高中数学选修本理科对数函数与指数函数的导数.docx

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高中数学选修本理科对数函数与指数函数的导数

2019-2020年高中数学选修本（理科）对数函数与指数函数的导数

——指数函数的导数

●教学目标

（一）教学知识点

指数函数的导数的两个求导公式：

（ex）′=ex.（ax）′=axlna.

（二）能力训练要求

1.理解掌握指数函数的导数的两个求导公式.

2.在学习了函数的四则运算的求导法则与复合函数的求导法则的基础上，应用指数函数的求导公式，能求简单的初等函数的导数．

（三）德育渗透目标

培养学生灵活运用知识和综合运用知识的能力.

●教学重点

结合函数四则运算的求导法则与复合函数的求导法则，以及四种基本初等函数的求导公式，应用指数函数的求导公式.

●教学难点

指数函数的求导公式的记忆，以及应用指数函数的求导公式.

●教学方法

讲练结合.

●教学过程

Ⅰ.课题导入

［师］先复习一下四种基本初等函数的求导公式.常数函数，幂函数，三角函数，对数函数.

［生］C′=0（C是常数）（xn）′=nxn－1（n∈R）

（sinx）′=cosx（cosx）′=－sinx.

（lnx）′=（logax）′=logae.

［师］这节课要学习第五种基本初等函数的求导公式，就是指数函数的求导公式.

Ⅱ.讲授新课

（一）指数函数的导数

［板书］1.

（1）（ex）′=ex

（2）（ax）′=axlna

［师］这两个公式的证明需要用到反函数的求导法则，这超出了目前的学习范围，所以这里就不再证明.只需记住它的结论，以e为底数的指数函数的导数是它本身，以a为底数的指数函数的导数是它的本身乘以lna.我们利用这两个公式就可以求一些关于指数函数的导数了.

（二）课本例题

［例3］y=e2xcos3x的导数

［分析］这题先要用到两个函数乘积的求导法则，再要用到复合函数的求导法则.

解：

y′=（e2x）′cos3x+e2x（cos3x）′

=e2x（2x）′cos3x+e2x（－sin3x）（3x）′

=2e2xcos3x－3e2xsin3x

=e2x（2cos3x－3sin3x）

［例4］求y=a5x的导数.

［分析］这题只需用复合函数的求导法则.

解：

y′=（a5x）′=a5xlna·（5x）′=5a5xlna.

（三）精选例题

［例1］求函数y=e-2xsin3x的导数.

［学生分析］先用积的求导法则，（uv）′=u′v+uv′，再用复合函数的求导法则求导，yx′=y′uu′x.

［学生板演］解：

y′=（e-2x）′sin3x+e-2x·（sin3x）′

=e-2x（－2x）′sin3x+e-2xcos3x（3x）′

=－2e-2xsin3x+3e-2xcos3x

=e-2x（3cos3x－2sin3x）.

［例2］求y=的导数.

［学生分析］先用商的求导法则，再用复合函数求导法则求导.y′x=

y′u·u′x.

［学生板演］解：

y′=（）′=

［例3］求y=xsinx的导数.

［学生板演］两边取对数.lny=lnxsinx=sinx·lnx

两边对x求导

=cosx·lnx+sinx·

∴y′=（cosxlnx+）y=（cosx·lnx+）·xsinx.

［师］这是我们上节课学习的解这类题的方法.我们今天学习了指数函数的求导公式.而任何一个函数y=f（x）都可以用指数函数的形式表示出来y=，为了方便起见，我们取a=e.∴y=.这道题转化成指数函数的形式怎么做呢？

［学生板演］解：

由所给函数知x＞0

∵

∴y′=

［师］当用第二种方法求导的时候，要说明一下x＞0，∵xsinx是幂函数的形式，所以

x＞0，否则xn（x＜0）时没有导数.而xsinx＞0，所以在用第一种方法求导时，等于默认了y＞0.

