五年级专题二.docx
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五年级专题二
专题二长方体和正方体
一．长方体
1.概念
长方体（cuboid）是底面是长方形的直四棱柱。
长方体是由六个面组成的，相对的面面积相等，可能有两个面（可能四个面是长方形，也可能是六个面都是长方形）是正方形.
2.有关名称
〔1〕长方体有6个面。
每组相对的面完全相同。
〔2〕长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等。
按长度可分为三组，每一组有4条棱。
〔3〕长方体有8个顶点。
每个顶点连接三条棱。
三条棱分别叫做长方体的长，宽，高。
（4）长方体相邻的两条棱互相垂直。
3.表面积
因为相对的2个面面积相等，所以先算上下两个面，再算前后两个面，最后算左右两个面。
设一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则它的表面积为S长方体=（ab+bc+ca）×2，也等于2ab+2bc+2ca；公式：
长方体的表面积=长×宽×2+宽×高×2+长×高×2，或：
长方体的表面积=（长×宽+宽×高+长×高）×2
4.体积
长方体的体积=长×宽×高设一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则它的体积V=abc=Sh
，因为长方体也属于棱柱的一种，所以棱柱的体积计算公式它也同样适用。
长方体体积=底面积×高，即V=Sh（S是底面积）。
长度
长方体的对角线是长方体的任意一个顶点到对边顶点的长度，如图所示：
对角线的长度：
依据勾股定理，点2和点3的长度是根号（点1到点2的长度的平方+点1到点3的长度的平方），而点2到点3的线又与点3到点5的长度形成直角，所以对角线的长度是：
（注：
（x,y）是指点x到点y的长度）
长方体对角线平方=长平方+宽平方+高平方
二．正方体
1.概念
用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正方体。
侧面和底面均为正方形的直平行六面体叫正方体，即棱长都相等的六面体，又称“立方体”、“正六面体”。
正方体是特殊的长方体。
正方体的动态定义：
由一个正方形向垂直于正方形所在面的方向平移该正方形的边长而得到的立体图形。
2.特征
〔1〕正方体有8个顶点，每个顶点连接三条棱。
〔2〕正方体有12条棱，每条棱长度相等。
（3）正方体有6个面，每个面面积相等。
3.表面积
因为6个面全部相等，所以正方体的表面积=底面积×6=棱长×棱长×6设一个正方体的棱长为a，则它的表面积
4.体积
正方体的体积（或叫做正方体的容积）=棱长×棱长×棱长；设一个正方体的棱长为a，则它的体积为：
V=a×a×a或等于体对角线=根号3倍棱长
（要正确区分体对角线和面对角线，面对角线是平面几何中的概念而体对角线是立体几何中的概念）
也可以用正方体的体积=底面积×高计算
同时，正方体的体对角线也等于：
体对角线的平方=长的平方+宽的平方+高的平方
5.相关概念
棱长是1厘米的正方体，体积是1立方厘米。
棱长是1分米的正方体，体积是1立方分米。
棱长是1米的正方体，体积是1立方米。
外接球半径：
R=长方体体对角线的一半
内切球半径：
r=正方体边长的一半
6.棱长总和
是指正方体每条边的长度。
[1]
棱长总和=棱长×12
平面截正方体：
用一个平面截正方体。
可得到以下三角形、矩形、正方形、五边形、正五边形、六边形、正六边形、菱形、梯形。
具体做法：
三角形—过一个顶点与相对的面的对角线以内的范围内的线。
矩形——过两条相对的棱或一条棱。
正方形——平行于一个面。
五边形——过四条棱上的点和一个顶点或五条棱上的点。
六边形——过六条棱上的点。
正六边形——过六条棱的中点。
菱形——过相对顶点。
梯形——过相对两个面上平行不等长的线。
展开图
我们已经知道正方体的平面展开图一共有11种。
正方体有11种平面展开图，不可谓不多，那么，我们该如何理解掌握这11种正方体的平面展开图呢？
（1）通过操作明了哪些图形可以成为正方体的展开图．
我们知道正方体有6个面，每个面都是相同的正方形.我们把6个相同的小正方形排出可能的正方体的展开图的平面图形．一共有35种平面图形。
然后动手操作，把他们依此进行折叠，排除不能够折叠成为正方体的平面图形，保留能够折叠成正方体的平面图形，保留下来的图形就是正方体的平面展开图．
通过折叠，右图的带彩色的11种平面图形能够折叠成为正方体，因此它们就是正方体的平面展开图。
（2）对正方体的11种平面展开图进行分类分别记忆掌握．
正方体的平面展开图有11种之多，不容易记牢记全．为了更好的记忆掌握，我们可以把这11种展开图分成4类，只要把握各类的特征，就容易记忆了．
第一类：
