常微分方程平衡点及稳定性研究报告.docx
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常微分方程平衡点及稳定性研究报告
摘要
本文给出了微分方程稳定性的概念，并举了一些例子来说明不同稳定性定义之间的区别和联系。
这些例子都是通过求出方程解读解的方法来讨论零解是否稳定。
在实际问题中提出的微分方程往往是很复杂的，无法求出其解读解，这就
需要我们从方程本身来判断零解的稳定性。
所以我们讨论了通过Liapunov稳定
性定理来判断自治系统零解的稳定性，并用类似的方法讨论了非自治系统零解的稳定性。
在此基础上，讨论了一阶和二阶微分方程的平衡点及其稳定性，这对其研究数学建模的稳定性模型起到很大的作用，并且利用相关的差分方程的全
局吸引性研究了具时滞的单种群模型
的平衡点X=1的全局吸引性，所获结果改进了文献中相关的结论关键词：
自治系统平衡点稳定性全局吸引性
Abstract
Inthispaper,wegivedtheconceptionsofdifferential
equationstability.Simultaneouslyanumberofexamplestoillustratethedifferencebetweenthedefinitionofdifferentstabilityandcontact.Theseexamplesareobtainedbyanalyticalsolutionequationmethodtodiscussthestabilityofzerosolution.Practicalissuesraisedintheoftenverycomplicateddifferentialequations,analyticalsolutioncannotbeobtained,whichrequiresustodeterminefromtheequationitself,thestabilityofzerosolution.Sowediscussedthestabilitytheoremtodeterminethroughthestabilityofzerosolutionofautonomoussystems,andusesimilarmethodstodiscussthenon-zerosolutionofautonomoussystemstability.Onthisbasis,wediscussastepandthesecond-stepandthestability,whichplaysthemajorroletoitsstabilityofthemodel,andtheglobalattractivityofthepositiveequilibriumx=1ofthefollowingdelaysinglepopulationmodel
1-Nt-Nt=rtNt
1-cN（t-T）
isinvestigatedbyusingthecorrespondingresultrelatedtoadifferenceequation.Theobtainedresultsimprovesomeknownresultsintheliterature.
KeyWords:
autonomoussystem0equilibriumpoint。
stability。
delay。
globallyasymptoticstability。
globalattractivity
摘要I
Abstract
目录I
第1章引言1
第2章微分方程平衡点及稳定性分析3
2.1平衡点及稳定性定义3
2.2自治系统零解的稳定性4
2.2.1V函数4
2.2.2Liapunov稳定性定理5
2.3非自治系统的稳定性8
2.3.1V函数和k类函数8
2.3.2零解的稳定性10
2.4判定一阶微分方程平衡点稳定性的方法
2.4.1相关定义14
2.4.2判定平衡点稳定性的方法142.5判定二阶微分方程平衡点稳定性的方法
2.5.1相关定义15
2.5.2判定平衡点稳定性的方法15
第3章一类时滞微分方程平衡点的全局吸引性3.1差分方程（3-7＞的全局渐近稳定性18
3.2微分方程（3-1＞的全局吸引性19
第4章常微分方程稳定性的一个应用23
第5章结论25
参考文献27
致谢29
14
15
17
个人资料整理__仅限学习使用_
第1章引言
20世纪以来，随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展，在自然科学＜如物理
化学生物天文）和社会科学＜如工程经济军事）中的大量问题都可以用微分方程来描述，尤其当我们描述实际对象的某些特性随时间＜空间）而演变的过