［师生共同总结］形如（u（x））v（x）的幂指函数，可以用两种方法求导，其一，是两边取对数后再对x求导；其二，是把它化成指数函数与其他函数复合.

［例4］求y=32xlg（1－cos2x）的导数.

方法一：

y=32xlg（1－cos2x）=9xlg（1－cos2x）

y′=9xln9·lg（1－cos2x）+9x·（1－cos2x）′

=9xln9·lg（1－cos2x）+9xsin2x·2.

=9x·ln9·lg（1－cos2x）+29x·lge·

=9x·2ln3·lg（1－cos2x）+29x·lge·cotx

=2·9x［ln3·lg（1－cos2x）+lge·cotx］

方法二：

y′=（32x）′lg（1－cos2x）+32x·［lg（1－cos2x）］′

=32x·ln3·2lg（1－cos2x）+32x··sin2x·2

=2·32xln3·lg（1－cos2x）+2·32xlge·cotx

=2·32x［ln3·lg（1－cos2x）+lge·cotx］

［例5］求y=f（ex）ef（x）的导数，其中f（x）为可导函数.

解：

y′=［f（ex）］′ef（x）+f（ex）·（ef（x））′

=f′（ex）·exef（x）+f（ex）·ef（x）·f′（x）

=ef（x）［f′（ex）ex+f（ex）·f′（x）］.

［例6］求y=2x的导数.

（请两位同学用两种不同的方法做）

（方法一）解：

两边取对数，得lny=ln2+lnx.

两边对x求导y′=（）′lnx+（lnx）′=xlnx+·

∴y′=

（方法二）解：

.

（方法二）解：

y′=

［师］比较这两种方法，是不是难易程度差不多，都只要对lnx求导就可以了.所以碰到这类题目，两种方法可以任选其一.

Ⅲ.课堂练习.

求下列函数的导数.

1.y=x2ex.

解：

y′=（x2ex）′=2xex+x2ex=（2+x）xex

2.y=e3x

解：

y′=（e3x）′=e3x·3=3e3x

3.y=x3+3x

解：

y′=3x2+3x·ln3.

4.y=xne－x

解：

y′=nxn－1e－x+xne－x·（－1）=（n－x）xn－1e－x.

5.y=exsinx

解：

y′=exsinx+excosx=ex（sinx+cosx）

6.y=exlnx

解：

y′=exlnx+ex·=ex（lnx+）

7.y=a2x+1

解：

y′=a2x+1lna·2=2a2x+1·lna

8.y=2（）

解：

y′=2

.

9.若f（x）=+1则f′（x）=（C）

A.（x2+1）B.（x2+1）

C.2xD.2xe2x

解：

（+1）′=·2x=2x.

10.若f（x）=ecosx.求f′（x）.

解：

f′（x）=（ecosx）′=ecosx·（cosx）′=－sinx·ecosx.

11.求y=xe1－cosx的导数.

解：

y′=（xe1－cosx）′=e1－cosx+xe1－cosx·（1－cosx）′

=e1－cosx+xe1－cosx·sinx=（1+xsinx）e1－cosx

12.求y=+ax导数.

解：

y′=（+ax）′=·2x+a=2x+a.

Ⅳ.课时小结

这节课主要学习了指数函数的两个求导公式.（ex）′=ex，（ax）′=axlna，以及它们的应用.还有形如（u（x））v（x）的函数求导有两种方法：

其一，两边取对数，再两边对x求导，其二是把它化成指数函数与其他函数复合，再进行求导.

Ⅴ.课后作业

（一）课本P127~128.习题3.52、3

（1）（3）.

（二）1.预习内容.P128~129微分的概念与运算.P131~132近似计算.

2.预习提纲.

（1）自变量的微分概念、表示.

（2）函数的微分概念、表示.

（3）Δy与y的微分的关系.

（4）导数用微分如何表示.

（5）求微分的方法.

（6）微分的四则运算法则.