中间四连方，两侧各一个，共6种。
正方体十一种展开图（4张）
第二类：
中间三连方，两侧各一、二个，共3种。
第三类：
中间二连方，两侧各两个，只有1种。
第四类：
两排各3个，也只有1种。
对正方体表面展开图的11种情况，为加深记忆，可编成如下口诀：
一四一呈6种，一三二有3种，二二二与三三各1种，展开图共有11种．
附：
例题
一、“认真细致”填一填
1、长方体和正方体都有（）个面、（）条棱、（ ）个顶点，每个顶点都有（）条棱相交。
2、物体所占（ ）叫做物体的体积。
3、2.1m3=（ ）dm3 2040cm3=（ ）dm3
4.5L=（）ml 0.5L=（ ）dm3
0.08立方米=（）升=（）毫升3.8升=（）升（）毫升
6.47升=（）毫升=（）立方分米415平方厘米=（）平方米
10020立方分米=（）立方米20升=（）立方米
9．08立方分米=（）升=（）毫升0.08立方米=（）毫升
4、一个正方体的棱长为4cm，它的表面积是（ ），体积是（ ）。
5、一个长方体长5dm、宽4dm、高2dm，它的表面积是（），体积是（）。
6、1dm3的正方体可以分成（ ）个1cm3的小正方体。
如果把这些小正方体排成一行，一共长（ ）。
7、焊接一个长7cm、宽2cm、高1cm的长方体框架，至少要用（）cm的铁丝。
8、挖一个长和宽都是5m的长方体菜窖，要使菜窖的容积是50m3，应该挖（ ）m深。
9、一个正方体木箱的表面积是72dm2，这个木箱占地面积是（）dm2。
10、用三个棱长都是2cm的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是（ ）。
体积是（ ）。
11、一个长方体，长是3m，宽和高都是0.5m，把它分割成两个完全一样的小长方体，表面积最少增加（）平方分米。
12、至少要（）小正方体才能拼成一个长方体。
如果小正方体的棱长是5cm，那么大正方体的表面积是（）平方厘米，体积是（）立方分米。
13、把一长124cm，宽和高都是10cm的长方体锯成最大的正方体，最多可以锯（）个
14、用一根12分米长的铁丝未成一个最大的正方体框架，这个正方体的体积是（）。
15、一个长方体的长宽高都扩大3倍，它的表面积就（）
16、一个正方体的表面积是54平方米，它的每个面的面积是（），它的棱长是（）。
17、一个正方体的棱长扩大到它的4倍，它的体积就（），它的表面积就（）。
18、一个长方体相交于一个顶点的三条棱分别是5cm，3cm，4cm，这个长方体的所有棱长之和是（）厘米，体积是（）。
二、“对号入座”选一选：
（选择正确答案的序号填在括号里）
1、一本数学书的体积大约是220（）。
①m3 ②dm3 ③cm3
2、加工一个长方体油箱要用多少铁皮，是求这个油箱的（）。
①表面积 ②体积 ③容积
3、一个正方体的棱长扩大3倍，它的体积扩大（）倍。
①27 ②9 ③3
4、下面正确的是（ ）。
①一个物体的表面积有可能与体积一样大。
②一个正方体的棱长之和是12cm，它的体积是1cm3。
5、至少（ ）个棱长2cm的小正方体可以拼成一个大正方体。
①4 ②8 ③12
二．判断题。
（）1.棱长是6cm的正方体，体积和表面积相等。
（）2.体积相等的两个正方体，它的表面积也一定相等。
（）3.一个棱长为5的无盖正方体，它的表面积是500平方米。
（）4.长方体的三条棱分别叫长，宽，高。
（）5.有两个相对面是正方形的长方体，它的其余四个面完全相同。
（）6.至少用4个体积是1立方厘米的正方体，才能拼成一个大正方体。
（）7.长方体中有时四个面是完全一样的长方形。
（）8.冰箱的体积就是冰箱的容积。
（）9.一个长方体横着或竖着放时所占的空间不一样大。
（）10.正方体是长宽高都相等的特殊的长方体。
1、一个长方体木箱，长10dm，宽8dm，高6dm，做这个木箱至少需要木板多少dm2？
2、一块正方体木料，它的棱长是4dm，如果1dm3的石料重2.7kg，这块石料重多少？
3、修路队要修一条长1km、宽6m的公路，铺30cm厚的三合土，至少需要三合土
多少m3？
三、走进生活，解决问题：
4、装修一间长9m，宽6m，高4m的会议室，在会议室的四周和顶棚贴塑料壁纸，
扣除门窗面积20m2，至少需要壁纸多少m2？
5、一个油箱从里面量，长4dm，宽3dm，深1.8dm，如果每升柴油重0.82kg，这个油箱能装柴油多少kg？
（得数保留一位小数）
6、有一个长60厘米，宽50厘米的长方体水缸，把买的西瓜完全浸入在水里，水面上升了3厘米。
这个西瓜的体积是多少立方分米？
7、有一个装满水的水杯，把两个长3cm,宽2cm,高4cm的石块立着放入水中，水池会溢出多少毫升的水？
8、一根长2米的长方体木料锯成两段后，表面积增加了100平方厘米，它的体积是多少？
9、一个长方体正好可以切成两个棱长是3厘米的正方体，这个长方体的表面积是多少？