程，分析它的变化规律，预测它的未来形态时，要建立对象的动态模型，通常要用到微分方程模型，而稳定性模型的对象仍是动态过程，而建模的目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势、平衡状态是否稳定。
稳定性模型不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。
20世纪50〜60年代，在美国贝尔曼（R.Bellman＞、莱夫谢茨（S.Lefschetz＞及拉萨尔（J.P.LaSalle＞等的大力介绍和推动下，稳定理论在世界范围内迅速发展起来。
在中国，则在秦元勋、张学铭、许淞庆等的大力提倡下，形成一支可观的研究队伍。
叶鲁金等研究李雅普诺夫第1方法中一次近似系统特征数与稳定性保持问题的关系，并进一步探讨特征数的性质与计算等。
50年代马尔金提出特征数的
稳定性问题，贝洛夫等则研究了最大、最小特征数的上、下稳定性和特征数的重合等问题。
对于李雅普诺夫第2方法，切塔也夫等研究李雅普诺夫稳定性条件。
提出了一致稳定性等概念，建立了著名的切塔也夫不稳定定理。
同时研究了李雅普诺夫稳定性条件的必要性。
通过分类并应用微分方程的解构造V函数，基本上
解决了各种稳定性定理的逆问题。
关于稳定性定理条件的研究，除了个别条件的削弱，例如dvdt定号性的减
弱等条件之外，最有名的是向量李雅普诺夫函数和微分不等式比较方法的引入。
60年代贝尔曼和马特洛索夫通过向量V函数将微分方程稳定性的研究转化为以V函数为自变量的另一微分方程的正解的稳定性的研究。
李雅普诺夫定义的稳定性原是局部性质的概念，在实际应用中往往要考虑全相空间的情形。
50年代初巴尔巴辛和克拉索夫斯基引进了无限大函数的概念把李雅普诺夫定理推广到全空间，建立了全局稳定性理论。
其结果后来广泛应用于自动调节系统、电力系统和生态系统中。
早在60年代，拉萨尔便应用拓朴动力系统的极限集概念建立了“不变性原理”。
用李雅普诺夫函数刻划微分方程解的极限集位置。
70年代以来，不变性
原理用于全局稳定性的各种研究。
从力学问题中还提出了部分变元稳定性概念。
通过对V函数条件的改进也得到了部分变元稳定性的有关定理。
70年代以来，稳定性理论得到了进一步的发展。
除了50〜60年代发展起
来的控制系统的绝对稳定性、临界情形稳定性、向量李雅普诺夫函数和比较方继续得到发展外，在科学技术发展的推动下还提出了若干新的问题和方法。
同时，稳定性理论与方法，已广泛地渗透到其他学科中去。
李雅普诺夫方法已不限于研究稳定性问题，也可应用于研究解的有界性、振动性等。
吉泽太郎（T.Yoshizawa＞曾深入研究概周期微分方程的稳定性、有界性。
同时，利用李雅普诺夫函数研究周期解、概周期解的存在性。
李雅普诺夫稳定性理论与方法已渗透到各类学科中去。
对动力系统、泛函微分方程、随机微分方程、微分积分方程、含脉冲系统及偏微分方程建立了相应的稳定性理论。
李雅普诺夫特征数在浑沌（Chaos＞和分形（Fractals〉研究中也起着重要作用。
今后，稳定性理论将继续在新技术的应用中发挥作用，并在控制理论、偏微分方程、微分积分方程等学科中得到发展。
同时，动力系统理论、非线性科学的发展和电子计算机的应用将为稳定性理论的发展开拓新的方向。
第2章微分方程平衡点及稳定性分析
2.1平衡点及稳定性定义
初始值的微小变化对不同系统的影响不同。
例如初始值问题
dx
axx（0）二x）t_O，Xq_O（2-1＞
dt
的解为x（t）=x°eat.x=0是（2-1＞的一个解，我们称它为零解。
当a■0时，无论
Xo多小，只要x0式0，当tT+比时，总有X（t）T旳，即初始值的微小变化会导致解的误差任意大；而当a：
：
：
0时，x（t^x0eat与零解的误差不会超过初始误差x0，且随着t的增加很快就会消失，所以当X。
很小时，x（t）与零解的误差也
很小。
这个例子表明a0时（2-1＞的零解是“不稳定的”，而当a：
：
：
0时（2-1＞的零解是“稳定”的。
下面我们就给出微分方程零解稳定的严格定义。
设微分方程
空二f（t,x），x（t°）=x0，xRn（2-2＞
dt
满足解的存在惟一性定理的条件，其解x（t＞xt0：
x的存在区间是（-：
：
「：
：
），f（t,x）还满足条件
f（t,0）=0（2-3＞
（2-3＞保证x（t）二0是（2-2＞的解，我们称它为零解。
定义2.1若对任意给定的ea0，都能找到6=6^,t0），使得当||x＜6时
（2-2＞的解xx0）满足
x（t,t°,x0）2，t_t°（2-4＞
则称（2-2＞的零解是稳定的，否则称（2-2＞的零解是不稳定的。
注1（2-2＞零解稳定的意义是对任意给定的半径；，总能在Rn中找到一个以原点为中心、半径为•的开球B，使得（2-2＞在t二t0时刻从B、.出发的解曲线当tt0时总停留在半径为；的开球B；内。
注2（2-2＞的零解不稳定的数学描述是至少存在一个；00，使得对任意的
0，在开球内至少有一个点x0和一个时刻t1t0，使得x（t,t0,x0）一:
.
