四年级奥数题高等难度1.docx

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四年级奥数题高等难度1

四年级行程问题：

多人行程

小红和小强同时从家里出发相向而行．小红每分走52米，小强每分走70米，二人在途中的A处相遇．若小红提前4分出发，且速度不变，小强每分走90米，则两人仍在A处相遇．小红和小强两人的家相距多少米？

班级逻辑问题：

　　四年级有三个班，每班有两个班长，开班会时，每次每班只要一个班长参加。

第一次到会的有A,B,C；第二次到会的有B,D,E；第三次到会的有A,E,F。

请问哪两位班长是同班的？

赛局问题：

　　拳击比赛，有甲1，甲2，乙1，乙2，丙1，丙2，丁1，丁2共8名选手，其中甲1不需要和甲2比，乙1不需要和乙2比．．．．问总共需要多少场比赛？

　几何夹角：

（高等难度）

　　（2005年第10届华杯赛决赛第14题）两条直线相交，四个交角中的一个锐角或一个直角称为这两条直线的"夹角"（见图4）。

如果在平面上画L条直线，要求它们两两相交，并且"夹角"只能是15°、30°、45°、60°、75°、90°之一，问：

（1）L的最大值是多少？

（2）当L取最大值时，问所有的"夹角"的和是多少？

几何夹角答案：

（1）固定平面上一条直线,其它直线与此条固定直线的交角自这条固定直线起逆时针计算,只能是15°、30°、45°、60°、75°、90°、105°、120°、135°、150°、165°十一种角度之一，所以，平面上最多有12条直线。

否则，必有两条直线平行。

（2）根据题意，相交后的直线会产生15°、30°、45°、60°、75°的两条直线相交的情况均有12种；他们的角度和是（15+30+45+60+75）×12=2700°；产生90°角的有第1和第7条直线；第2和第8条直线；第3和第9条直线；第4和第10条直线；第5和第11条直线；第6和第12条直线共6个，他们的角度和是90×6=540°；所以所有夹角和是2700+540=3240°。

　求最小数：

　　有4个自然数，用它们拼成四位数，其中最大数和最小数的和是11588，问拼成的四位数中第二小的数是______。

求最小数答案：

奇偶求和：

（高等难度）

　　下表中有18个数，选出5个数，使它们的和为28，你能否做到？

为什么？

1

3

5

7

9

11

1

3

5

7

9

11

1

3

5

7

9

11

奇偶求和答案：

　　图中18个数全为奇数，我们从中任取5个数，根据"奇数个奇数之和为奇数"，可知无论哪5个数的和总为奇数而28为一偶数，所以是不可能的。

ABC路程：

（高等难度）

　　A、B、C三地一次分布在由西向东的一条道路上，甲、乙、丙分别从A、B、C三地同时出发，甲、乙向东，丙向西。

乙、丙在距离B地18千米处相遇，甲、丙在B地相遇，而当甲在C地追上乙时，丙已经走过B地32千米。

试问：

A、C间的路程是多少千米？

ABC路程答案：

    依题意，乙速：

丙速为

　　甲速：

丙速为

　　所以A、C间距离为48+72=120千米

个位数字：

（高等难度）

　　求

的个位数字。

个位数字答案：

　　由128÷4=32知，28128的个位数字与84的个位数字相同，等于6．由29÷2=14L1知，2929的个位数字与91的个位数字相同，等于9．因为6<9，在减法中需向十位借位，所以所求个位数字为16-9=7．

修水渠问题：

（高等难度）

　某工程队预计30天修完一条水渠，先由18人修了12天后完成工程的一半，如果要提前9天完成，还要增加多少人？

修水渠问题答案：

　　18人修12天水渠共：

18×12=216个劳动日，故总工程量为216×2=432个劳动日，还剩216个劳动日，现需30?

12?

9=9（天）完成，故需216÷9=24（人），所以还需补6人．

AB间距：

（高等难度）

　　甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇．求A、B两地间的距离？

AB间距答案：

　　第一次相遇意味着两车行了一个A、B两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个A、B两地间的距离．当甲、乙两车共行了一个A、B两地间的距离时，甲车行了95千米，当它们共行三个A、B两地间的距离时，甲车就行了3个95千米，即95×3=285（千米），而这285千米比一个A、B两地间的距离多25千米，可得：

95×3?

25=285?

25=260（千米）．

阴影部分面积：

（高等难度）

　　下图大小两个正方形有一部分重合，两块没有重合的阴影部分面积相差是多少？

（单位：

厘米）

阴影部分面积答案：

　　用A表示两个正方形重合部分的面积，用B表示除重合部分外大正方形的面积，用C表示除重合部分外小正方形的面积．据题意，要求（B-C）是多少平方厘米，即求（B+A）-（C-A）的面积，（B+A）=6×6=36（平方厘米）， （C+A）=3×3=9（平方厘米），因此36-9=27（平方厘米）就是所求的两块没有重合的阴影部分面积差．