10、学校要漆一道长20米，宽0.24米，高2米的墙，每立方米需要砖525块，学校需要买多少块砖？
11、有一块棱长是80cm的正方体的铁块，现在把它熔铸成一个横截面是20平方厘米的长方体，这个长方体的体积是多少分米？
12、在一个长10米，宽3.5米的长方体客厅的地面上铺设2厘米厚的木地板，至少需要木材多少立方米？
铺好再涂上油漆，油漆面积是多少？
一、填空题。
（每空1分，共35分）
1、长方体有___个顶点，有___条棱，有__个面。
相对的面______，相对的棱____，相交于长方体一个顶点的三条棱的长度分别叫做它的____、____、____。
3、一个长方体的长、宽、高分别是7cm、6cm和5cm，它的棱长总和是（ ）cm。
做这样一个长方体盒子，需要（ ）cm2材料。
3、一个长方体的金鱼缸，长是8dm，宽是5dm，高是6dm，不小心前面的玻璃被打坏了，修理时配上的玻璃的面积是_______dm2。
4、把30L水装入容积是250ml的水瓶里，能装_______瓶。
5、挖一个长和宽都是5m的长方体水池，要使水池的容积是50m3，应该挖_____米深。
6、在括号里填上适当的单位名称。
电视机的体积约50（ ） 指甲盖的面积约1（ ）
一瓶色拉油约4.2（ ） 一个铅笔盒的体积大约是400（ ）
一颗糖的体积约2（ ） 一个苹果重50（ ）
7、一块长25cm，宽12cm的，厚8cm的砖，所占的空间是_______cm3，占地面积最大是_______cm2。
8、正方体的棱长扩大3倍，表面积扩大_____倍，体积扩大_____倍。
9、一个长方体平均分成两个正方体（右图），正方体的棱长是4m，
则这个长方体的表面积是_____m2，体积是_____m3。
二、判断题。
（对的打“√”，错的打“×”。
每题1分，共5分）
1、把两个一样的正方体拼成一个长方体后，体积和表面积都不变。
（ ）
2、一般来说，一个物体的体积比它的容积大。
（ ）
3、棱长是6厘米的正方体，表面积与体积相等。
（ ）
4、把一块正方体橡皮泥捏成一个长方体后，虽然它的形状变了，但是它所占有的空间大小不变。
（ ）
5、正方体和长方体的体积都可以用底面积乘高来进行计算。
（ ）
三、选择题。
（每题2分，共16分）。
1、我们在画长方体时一般只画出三个面，这是因为长方体（ ）。
A．只有三个面 B．只能看到三个面 C．最多只能看到三个面
2、用一根长（）铁丝正好可以做一个长6厘米、宽5厘米、高3厘米的长方体框架。
A．28厘米 B．126平方厘米 C．56厘米 D．90立方厘米
3、加工一个长方体油箱要用多少铁皮，是求这个油箱的（ ）。
A、表面积 B、体积 C、容积
4、一个长方体水池，长20米，宽10米，深2米，这个水池占地（ ）平方米。
A．200 B．400 C．520
5、下面的图形中，能按虚线折成正方体的是（ ）。
6、一个体积为40立方分米的长方体木块，从顶点挖掉一个棱长为1分米的小正体后，（ ）。
A、表面积变小，体积变小
B、表面积不变，体积变小
C、表面积变小，体积不变
7、一个长6分米，宽4分米，高5分米的长方体纸盒，最多能放（ ）个棱长为2分米的正方体木块。
A、14 B、12 C、15
8、至少要用（ ）个完全一样的小正方体，才能拼成一个大正方体。
A、4 B、8 C、27
四、完成下表。
（本题10分,每空1分）
图形
长（cm）
宽（cm）
高（cm）
体积（cm3）
底面积（cm2）
长方体
12
5
120
8
6
480
20
3
300
正方体
36
五、解答题。
（本题共计34分）
1、小卖部要做一个长2.2米，宽0.4米,高0.8米的玻璃柜台各边都安上角铁，这个柜台需要多少米角铁？
（5分）
2、一个长方体游泳池，长50米，宽40米，深1.8米，四壁用每块边长0.5米的大理石砌成，需要大理石多少块?
（5分）
3、做一个长方体鱼缸（无盖），长8分米，宽0.4米，高6分米，至少需要玻璃多少平方分米？
如果每平方分米玻璃4元钱，至少需要多少钱买玻璃？
（5分）
4、一个油箱从里面量，长4dm，宽3dm，深1.8dm，如果每升柴油重0.82kg，这个油箱能装柴油多少kg？
（得数保留一位小数）（6分）
5、“十一”期间，学校计划将行知楼中的40间教室的屋顶和四壁粉刷一新。
经测量每间教室的长都是8米，宽6米，高3.5米，黑板和门窗共14平方米。
如果每平方米用涂料0.8千克，涂料每千克15元，每平方米还要付给粉刷工人工资0.5元，请帮学校测算一下，这次粉刷教室需花多少元钱？
（6分）
6、一个底面长和宽都是2分米的长方体玻璃容器，里面装有5.6升水，再将一个苹果浸没在水中，这时量得容器内水深1.5分米，这个苹果的体积是多少立方分米？
（7分）
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