0
注3对（2-2＞的任何一个解都可以定义稳定性。
事实上，若x（t）二x（t,t0,x）是（2-2＞的一个解，为了考察其他解x（t）=x（t,t0,x0）和它的接近程度，我们就可
以令y（t）=x（t）-x（t），带入（2-2＞得
dy（t）--
f（t,y（t）x（t））-f（t,x（t））（2-5＞dt
这样一来，（2-2＞解x（t）的稳定性就转化为（2-2＞零解的稳定性。
所以在本文的讨论中，我们仅研究（2-2＞零解的稳定性。
定义2.2设U是Rn中包含原点的一个开区域，对所有x'U和任意给定的8＞0，总能找到一个T=TG，1o,x0），使得当t〉to+T时，有||x（t,to,x0）|£名成立，我们就称u是（2-2＞零解的一个吸引域，这时称（2-2＞的零解是吸引的。
U是（2-2＞零解的一个吸引域，更简单的描述是对所有x°・U，均有limx（tox0今0.即从U中出发的解趋于0。
t，■:
:
定义2.3若（2-2＞的解释稳定的，又是吸引的，则称（2-2＞的零解是渐近稳定的；如果（2-2＞的零解的吸引域是整个Rn，则称（2-2＞的零解是全局渐近稳定
的。
定义2.4若定义2.1中的「•与t0无关，则称（2-2＞的零解是一致稳定的；若定义2.2中的T与to和x0无关，则称（2-2＞的零解是一致吸引的；若（2-2＞的零解是一致稳定和一致吸引的，则称（2-2＞的零解是一致渐近稳定的。
定义2.5若有正数：
•，对任意给定的；0，有0，使得当x0：
：
：
时有x（t,t。
x0）：
：
：
则称（2-2＞的零解是指数渐近稳定的。
2.2自治系统零解的稳定性
前面给出了微分方程稳定性的概念，并举了一些例子来说明不同稳定性定义之间的区别和联系。
这些例子都是通过求出方程解读解的方法来讨论零解是否稳定。
在实际问题中提出的微分方程往往是很复杂的，无法求出其解读解，这就需要我们从方程本身来判断零解的稳定性，Liapunov直接方法就是解决这
一问题的有效途径。
这一节中我们先引入V函数的定义，然后再给出Liapunov稳定性定理。
2.2.1V函数
设函数V（x）在Rn中原点的某邻域U中有定义，V（x）在U中连续可微，且满足V（0）=0。
定义2.6若除原点外对所有U均有V（x）0（V（x）：
：
：
0），则称V（x）为正定函数（负定函数〉；若对所有xU均有V（x）—0（V（x）乞0），则称V（x）为半正定函数或常正函数（半负定函数或常负函数＞;若U中原点的任一邻域内V（x）既可取正值，也可取负值，则称V（x）为变号函数。
例如，V（x）=x2x|*x；是R3中的正定函数，V（x）=x；•x；是R3中的半正定函数，而V（x）二x；_x2是R3中的变号函数。
由定义2.6看出，V（x）正定时必是半正定的。
另外正定和半正定与空间的维数和邻域U的大小有关。
例如V（x）=x2是R2中的正定函数，而它在R3中仅是半正定的。
利用化为极坐标的方法可以看出，函数
V（x）x；-x：
-x；在R2中的区域xfx；:
:
:
中是正定函数，而在
x；x；：
：
2中却不是正定函数。
最常用的V函数是二次型V（x）=xAx，因为二次型的表达式简单，其符号类型可以利用线性代数中有关A的特征值理论来判定，且一些复杂的V函数往往可以通过对二次型的修改得到。
一般V函数的符号判断十分困难，通常是把V（x）在原点展开为Taylor级数
V（x）叫匕）Vmi（x）..
