常微分方程平衡点及稳定性研究报告.docx

1、常微分方程平衡点及稳定性研究报告摘要本文给出了微分方程稳定性的概念，并举了一些例子来说明不同稳定性定义 之间的区别和联系。这些例子都是通过求出方程解读解的方法来讨论零解是否 稳定。在实际问题中提出的微分方程往往是很复杂的 ，无法求出其解读解，这就需要我们从方程本身来判断零解的稳定性。所以我们讨论了通过 Liapunov稳定性定理来判断自治系统零解的稳定性，并用类似的方法讨论了非自治系统零解 的稳定性。在此基础上，讨论了一阶和二阶微分方程的平衡点及其稳定性，这 对其研究数学建模的稳定性模型起到很大的作用 ，并且利用相关的差分方程的全局吸引性研究了具时滞的单种群模型的平衡点X =1的全局吸引性，所

2、获结果改进了文献中相关的结论 关键词：自治系统 平衡点 稳定性 全局吸引性AbstractIn this paper,we gived the con cepti ons of differe ntialequationstability.Simultaneously a number of examples to illustrate the difference betwee n the defi niti on of differe nt stability and con tact. These examples are obta ined by analytical solution

3、 equation method to discuss the stability of zero solution. Practical issues raised in the ofte n very complicated differe ntial equati ons, an alytical solution can not be obtained, which requires us to determine from the equation itself, the stability of zero solution. So we discussed the stabilit

4、y theorem to determine through the stability of zero solution of autonomous systems, and use similar methods to discuss the non-zero solution of autonomous system stability. On this basis,we discuss a step and the sec on d-step and the stability, which plays the major role to its stability of the mo

5、del, and the global attractivity of the positive equilibrium x = 1 of the following delay single population model1-N t - N t =r t N t1 -cN (t -T )is inv estigated by using the corresp onding result related to a differe nce equati on. The obtained results improve some known results in the literature.

6、Key Words: autonomous system0 equilibrium point。 stability。 delay。 globally asymptotic stability。global attractivity摘要IAbstract 目录I第1章引言1第2章微分方程平衡点及稳定性分析 32.1平衡点及稳定性定义32.2自治系统零解的稳定性42.2.1V 函数 42.2.2Liapunov稳定性定理52.3非自治系统的稳定性82.3.1 V函数和k类函数82.3.2零解的稳定性102.4判定一阶微分方程平衡点稳定性的方法2.4.1相关定义142.4.2判定平衡点稳定性的方法

7、14 2.5判定二阶微分方程平衡点稳定性的方法2.5.1相关定义152.5.2判定平衡点稳定性的方法15第3章一类时滞微分方程平衡点的全局吸引性 3.1差分方程（3-7的全局渐近稳定性183.2微分方程（3-1的全局吸引性19第4章常微分方程稳定性的一个应用 23第5章结论25参考文献27致谢29141517 个人资料整理_仅限学习使用_第1章引言20世纪以来，随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动 力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展，在自然科学 如物理化学生物天文）和社会科学 如工程经济军事）中的大量问题都可以用微分 方程来描述，尤其当我们描述实际对象的某些特性

8、随时间 空间）而演变的过程，分析它的变化规律，预测它的未来形态时，要建立对象的动态模型，通常 要用到微分方程模型，而稳定性模型的对象仍是动态过程，而建模的目的是研 究时间充分长以后过程的变化趋势、平衡状态是否稳定。稳定性模型不求解微 分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。20世纪 5060年代，在美国贝尔曼（R . Bellman、莱夫谢茨 （S. Lefschetz及拉萨尔（J. P. LaSalle等的大力介绍和推动下，稳定理论在世 界范围内迅速发展起来。在中国，则在秦元勋、张学铭、许淞庆等的大力提倡 下，形成一支可观的研究队伍。叶鲁金等研究李雅普诺夫第1方法中一次近似系统

9、特征数与稳定性保持问 题的关系，并进一步探讨特征数的性质与计算等。 50年代马尔金提出特征数的稳定性问题，贝洛夫等则研究了最大、最小特征数的上、下稳定性和特征数的 重合等问题。对于李雅普诺夫第2方法，切塔也夫等研究李雅普诺夫稳定性条件。提出 了一致稳定性等概念，建立了著名的切塔也夫不稳定定理。同时研究了李雅普 诺夫稳定性条件的必要性。通过分类并应用微分方程的解构造 V函数，基本上解决了各种稳定性定理的逆问题。关于稳定性定理条件的研究，除了个别条件的削弱，例如 dvdt定号性的减弱等条件之外，最有名的是向量李雅普诺夫函数和微分不等式比较方法的引 入。60年代贝尔曼和马特洛索夫通过向量 V函数将微

