数之间的规律，能利用发现的规律解决类似的数图形的问题。

3、在借助直观图探索植树问题和探索线段规律的过程中，能进行有条理的思考，能清楚地表达自己的解题思路和方法，发展初步的数学归纳和推理能力。

4、了解分析实际问题的方法，获得解决问题的经验，尝试解释自己的思考过程。

5、在教师的鼓励和引导下，体验总结、归纳解题规律的过程，获得成功的乐趣，建立学好数学的自信心。

■重点、难点

重点

1、结合具体事例，探索并发现植树问题中植树棵树与间隔数之间的关系，会用“植树问题”的思想和方法解答其他简单实际问题。

2、探索并发现线段上的点数与线段条数之间的规律，能利用发现的规律解决类似的数图形的问题。

难点在借助直观图探索植树问题和探索线段规律的过程中，能进行有条理的思考，能清楚地表达自己的解题思路和方法，发展初步的数学归纳和推理能力

■教学建议

1、引导学生经历解决问题的全过程。

教学时可结合情境图（示意图）出示问题，让学生经历整个分析、思考的全过程并且初步感受到：

遇到问题时，可以先给出一个猜测，要判断这个猜测对不对，可以用比较简单的例子来验证，并且可以从简单的事例中发现规律，然后应用找到的规律来解决原来的问题。

2、培养学生建立数学模型的能力。

教师要指导学生通过线段图建立数学模型。

可让学生用画示意图或线段图的方法帮助思考，通过观察示意图或线段图，把分割点数和栽树的棵数一一对应起来，发现并初步总结出栽树的棵数与间隔数之间的关系。

此外，还可适当拓展植树问题数学模型的逆向应用。

3、重视知识的迁移和转化。

教学数线段的条数时，要鼓励学生用自己的方法迁移植树问题的问题解决模型来探索规律，让学生在知识的迁移和转化中学习解决问题的方法。

4、注意学生核心学习素养的培养。

教学时，教师要注重学生读题、审题习惯的培养,放手让学生自主探究，在对比与沟通中，“让学生掌握以思想方法作灵魂的数学知识，把数学‘学懂’、‘学活’、‘学深’”。

■课时安排

本单元用3课时完成教学，其中机动1课时。

课题

课时

植树问题 

1

探索数线段的规律

1

机动

1

总计

3

9.1植树问题

⏹教学内容

教材第94、95页植树问题

⏹教学提示

解决植树问题的思想方法是实际生活中应用比较广泛的数学思想方法。

植树问题通常是指沿一定的路线植树，这条路线的总长度被树平均分成若干段（间隔），由于路线的不同、植树要求的不同，路线被分成的段数（间隔数）和植树的棵数之间的关系就不同。

在现实生活中类似的问题还有很多，比如公路两旁安装路灯、花坛摆花、广场敲钟等，这些问题情境中都隐藏着总数和间隔数之间的关系问题，我们就把这类问题统称为植树问题。

在植树问题中，“植树”的路线可以是一条线段，也可以是一条首尾相接的封闭曲线（如正方形、长方形或圆形等）。

即使是关于一条线段的植树问题，也可能有不同的情形（如两端都要栽，只在一端栽另一端不栽，或是两端都不栽）。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》强调：

“要从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而让学生在获得对数学理解的同时也在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展”。

本单元，教材在编排上注重了引导学生进行观察、猜测、验证、推理等数学活动，使学生初步体会解决植树问题的思想方法（模型思想），从而培养学生从实际问题中探索解决问题的有效方法的能力。

在教学植树问题时，教师要引导学生根据实际问题情境，从简单的情况入手，在解决问题的分析、思考过程中，逐步发现隐含的规律，经历建立数学模型的过程，帮助学生积累数学活动的经验，提高学生解决实际问题的能力。