●板书设计

§3．5.2对数函数与指数函数的导数

（二）——指数函数的导数

1.

（1）（ex）′=ex

（2）（ax）′=axlna

课本例题

例3.求y=e2xcos3x的导数.

例4.求y=a5x的导数.

精选例题

例1：

求y=e-2xsin3x的导数.

例2：

求y=的导数.

例3：

求y=xsinx的导数.

方法一取对数

方法二化成指数函数

例4求y=32xlg（1－cos2x）的导数，两种方法.

例5.求y=f（ex）ef（x）的导数，其中f（x）为可导函数

例6.求y=2x的导数.两种方法.

课堂练习.求下列函数的导数.

1.y=x2ex2.y=e3x.3.y=x3+3x4.y=xne－x

5.y=exsinx6.y=exlnx.7.y=e2x+18.y=2（）

9.f′（x）=则f′（x）.10.若f（x）=ecosx求f′（x）

11.求y=xe1－cosx的导数12.求y=+ax的导数

课时小结

课后作业

2019-2020年高中数学选修本（理科）导数的概念

（1）

导数的几何意义

●教学目标

（一）教学知识点

了解导数的几何意义，函数y=f（x）在一点处的导数就是曲线y=f（x）在这点处的切线的斜率，了解导数与切线斜率的关系.

（二）能力训练要求

1.进一步增强对导数的理解，学会求导数.

2.学会通过先求函数的导数来求函数在某点处的切线的斜率与切线的方法.

3.进一步增强求导数，也就是求极限的能力.

（三）德育渗透目标

1.培养学生的计算能力，转化问题的数学思想.

2.培养学生数形结合的数学思想．

●教学重点

导数的几何意义的理解，导数与切线斜率的关系.

●教学难点

导数的几何意义的理解，导数与切线斜率的关系，用图象来加深对导数的几何意义的理解.

●教学方法

讲、练结合，以练为主.

●教学过程

Ⅰ.课题导入

［师］我们上节课学习了函数在一点处的导数，以及函数的导数的定义，用公式怎么来表示呢？

（学生上黑板写）

［生］函数y=f（x）在点x=x0处的导数.

函数y=f（x）的导数.

f′（x）=y′=

［师］我们观察一下，函数在点x0处的导数定义的形式有什么特点呢？

［学生一齐回答］和切线的斜率的定义形式相同.

［师］对.我们这节课就来学习一下导数的几何意义，以及导数与切线的斜率之间的关系.

Ⅱ.讲授新课

［师］因为函数在一点处的导数定义的形式与切线斜率的定义相同，所以函数在一点处的导数的几何意义，就是切线的斜率.导数是从代数方面讲的，切线是几何方面的.

［板书］1.导数的几何意义

函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线的斜率.

曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线的斜率是f′（x0）.

切线方程可表示为y－f（x0）=f′（x0）·（x－x0）.

2.可以利用导数求曲线的切线方程，方法：

（可让学生归纳）

①求出函数y=f（x）在点x0处的导数f′（x0）.

②得切线方程y－f（x0）=f′（x0）（x－x0）.

特例：

如果曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的导数不存在，就是切线平行于y轴，这时根据切线定义，可得切线方程为x=x0.

［师］我们学习了导数的几何意义，可以知道，由曲线在一点处的导数能够知道曲线在这点处的切线的特征，反过来，由曲线在一点处的切线斜率，借助图象，能够知道曲线在这点处的导数的特征.当f′（x0）>0，f′（x0）<0，f′（x0）=0时，以及f′（x0）不存在.分别说明了什么？

［生］当f′（x0）>0，说明切线与x轴正向的夹角为锐角.

f′（x0）<0说明切线与x轴正向的夹角为钝角.

f′（x0）=0说明切线与x轴平行.

f′（x0）不存在，说明切线与y轴平行.

［板书］3.导数与切线的关系.

①f′（x0）>0，切线与x轴正向的夹角为锐角.