10、分方程稳定性的研究转化 为以V函数为自变量的另一微分方程的正解的稳定性的研究。李雅普诺夫定义的稳定性原是局部性质的概念，在实际应用中往往要考虑 全相空间的情形。50年代初巴尔巴辛和克拉索夫斯基引进了无限大函数的概念 把李雅普诺夫定理推广到全空间，建立了全局稳定性理论。其结果后来广泛应 用于自动调节系统、电力系统和生态系统中。早在60年代，拉萨尔便应用拓朴动力系统的极限集概念建立了“不变性原 理”。用李雅普诺夫函数刻划微分方程解的极限集位置。 70年代以来，不变性原理用于全局稳定性的各种研究。从力学问题中还提出了部分变元稳定性概 念。通过对V函数条件的改进也得到了部分变元稳定性的有关定理。70年

11、代以来，稳定性理论得到了进一步的发展。除了 5060年代发展起来的控制系统的绝对稳定性、临界情形稳定性、向量李雅普诺夫函数和比较方 继续得到发展外，在科学技术发展的推动下还提出了若干新的问题和方法。同 时，稳定性理论与方法，已广泛地渗透到其他学科中去。李雅普诺夫方法已不限于研究稳定性问题，也可应用于研究解的有界性、 振动性等。吉泽太郎（T. Yoshizawa曾深入研究概周期微分方程的稳定性、有 界性。同时，利用李雅普诺夫函数研究周期解、概周期解的存在性。李雅普诺夫稳定性理论与方法已渗透到各类学科中去。对动力系统、泛函 微分方程、随机微分方程、微分积分方程、含脉冲系统及偏微分方程建立了相 应的

12、稳定性理论。李雅普诺夫特征数在浑沌 （Chaos和分形（Fractals研究中也起 着重要作用。今后，稳定性理论将继续在新技术的应用中发挥作用，并在控制 理论、偏微分方程、微分积分方程等学科中得到发展。同时，动力系统理论、 非线性科学的发展和电子计算机的应用将为稳定性理论的发展开拓新的方向。第2章微分方程平衡点及稳定性分析2.1平衡点及稳定性定义初始值的微小变化对不同系统的影响不同。例如初始值问题dxax x(0)二 x)t_O， Xq_O (2-1dt的解为x(t) =xeat.x =0是(2-1的一个解，我们称它为零解。当 a 0时，无论Xo多小，只要x0式0，当tT +比时，总有X(t)

13、T旳，即初始值的微小变化会 导致解的误差任意大；而当 a：0时，x(t x0eat与零解的误差不会超过初始误 差x0，且随着t的增加很快就会消失，所以当 X。很小时，x(t)与零解的误差也很小。这个例子表明a 0时(2-1的零解是“不稳定的”，而当 a：0时(2-1的 零解是“稳定”的。下面我们就给出微分方程零解稳定的严格定义。设微分方程空二 f (t, x)， x (t) = x0， x Rn (2-2dt满足解的存在惟一性定理的条件，其解x (t x t 0： x的存在区间是 (-：)，f (t, x)还满足条件f (t, 0) = 0 (2-3(2-3保证x(t)二0是(2-2的解，我们

14、称它为零解。定义2.1若对任意给定的e a0，都能找到6 = 6,t0)，使得当|x6时(2-2的解 xx0)满足x(t,t, x0) 2，t_t(2-4则称(2-2的零解是稳定的，否则称(2-2 的零解是不稳定的。注1(2-2零解稳定的意义是对任意给定的半径；，总能在Rn中找到一个以 原点为中心、半径为的开球B，使得(2-2在t二t0时刻从B、.出发的解曲线当 t t0时总停留在半径为；的开球B ；内。注2 (2-2的零解不稳定的数学描述是至少存在一个 ；0 0，使得对任意的0，在开球内至少有一个点x0和一个时刻t1 t0，使得x(t,t0, x0) 一 :.0注3对(2-2的任何一个解都可

15、以定义稳定性。事实上，若 x(t)二x(t,t0, x ) 是(2-2的一个解，为了考察其他解 x(t)= x(t,t0, x0)和它的接近程度，我们就可以令 y(t) = x(t) - x(t)，带入(2-2 得dy(t) - -f (t, y(t) x(t) -f (t, x(t) (2-5 dt这样一来，(2-2解x(t)的稳定性就转化为(2-2零解的稳定性。所以在本文 的讨论中，我们仅研究(2-2零解的稳定性。定义2.2设U是Rn中包含原点的一个开区域，对所有 x U和任意给定的 80，总能找到一个 T=TG，1o, x0)，使得当 tto+T 时，有 |x (t,to, x 0)|