其中Vm（x），Vm1（x）分别是x的m次、次齐次函数，根据V（x）展开式中的最低次项，在许多情况下就可以确定V（x）在原点邻域内的符号。
对正定函数V（x），容易证明当c0充分小时，V（x）=c是Rn中包围原点的闭曲面，且随着c趋于零，V（x）=c缩向坐标原点。
事实上，由正定函数的定义可知，在U内的闭曲面xr上，V（x）有正的下界；，当0：
：
：
c”：
；时，在连接原点与||x|=6任一点的任一条连续曲线的线段上至少有一点x0，使V（x°）=c，所以V（x）=c是包围原点的闭曲面。
222Liapunov稳定性定理
设n维自治微分方程
dx
f（x）,f（0）=0（2-6＞
dt
的解为X（N（t）,X2（t）,|||,Xn（t））•。
为了研究（2-6＞解的稳定性，考察随时间变化时
V（x（t））的变化情况。
将V（x（t））视为t的复合函数，关于t求导得
dV（x（t））=汎dX1‘VdX2.川mgxn,汐（x）fk（x）另（x）（2-7＞
dt:
兄dt：
X2dt：
Xndtkd:
Xk
（2-7＞为函数V（x）沿着（2-7＞轨线的全导数。
定理2.1若有原点的邻域U和一个正定（负定〉函数V（x），使得V（x）是半负定（半正定＞的，则系统（2-6＞的零解是稳定的；且使得V（x）负定（正定＞时，（2-6＞的零解是渐近稳定的。
定理2.1的几何意义是函数V（x）正定时，V（x）=c是包围原点的闭曲面族，且随着c的减少而缩向原点。
当全导数V（x）半负定时，在t二t。
时过x0的轨
线x二x（t）上，V（x（t））的值不会增加，（2-6＞的轨线只能停留在V（x）二V（x0）内，所以原点是稳定的。
当V（x）负定时，原点邻域内（2-6＞的轨线不断跑向闭曲面族V（x）二c中更小的一个闭曲面，最终趋于原点，所以（2-6＞的零解是渐近稳定的。
该几何意义也正是我们证明定理2.1的基本思想。
证设V（x）正定，对任意给定的g＞0（不妨假设闭球=4,|x||w』在U中〉，取
m=minV（x）0，
x:
;
则当丨:
：
:
m时，V（x）d的点x必全部位于原点的；邻域内。
由V（x）的连续性知，必有6＞0，使得当||x||c6时V（x）cl。
由于V（x）"，当|x＜6时，对一切tZt°有，所以V（x（t））兰V（x0）cl，当tZto时，||x（t）||vE。
这就说明了V（x）半负定时，（2-6＞的零解时稳定的。
当V（x）负定时，（2-6＞的零解稳定，只要tlim_x（t）=0，即可证明（2-6＞的零解渐近稳定。
利用反证法，设（2-6＞的零解不是渐近稳定的，则至少有一个从上述原点的■■:
邻域内某点出发的解x（t），使得」im_x（t）=0。
由于V（x）负定，故V（x（t））单调下降，从而由V的正定性知必有lim_V（x（t））二V*・0,且t_t0时V（x（t））-V*。
由V（x）的连续性知，必存在0：
：
：
「，使得t_t。
时x（t）•。
又由于V（x）是负定的，必有：
£-0，在区域「x|".内，V（x）：
：
：
-「：
0，
由（2-7＞式得
dt
对（2-8＞式两边积分得
0
V（x（t））"（x）_a（t_t0）（2-9>
（2-9＞表明limV&（t））__：
这与V（x（t））-V*0矛盾。
故（2-6＞的零解是渐近稳
t—和
定的。
d2xdx
2x=0
例2.1讨论系统dtdt零解的稳定性
X2二奴
解令dt，将该方程化为等价的微分方程组
dxi!
dtdx2_dt
令VXi,X2=3xf2X1X22x|，显然VXi,X2是正定函数，容易求得VXi,X2沿（2-10＞轨线的全导数为VXi,X2]=-2Xi2x|，它是负定函数，由定理2.1知该系统的零解是渐近稳定的。
应当注意，如果取Vx1,x2=-1xfxf，那么，所求得的VXjX?