⏹教学目标

知识与能力

了解间隔数的含义，建构解答植树问题的一般方法模型，能解答类似的简单实际问题。

过程与方法

结合具体事例，经历分析问题、解决问题、总结解答植树问题一般方法的过程，建立起解答植树问题的思想方法模型。

情感、态度与价值观

在用植树问题的思路和方法解答其他问题的过程中，获得成功的体验，感受数学与生活的密切联系。

⏹重点、难点

重点理解间隔数的含义，能求出间隔数并根据两端植树的情况，利用模型思想求出植树的棵数。

难点运用植树问题的模型思想方法解决简单实际问题。

⏹教学准备

教师准备：

多媒体教学课件。

学生准备：

铅笔、橡皮、直尺。

⏹教学过程

（一）新课导入

猜谜导入。

师：

在上新课之前，我们先猜个谜语放松一下，好吗？

（课件显示）：

两棵小树十个杈，不长叶子不开花。

能写会算还会画，天天干活不说话。

生：

手   

师：

大家真聪明，就是我们的手。

瞧，我们每个人都有一双灵巧的手，其实，在我们的手上也隐藏了好多数学只是，同学们想知道吗？

师：

看着老师的手，你从中得到了什么数字？

（55个手指）

师：

老师也从中得到了一 个数字“4”，你们知道它指的是什么吗？

（4个空格）

师：

 对了，手指间的空格，在数学上我们叫做间隔。

我们手上每两个手指之间有一个间隔，大家仔细看老师的手，5个手指，有几个间隔？

师：

4个手指有几个间隔，3个手指呢？

师：

手指数与间隔数其中的关系你发现了吗？

（手指数比间隔多1）  

师：

还可以这样说？

（间隔数+1=手指数）

师：

在我们的手上都有数学只是，看来数学真的是无处不在。

今天我们学习和间隔数有关的问题，它就是“植树问题”。

设计意图：

在猜谜语活动中，体验间隔数的含义、手指个数与间隔数的关系，为本课时教学“植树问题”探究间隔数和棵数大小基础。

（二）探究新知

1、出示情境，获取信息。

师：

学校为了改变校园环境，要在校园内种上一些树，校委会决定公开招聘植树方案设计师，你们想不想成为我们校园的植树方案设计师呢？

师：

我们一起来先看看设计的具体要求吧!

（课件显示）   

学校计划在40米长的教学楼前种一排玉兰树，每隔5米种一棵。

请按照要求，设计一份植树方案，并说明你的设计理由。

师：

从要求上，你获得哪些信息？

生：

40米长的教学楼前，每隔5 米种一棵玉兰树 。

师：

每隔5 米是什么意思？

生：

两棵树之间的间隔是5 米，也就是每两棵树之间的距离是5米。

2、提出问题，设计方案。

师：

现在，请4 个同学为一组开始设计吧，看看哪组设计的方案最多，各需要多少棵玉兰树呢？

（教师巡视） 

3、讨论交流、展示方案。

方案一：

一端不种，另一端种。

（如下图，也可以是线段示意图）

40÷5=8（棵），有8个间隔，我们只种一头，另一头不种，所以我们只用8棵树。

方案二：

两端都种。

（如下图，也可以是线段示意图）

40÷5=8（棵）就说明有8个间隔，为了让我们的学校更美，我们在两头都种上树，所以我们再用8+1=9棵树。

方案三：

两端都不种 。

（如下图，也可以是线段示意图）

40÷5=8（棵），有8个间隔，我们想学校的树已经很多了，为了让我们的活动范围更大，所以在两头都不种树，所以把8－1=7棵。

4、探究发现、总结规律。

师：

同学们设计的真不错，来我们一起看看这三个设计方案中种的棵数与间隔数有什么关系呢？

第一方案一端植树，另一端不种，种树棵数与间隔数有什么关系？

 板书：

只栽一端时，种树棵数=间隔数        

第二方案两端都植树，种树棵数与间隔数有什么关系？

 板书：

两端栽树时，种树棵数=间隔数+1    

第三方案两端都不种，种树棵数与间隔数有什么关系？

 板书：

两端都不种，种树棵数=间隔数－1   

5、教学例2 。

师：

我们一起来看一个生活中的一个问题吧，你会解答吗？

（课件显示 ）  

同学们在全长是60米的小路同一侧植树，每隔6米种一棵，两端各种一棵，一共需要多少棵树苗？

师：

大家一起把题读一遍，从题中你了解到了哪些信息？

（预设）

生1：

路程是60米。

生2：

小路同一侧植树，两端各种1棵。

生3:

每两棵树之间的间隔是60米。

师：

两端各种一棵是什么意思？

同桌讨论一下，怎么计算？

（预设） 

60÷6+1=11（棵）

师：

同学们真棒，什么也难不倒你们。

师：

如果这条路的两侧都植树，怎样计算？

学生自己独立完成。

使学生明白：

要求出两侧都种树苗的棵数，只要求出一侧种树的棵数，再乘2就可以了。

设计意图：

在方案征集中体验三种不同的植树方案，在讨论交流中理解“间隔”的含义，在探究画图中建构起三种方案解决的数学模型，最后在实际问题解决中体验运用模型思想解决问题的优越性。

（三）巩固新知

1、教材第95页“练一练”第1、2、3题。

2、教材第95页“练一练”第4题。

设计意图：

1、在练习中进一步熟悉植树问题的一端种、一端不种；两端都种、两端都不种的三种情形，逐步熟悉和建构解决此类问题的数学模型方法。

2、利用植树问题的模型方法解答上下楼的台阶问题，体会数学模型思想在解决问题中的运用。

（四）达标反馈

1、填一填。

（1）工人叔叔在路的一边安装路灯，一共安装了6座，从第一座到最后一座一共有（）个间隔。

（2）一排同学之间有7 个间隔，这一排有（）个同学。

（3）小红住的楼房每上一层要走20个台阶，从二楼到四楼要走（）个台阶。

2、有一条长800米的公路,在公路的一侧从头到尾每隔20米栽一棵杨树,需多少棵杨树苗?

3、在一条长500米的公路一侧架设电线杆,每隔50米架设一根,若公路两端都不架设,共需电线多少根？

4、在一条长50米的跑道两旁,从头到尾每隔5米插一面彩旗,一共插多少面彩旗?

5、有一条路长 1000 米,在路的一侧每隔5米栽一棵垂柳,可种植垂柳多少棵?

6、两座楼房之间相距 56 米,每隔 4 米栽雪松一棵, 一行能栽多少棵?

答案：

1、

（1）5

（2）8（3）40

2、 800÷20+1=41（棵）

3、 500÷50-1=9（根）

4、50÷5=10 （面）  10+1=11 （面）   11×2=22 （面）

5、 1000÷5+1=201（棵） 

6、 56÷4-1=13（棵） 

（五）课堂小结

师：

同学们，生活中植树问题的例子有很多很多，有时也不一定非得真的种树，比如马路旁每隔一定距离放置一座路灯，路灯的数量和间隔的多少可以看成是植树问题。

还比如电线杆呀！

教室的课桌安排呀等等都是植树问题。

今天我们大家一起探究了植树问题，体会了植树问题与生活间的密切联系。

现在和同桌说一说，通过本课的学习，你有哪些收获？

还有哪些困惑？

设计意图：

反思是基于学生的思维状态，让学生对当堂课的知识和收获做一个回顾，就是学生整理知识、内化知识的过程，能起到画龙点睛的作用，更能培养学生的归纳能力。

（六）布置作业

1、植树节到了，同学们在一条长120米的小路的一边栽树，每隔6米栽一棵。

如只有一端栽树，需要多少棵树?

2、有一根木料，把它锯成8段，每锯开一处，需要5分钟，全部锯完需要多少分钟?

3、一条彩带长1米，把它剪成长度相同的几小段，已知剪了4次，每段长多少分米？

4、

5、一列高速列车共20节，每节长18米，每两节之间的距离是1米，你知道这列高速列车有多长吗？

6、业务员小李要到六楼联系工作，他从1楼到4楼用了54秒，照这样计算，小李走到6楼共需要几秒?