16、名成 立，我们就称u是(2-2零解的一个吸引域，这时称(2-2的零解是吸引的。U是(2-2零解的一个吸引域，更简单的描述是对所有xU，均有 limx (to x0今0.即从U中出发的解趋于0。t ，:定义2.3若(2-2的解释稳定的，又是吸引的，则称(2-2的零解是渐近稳定 的；如果(2-2的零解的吸引域是整个 Rn，则称(2-2的零解是全局渐近稳定的。定义2.4若定义2.1中的与t0无关，则称(2-2的零解是一致稳定的；若 定义2.2中的T与to和x0无关，则称(2-2的零解是一致吸引的；若(2-2的零解 是一致稳定和一致吸引的，则称(2-2 的零解是一致渐近稳定的。定义2.5若有正数：，对

17、任意给定的；0，有0，使得当x0 ：时有 x(t,t。,x0) ：则称(2-2的零解是指数渐近稳定的。2.2自治系统零解的稳定性前面给出了微分方程稳定性的概念，并举了一些例子来说明不同稳定性定 义之间的区别和联系。这些例子都是通过求出方程解读解的方法来讨论零解是 否稳定。在实际问题中提出的微分方程往往是很复杂的，无法求出其解读解， 这就需要我们从方程本身来判断零解的稳定性， Liapunov直接方法就是解决这一问题的有效途径。这一节中我们先引入 V函数的定义，然后再给出Liapunov 稳定性定理。2.2.1V函数设函数V(x)在Rn中原点的某邻域U中有定义，V(x)在U中连续可微，且 满足

18、V( 0)=0。定义2.6若除原点外对所有U均有V(x) 0(V(x)：0)，则称V(x)为正 定函数(负定函数；若对所有x U均有V( x)0(V( x )乞0)，则称V( x)为半正 定函数或常正函数(半负定函数或常负函数 ;若U中原点的任一邻域内V(x) 既可取正值，也可取负值，则称 V(x)为变号函数。例如，V(x) = x2 x| * x；是R3中的正定函数，V(x) = x； x；是R3中的半正 定函数，而V(x)二x； _x2是R3中的变号函数。由定义2.6看出，V(x)正定时必是半正定的。另外正定和半正定与空间的 维数和邻域U的大小有关。例如V(x)=x2是R2中的正定函数，而

19、它在R3 中仅是半正定的。利用化为极坐标的方法可以看出，函数V(x) x； - x： -x；在R2中的区域xf x； : 中是正定函数，而在x； x； ：2中却不是正定函数。最常用的V函数是二次型V(x) = x Ax，因为二次型的表达式简单，其符号 类型可以利用线性代数中有关 A的特征值理论来判定，且一些复杂的 V函数往 往可以通过对二次型的修改得到。一般V函数的符号判断十分困难，通常是把 V(x)在原点展开为Taylor级数V(x)叫匕)Vmi(x).其中Vm(x)，Vm1(x)分别是x的m次、次齐次函数，根据V(x)展开式中的 最低次项，在许多情况下就可以确定 V( x)在原点邻域内的符

20、号。对正定函数V( x)，容易证明当c 0充分小时，V( x )=c是Rn中包围原点 的闭曲面，且随着c趋于零，V(x)=c缩向坐标原点。事实上，由正定函数的定 义可知，在U内的闭曲面x r上，V(x)有正的下界；，当0：c”：；时，在连 接原点与|x|=6任一点的任一条连续曲线的线段上至少有一点x0，使 V(x) =c，所以V(x) =c是包围原点的闭曲面。222 Liapunov稳定性定理设n维自治微分方程dxf (x), f (0) = 0 (2-6dt的解为X(N (t),X2(t),|,Xn(t) 。为了研究(2-6解的稳定性，考察随时间变化时V(x(t)的变化情况。将V(x(t)视

21、为t的复合函数，关于t求导得dV( x(t)=汎 dX1 V dX2 .川 mgxn ,汐(x)fk(x)另(x)(2-7dt :兄 dt ：X2 dt ：Xn dt kd :Xk(2-7为函数V(x)沿着(2-7轨线的全导数。定理2.1若有原点的邻域U和一个正定(负定函数V(x )，使得V ( x )是 半负定(半正定 的，则系统(2-6的零解是稳定的；且使得V ( x)负定(正定 时，(2-6的零解是渐近稳定的。定理2.1的几何意义是函数V(x)正定时，V(x) = c是包围原点的闭曲面 族，且随着c的减少而缩向原点。当全导数V(x)半负定时，在t二t。时过x0的轨线x二x(t)上，V(x