=-x；，
VXi,X2是半负定的，由定理2.1只能得到（2-10＞的零解稳定这一结论，得不到
渐近稳定性。
这表明构造适当的V函数是非常重要的。
当一个系统的零解事实上是渐近稳定时，我们有可能构造出V函数用定理2.1来证明零解是渐近稳定的。
也可能所构造出V函数仅能证明零解是稳定的，也可能构造不出V函数，
连零解的稳定性也无法得到。
例2.1也提示我们在证明零解渐近稳定时，Vx负定这一条件有可能再补
充其他条件后削弱为半负定，这就是下面的定理2.2，它降低了Vx负定这一
条件，给出了判定渐近稳定性的又一结果。
定理2.2设在原点的邻域U内存在正定函数1，它沿着（2-6＞轨线的全导数
Vx是半负定的，如果集合
M=x|Vx=0"
内除原点x=0外，不在包含系统的其他轨线，则（2-6＞的零解是渐近稳定的。
证由定理2.1知，在定理2.2的条件下（2-6＞的零解是稳定的。
于是对给定
的＞0（不妨假设Bg={x||仪||兰気}含在U内〉，可以找到6＞0，使得|x0||＜右
时，（2-6＞满足x（t0）=x0的解x（t）二x（t,t0,x0）;当t-t0时满x（t）|”％，且由
V咗0易见Vxt是t的单调非增有界函数，故Vxt必有极限，令
tiimVxt"一0
由于x（t,t0,x0啲正半轨有界，故它的国极限。
0非空，若和"：
，贝Uvxi=v*，
0.这表明M，从而有。
0UM。
由于00是由（2-6＞的整条轨线组成，而在M中除x二0外不再包含（2-6＞的其他轨线，故有门:
Jd。
于是有limxt,t°,x°i；=：
0。
零解的渐近稳定性得证。
例2.2讨论非线性振动系统
dx1
i茨=x2
idt（2-11＞
dd7■-fx1-gx2
零解的渐近稳定性。
其中fX和gx都是连续函数，且满足下列条件
（1>f0\^0,x1f捲i、0为=0,
（2>g0"xgX20x^-0
1x〔
解选取V（x知，V^k）是正定函数计算va’x?
）沿着（2-11＞的轨线的全导数得V（n，X2）一x?
g他.由（2＞知V（x1,X2）
是半负定的。
又因为集合
M='论公2|V（x「x2）=0<=：
论公2|x2=0f
由（2-11＞可见X2=0时，满足方程组的解必有为=0，从而集合M内除（0,0）外不再包含（2-11＞的其他轨线，所以（2-11＞的零解是渐近稳定的。
2.3非自治系统的稳定性
这一节研究非自治系统
dx
—二ft,x,ft,0=0（2-12＞dt
零解的稳定性问题，将建立与上一节类似的定理。
2.3.1V函数和k类函数
设I=，U是Rn中包含闭球Bhhx|x乞h?
的一个邻域，Vt,x是
IU上定义的连续可微函数，W（x）是U上定义的连续可微函数。
定义2.7若有正定（负定〉函数W（x），使得
V（t,x）—W（x）Vt,x＜W（x）
在Iu上成立，且Vt,0=0,则称Vt,x是IU上的正定（负定〉函数。
若
Vt,x-0Vt,x＜0，则称Vt,x是半正定函数（半负定函数＞。
注：
分析定理2.1的证明过程，不难发现，正定（负定〉函数下述性质是证明的关键所在，即||x||沙时，V（x）兰I＞0（||时V（xTc0＞。
对于
Vt,x而言，若仅要求Vt,0=0，Vt,x00，则上述性质不一定能保持。
例如Vt,Xi,X2二e±xi。
这就是为什么要通过Vx的正定性来定义Vt,x正定的原因。
例如Vt,x2=1•e」x2x2是IR2的正定函数，而t22
Vt,Xi,X2i；=e-xix2仅是半正定函数。
定义2.8若Wx是Rn的正定函数，且|xlimW（x）=:
:
，则称Wx是Rn上的无穷大正定函数。
定义2.9若有正定函数W（（x），使得V（t,x）兰叫x），则称V（t,x）具有无穷小上界；若有无穷大正定函数W2x，使得Vt,x_Wx，则称Vt,x具有无穷大下界。
例如对Vt,Xi,X2-e1xi2x|，可以取WiXi,X2i；h[1•e-xi2x|，
t22
Wi（Xi,X2）=（1+e—[Xi+X2），所以有W?
（X,x2兰V,t,x）Wx（W,2即卩
Vt,Xj,x2是具有无穷小上界和无穷大下界的函数。
函数Vt,x具有无穷小上界的特征是当Vt,x_l0时，必有正数「•，使得x|八，即x充分小时，Vt,x可以充分小。
当Vt,x三Vx时，这就等价于V0=0，Vx连续。
由此不难理解引入无穷小上界的原因。
而Vt,x具有无穷大下界的特征是当x充分大时，Vt,x可以任意大。
定义2.i0设「r是R>R.的连续函数R.-r|r_0?
，且「0=0,
:
r严格单调递增，则称:
r是k类函数，记为:
rK。
若「r还满足
|im_「r=：
:
，则称「r为无穷大k类函数。
k类
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