答案：

1、120÷6=20（棵）

2、8-1=7（次）5×7=35（分钟）

3、1米=10分米4+1=5（段）10÷5=2（分米）

4、20×（10-1）=180（米）

5、20-1=19（米）20×18+19=379（m）

6、54÷（4-1）=18（秒）18×（6-1）=90（秒）

⏹板书设计

⏹教学反思

1、在操作体验中经历建模。

有意义的学习是学生在具体情境中通过活动体验而自主建构模型。

体验和建构是学生活动化学习的关键。

体验是建构的基础，没有体验，建构就失去意义。

体验是学生从旧知识向隐含的新知识迁移的过程。

本节课在提示课题理解完间隔的含义以后，通过三次种树的数学活动，并辅助与多媒体课件，让学生充分感知到了“间隔数”与“棵数”之间的一一对应的关系，使学生清楚地理解两头种树棵树为什么要+1，两头都不种棵数为什么－1，以及一头种为什么棵数与间隔数是相等的，达到建构学习主题的水平,在学生的头脑中留下了深刻的印象。

2、数形结合——促进方法渗透。

如果说生活经验是学习的基础，生生间的合作交流是学习的推动力，那么借助图形帮助理解是学生建构知识的一个拐杖。

有了这根拐杖，学生们才能走得更稳、更好。

⏹教学资料包

教学精彩片段

两端都栽植树问题教学片断

1、提出问题。

   课件：

在全长1000米的路的一边植树，每隔10米栽一棵树（两端都栽），一共需要多少棵树苗？

   学生的猜测可能有不同的结果：

100；101；102或99。

 2、自主探究。

   棵数和间隔数到底之间有什么关系呢？

让学生大胆地猜想，并用图示的方法验证。

   课件显示：

隔10米种一棵，再隔10米种一棵……，一直画到1000米！

学生会感觉：

这样一棵一间隔画下去，方法是可以的，但太麻烦了，又浪费时间。

   引导学生：

要研究棵数和间隔数之间有什么关系，有更简单的方法吗？

让学生思考、交流，尝试从简单入手，用“把大数变小数”的方法进行研究，渗透“化繁为简”的数学思想。

3、发现规律。

学生开始动手画图、填表、比较分析，然后展示他们的研究结果，发现在小数据中两端都种的情况下，都有“棵数比间隔数多1”的规律。

师：

“棵数比间隔数多1”的规律是同学们用较小的数据研究出来的，如果数据增大，这个规律还成立吗？

   课件动态演示：

一个间隔对应一棵，这样一直对应下去，100个间隔就有100棵，种完了吗？

师：

如果这条路变得很长很长、无限长，两端都种还有这样的规律吗？

让学生从中体会到，不管数字多大，用“一一对应”的方法，最后还要补上一棵才能达到两端都种的结果。

这个环节，潜移默化地渗透“极限”的思想。

4、总结归纳。

归纳“化繁为简”的解题策略。

让学生体会到研究问题可以从简单入手，将困难的变为容易的，将复杂的变为简单的，用这样的方法，可以有效地解决问题。

把抽象的数学化归思想渗透在教学中，让学生在“润物细无声”中体验到数学思想方法的价值，提高思维的素质。

 5、总结规律。

  师：

你们能用一个式子把规律表示出来吗？

  （板书）间隔数+1=棵数 棵数－1=间隔数

说课设计

（1）教材分析

教材的地位与作用：

 “植树问题”主要是为了向学生渗透有关植树问题的一些思想方法，通过现实生活中一些常见的实际问题，让学生从中发现一些规律，抽取出隐含的数学模型，然后再用发现的模型解决生活中的一些简单实际问题。

（2）学情分析

这部分知识学生在生活中有过接触，但是对植树棵数、间隔数、间隔长度、总长之间等数学概念还是比较陌生，所以，本课教学的重点培养学生的读题理解能力、审题分析能力、归纳、概括能力、运用数学语言表达的能力。