22、(t)的值不会增加，(2-6的轨线只能停留在V(x)二V(x0) 内，所以原点是稳定的。当V(x)负定时，原点邻域内(2-6的轨线不断跑向闭曲 面族V(x)二c中更小的一个闭曲面，最终趋于原点，所以(2-6的零解是渐近稳 定的。该几何意义也正是我们证明定理 2.1的基本思想。证 设V(x)正定，对任意给定的g 0(不妨假设闭球= 4,| x|w在U 中，取m = min V (x) 0，x :;则当丨:：:m时，V(x) d的点x必全部位于原点的；邻域内。由V(x)的连续 性知，必有6 0，使得当| x| c6时V(x) cl。由于V(x)，当| x6时，对 一切 tZt 有，所以 V(x(t

23、)兰V(x0) cl，当 tZto 时，| x(t)|vE。这就说明了 V (x)半负定时，(2-6 的零解时稳定的。当V( x)负定时，(2-6 的零解稳定，只要tlim_ x (t)= 0，即可证明(2-6的零 解渐近稳定。利用反证法，设(2-6 的零解不是渐近稳定的，则至少有一个从上 述原点的:邻域内某点出发的解x(t)，使得im_ x(t) = 0。由于V(x)负定，故 V( x (t)单调下降，从而由V的正定性知必有lim_V(x(t)二V*0,且t_t0时 V( x (t) -V*。由V(x)的连续性知，必存在0： ，使得t_t。时x(t) 。又由于V(x)是负定的，必有： -0，

24、在区域x| .内，V(x)：-： 0，由(2-7式得dt对(2-8式两边积分得0V(x(t) (x )_a(t_t0)(2-9(2-9表明lim V&(t) _ _ ：,这与V( x(t) -V* 0矛盾。故(2-6的零解是渐近稳t和定的。d2x dx2 x =0例2.1讨论系统dt dt 零解的稳定性X2二奴解令 dt，将该方程化为等价的微分方程组dxi ! dt dx2_ dt令V Xi,X2 =3xf 2X1X2 2x|，显然V Xi,X2是正定函数，容易求得 V Xi,X2沿 (2-10轨线的全导数为V Xi,X2=-2 Xi2 x|，它是负定函数，由定理2.1知该 系统的零解是渐近稳

25、定的。应当注意，如果取V x1, x2 =-1 xf xf，那么，所求得的V XjX? =-x；，VXi,X2是半负定的，由定理2.1只能得到(2-10的零解稳定这一结论，得不到渐近稳定性。这表明构造适当的V函数是非常重要的。当一个系统的零解事实 上是渐近稳定时，我们有可能构造出 V函数用定理2.1来证明零解是渐近稳定 的。也可能所构造出V函数仅能证明零解是稳定的，也可能构造不出 V函数，连零解的稳定性也无法得到。例2.1也提示我们在证明零解渐近稳定时， V x负定这一条件有可能再补充其他条件后削弱为半负定，这就是下面的定理 2.2，它降低了 V x负定这一条件，给出了判定渐近稳定性的又一结果

26、。定理2.2设在原点的邻域U内存在正定函数1，它沿着(2-6轨线的全导数Vx是半负定的，如果集合M = x |V x =0 内除原点x=0外，不在包含系统的其他轨线，则(2-6的零解是渐近稳定的。证 由定理2.1知，在定理2.2的条件下(2-6的零解是稳定的。于是对给定的0(不妨假设Bg = x|仪|兰気含在U内，可以找到6 0，使得| x0| 右时，(2-6满足 x(t0) = x0 的解 x(t)二 x(t,t0, x0);当 t - t0时满 x(t)| ” ，且由V咗0易见V x t是t的单调非增有界函数，故V x t必有极限，令tiimV x t 一0由于x( t,t0, x 0啲正

27、半轨有界，故它的国极限。0非空，若和：，贝U v x i=v*，0.这表明M，从而有。0UM。由于0 0是由(2-6的整条轨线组 成，而在M中除x二0外不再包含(2-6的其他轨线，故有 门:Jd。于是 有lim x t,t,xi；=：0。零解的渐近稳定性得证。例2.2讨论非线性振动系统dx1i 茨=x2i dt (2-11dd7 - f x1 -g x2零解的渐近稳定性。其中f X和g x都是连续函数，且满足下列条件(1 f 00,x1 f 捲 i、0 为=0 ,(2 g 0 xg X2 0 x- 01 x解选取V(x知，Vk)是正定函数 计算vax?)沿着(2-11的轨线的全导数得V(n，X2)一x?g他.由(2知V(x1,X2)是半负定的。又因为集合M =论公2 |V(xx2) = 0 R .的连续函数 R. -r|r _0?，且0=0,:r严格单调递增，则称 :r是k类函数，记为:r K。若r还满足|im_r =：:，则称r为无穷大k类函数。k类