舞蹈节目：

（高等难度）

　　一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目。

问：

（1）如果4个舞蹈节目要排在一起，有多少种不同的排列顺序？

（2）如果要求每两个舞蹈节目之间至少安排一个演唱节目，一共有多少种不同的安排顺序？

舞蹈节目答案：

　　4个舞蹈节目排在一起，现将4个舞蹈节目排序，有

种方法，再将这4个舞蹈节目捆绑在一起，视为1个节目，加上6个演唱节目那么就变成7个节目混排，有种方法，所以共有

种排列顺序。

游泳路程：

（高等难度）

　　两名游泳运动员在长为30米的游泳池里来回游泳，甲的速度是每秒游1米，乙的速度是每秒游0.6米，他们同时分别从游泳池的两端出发，来回共游了5分钟。

如果不计转向的时间，那么在这段时间内两人共相遇多少次？

游泳路程答案：

　　有甲、乙第n次相遇时，甲、乙共游了30×（2n－1）米的路程；

　　于是，有30×（2n－1）＜5×60×（1＋0.6）＝480，（2n－1）＜16，n可取1，2，3，4，5，6，7，8；有30×（2m－1）＜5×60×（1－0.6）＝120，（2m－1）＜4，m可取1，2；于是，甲、乙共相遇8＋2＝10次。

巧算公式：

（高等难度）

 巧算公式答案：

（高等难度）

电车维修：

（高等难度）

　　电车公司维修站有7辆电车需要维修，如果用一名工人维修这7辆电车的修复时间分别为12，17，8，18，23，30，14分钟。

每辆电车每停开1分钟的经济损失是11元。

现在由3名工作效率相同的维修工人各自单独工作，要是经济损失减到最小程度，那么最小的损失是多少元？

电车维修答案：

　　因为3个工人各自单独工作，工效又相同，因此，每人维修的时间应尽量相等，设需维修的车辆分别为：

A、B、C、D、E、F、G，修复的时间依次是12、17、8、18、23、30、14分钟，则第一个工人应修复的车是：

C、G、D；第二个工人应修复的车是：

B、E；第三个工人应修复的车是：

A、F。

有因为要求把损失减少到最低程度，所以，每个人应尽量先修复需短时间修好的车辆，这样，可以按以下的顺序开修：

第一个人：

8，14，18；

　四位数：

（高等难度）

　　如果一个四位数与一个三位数的和是1999，并且四位数和三位数是由7个不同的数字组成的，那么这样的四位数最多能有多少个？

四位数答案：

　　四位数的千位数字是1，百位数字（设为a）可在0、2、3、4、5、6、7中选择，这时三位数的百位数字是9－a；四位数字的十位数字设为b，可在剩下的6个数字中选择，三位数的十位数字是9－b。

四位数的个位数字c可以在剩下的4个数字中选择，三位数的个位数字是9－c。

因此，所说的四位数有7×6×4=168个。

上下坡：

（高等难度）

　　小明从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路、一半下坡路。

小明上学走两条路所用的时间一样多。

已知下坡的速度是平路的1.5倍，那么上坡的速度是平路的多少倍？

　上下坡答案：

　　设路程为180，则上坡和下坡均是90。

设走平路的速度是2，则下坡速度是3。

走下坡用时间90/3=30，走平路一共用时间180/2=90，所以走上坡时间是90-30=60　走与上坡同样距离的平路时用时间90/2=45　因为速度与时间成反比，所以上坡速度是下坡速度的45/60=0.75倍。

时间路程：

（高等难度）

　　甲、乙两地相距6千米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分钟行80米，后一半时间平均每分钟行70米。

问他走后一半路程用了多少分钟？

时间路程答案：

　　解法１、全程的平均速度是每分钟（80+70）/2=75米，走完全程的时间是6000/75=80分钟，走前一半路程速度一定是80米，时间是3000/80=37.5分钟，后一半路程时间是80-37.5=42.5分钟

　　解法2：

设走一半路程时间是x分钟，则80*x+70*x=6*1000，解方程得：

x=40分钟因为80*40=3200米，大于一半路程3000米，所以走前一半路程速度都是80米，时间是3000/80=37.5分钟，后一半路程时间是40+（40-37.5）=42.5分钟

　　答：

他走后一半路程用了42.5分钟。

页码数：

（高等难度）

　　上下两册书的页码共有687个数字，且上册比下册多5页，问上册有多少页？

页码数答案：

　　分析：

一位数有9个数位，二位数有180个数位，所以上、下均过三位数，利用和差问题解决：

和为687，差为3*5=15，大数为：

（687+15）÷2=351个（351-189）÷3=54，54+99=153页。

编排页码：

（高等难度）

　　一本书从第1页开始编排页码，共用数字2355个，那么这本书共有多少页？

　编排页码答案：

　　分析：

按数位分类：

一位数：

1～9共用数字1*9=9个；二位数：

10～99共用数字2*90=180个；三位数：

100～999共用数字3*900=2700个，所以所求页数不超过999页，三位数共有：

2355-9-180=2166，2166÷3=722个，所以本书有722+99=821页。

速算问题：

（高等难度）

　　如果两个四位数的差等于8921，那么就说这两个四位数组成一个数对，问这样的数对共有多少个？

速算问题答案：

　　分析：

从两个极端来考虑这个问题：

最大为9999-1078=8921，最小为9921-1000=8921，所以共有9999-9921+1=79个，或1078-1000+1=79个