（3）教学目标

1）知识与技能目标：

1、通过生活中的事例，经历探索日常生活中的植树问题，抽象出植树问题模型的过程，初步体会解决植树问题的思想方法。

2、通过实践操作，学会利用线段图理解和掌握植树棵数、间隔数、间隔长度、总长之间的关系，找出解决问题的有效方法的能力。

2）过程与方法目标：

1、经历感知、理解知识的过程，培养从实际问题中发现规律，并应用规律来解决问题的能力

2、通过观察、操作、交流等活动探索新知，渗透数形结合的数学思想。

3）情感与态度目标：

1、在解决问题的过程中，感受到数学与现实生活的密切联系，体验学习的喜悦。

2、理解和掌握植树问题的思想方法，从而体验到数学学习的价值与数学思维的乐趣，增强学好数学的信心。

（4）重点、难点

植树问题与生活联系密切，学生并不陌生。

但是要从具体的事物中发现规律、找到规律，并进行建模，对于四年级的学生来说，具有一定的难度。

利用熟悉的生活情境，通过操作、分析、合作交流发现、理解植树的棵数和间隔数之间的关系是本节课的教学重点；灵活运用所学的知识解决有关的实际问题是本课的教学难点。

（5）教法、学法

教法：

直观演示法、引导发现法、讨论法、讲解法  

学法：

自主探究法、合作交流法

（6）说教学过程

1、猜谜导入、引出课题。

上新课之前，师生一起猜谜语：

（课件显示）两棵小树十个杈，不长叶子不开花，能写会算还会画，天天干活不说话。

在猜谜语的过程中，熟悉和理解“五指四空”，同时也发现我们的手上也隐藏了数学知识，生活中处处有数学；接着教师指出：

手指间的空格，在数学上叫做间隔，每两个手指之间有一个间隔；探讨：

手指数与间隔数的关系（手指数比间隔多1），引出本课探究学习的内容“植树问题”并板书课题。

2、直观演示，解决问题。

通过创设“学校计划在40米长的教学楼前种一排玉兰树的现实情境（每隔5米种一棵），给出“植树可有不同方法的”的提示，先让学生借助直观图探究“一端种、一端不种”的情形，学生画出线段图，在画图过程中理解和感悟“种树的棵数和间隔数之间的关系”得出“种树的棵数=间隔数”的结论。

接着让学生借助线段图或（示意图）探究“两头都种”、“两头都不种”时，间隔数与棵数的关系：

两头都种：

间隔数＋1＝植树棵数

两头都不种：

间隔数-1=植树棵数

3、利用模型解决问题。

波利亚曾说：

“数学教师的首要责任是尽其一切可能来发展学生解决问题的能力。

”上述模型基础上教材给出了例2：

“两端都种”和“路的两侧都种”一个实际问题的两种情形，让学生在合作探究中熟悉、理解和体会“模型思想”给问题的解决带来的方便与便捷。

3、巩固应用。

完成教材第97页“练一练”习题1、2、3、4，在练习中迁移数线段的方法来数角、数三角形、数长方形和正方形。

在练习中感知、感悟和理解，在练习中迁移、转化；在练习中建构起解决此类问题的数学模型。

使学生进一步体会，现实生活中的许多不同事件，都含有与植树问题相同的数量关系，它们都可以利用植树问题的模型来解决它，感悟数学建模的重要意义

4、归纳总结。

各位同学在小组里交流一下自己的表现和所得的收获，然后说给大家听。

让学生再一次感受学习的快乐成就感，从而培养学生归纳总结的能力。

5、说板书。

板书是课堂教学的重要组成部分，教学是，教师抓住了本节关键的节点植树问题的三种情形进行板书进行对比，让学生在比较中、在对比中分析和建构起解决此类问题的数学模型。

教学资源

非封闭、封闭线路上、正方形四周植树问题方法梳理

1、如果在非封闭线路的两端都要植树,那么

　　株数=段数+1=全长÷株距+1

　　全长=株距×（株数－1）

　　株距=全长÷（株数－1）

2、如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么

　　株数=段数=全长÷株距

　　全长=株距×株数

　　株距=全长÷株数

3、如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么

　　株数=段数－1=全长÷株距－1

　　全长=株距×（株数+1）

　　株距=全长÷（株数+1）

4、封闭线路上的植树问题的数量关系如下

　　株数=段数=全长÷株距

　　全长=株距×株数

　　株距=全长÷株数

5、在正方形线路上植树，如果每个顶点都要植树。

棵数=（每边的棵数-1）×边数。

资料链接

20棵树植树问题

数学史上有个20棵树植树问题，几个世纪以来一直享誉全球，不断给人类智慧的滋养，聪明的启迪。

20棵树植树问题：

有20棵树，若每行四棵，问怎样种植，才能使行数更多？

简单地说，就是：

有20棵树，若每行四棵，问怎样种植，才能使行数更多？

20棵树植树问题，早在十六世纪，古希腊、古罗马、古埃及等都先后完成了十六行的排列。

进入十八世纪，德国数学家高斯猜想20棵树植树问题应能达到十八行，但一直未能见其发表绘制出的十八行图谱。

直到十九世纪，此猜想才被美国的娱乐数学大师山姆.劳埃德完成并绘制出了精美的十八行图谱，而后还制成娱乐棋盛行于欧美，颇受人们喜爱（图2）。

进入20世纪，电子计算机的高速发展方兴未艾。

数学上的20棵树植树问题也随之有了更新的进展。

在二十世纪七十年代，两位数学爱好者巧妙地运用电子计算机超越数学大师山姆.劳埃德保持的十八行纪录，成功地绘制出了精湛美丽的二十行图谱，创造了20棵树植树问题新世纪的新纪录并保持至今（图3）。

今天，人类已跨入了21世纪。

20棵树植树问题又被数学家们从新提出：

跨入21世纪，20棵树，每行四棵，还能有更新的进展吗？

数学界正翘首以待。

数学模型

数学模型是运用数理逻辑方法和数学语言建构的科学或工程模型。

数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。

不过我们可以给出如下定义。

"数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。

"具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数字及其他数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。

数学模型（MathematicalModel）是近些年发展起来的新学科，是数学理论与实际问题相结合的一门科学。

它将现实问题归结为相应的数学问题，并在此基础上利用数学的概念、方法和理论进行深入的分析和研究，从而从定性或定量的角度来刻画实际问题，并为解决现实问题提供精确的数据或可靠的指导。

9.2探索数线段的规律

⏹教学内容

教材第96、97页探索数线段的规律

⏹教学提示

探索数线段的规律，是在认识了线段，会用字母表示线段等内容的基础上安排的。

教学的重点是经历数线段、发现、总结规律并根据规律推测的过程，获得探索的活动经验。

难点是有规律的数线段，并用式子表示出来。

课堂活动中，要按照教材的设计意图，抓住每个活动的重点，突破难点，让学生经历由个别到一般规律的总结过程。

发现图形中隐含的简单规律，发展初步的归纳和推理能力；在有规律的数线段，并用式子表示时，学生可能有难度。

⏹教学目标

知识与能力

能发现线段上的点数与线段条数之间的关系，了解数线段、数图形的一般规律和方法。

过程与方法

经历数线段、交流数的方法、发现规律以及应用规律的过程，掌握数线段的方法。

情感、态度与价值观

在总结数线段的规律、用规律进行推算的过程中，发展初步的归纳和推理能力。

⏹重点、难点

重点经历数线段、发现、总结规律并根据规律推测的过程，获得探索的活动经验。

难点有规律的数线段，并用式子表示出来。

⏹教学准备

教师准备：

多媒体教学课件、计数线段空的表格

学生准备：

铅笔、橡皮或计数线段空的表格

⏹教学过程

（一）新课导入

 谈话引入课题。

师：

同学们好！

今天我们学习《探索数线段的规律》。

我们先来回忆一下，线段有什么特点？

线段是直直的，有两个端点，线段还可量出长度。

设计意图：

直奔主题，抓住线段的本质特征：

两个端点，可以度量，为探索计数线段的条数规律打下基础。

（二）探究新知

1、探索计数线段条数的方法。

（课件出示）数一数，一共有几条线段？

师：

上图中有几条线段，你是怎样数出来的？

独立数，小组讨论交流。

（预设）

生：

 以A点为左端点的线段有AB、AC、 AD三条，以B点为左端点的线段有B