中考专题圆中折叠问题新.docx
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中考专题圆中折叠问题新
2020中考数学必刷—圆中折叠问题
知识与方法】折叠问题是中考的热点题型，在解决这类问题中，运用的知识点比较多，综合
性强，如轴对称性质、全等思想、相似思想、勾股定理、代换思想等，培养学生识图能力，灵活运用数学知识是解决此类问题的关键。
圆中的折叠问题又具备了一个特殊的背景——圆，我们必须综合利用的圆的各种性质和直线型中的相关定理加以解决。
【例】如图，半圆的直径AB=10cm，弦AC=6cm，把AC沿直线AD对折,恰好与AB重合，点C落到C'求,AD的长。
解析】设圆的圆心是O，连接OD，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，运用
圆周角定理，可证得∠DOB=∠OAC，即证△AOF≌△OED，所以OE=AF=3cm，
根据勾股定理，得DE=4cm，在直角三角形ADE中，根据勾股定理，可求AD
解答】设圆的圆心是O，连接OD，AD，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F．
则∠OFA=∠OED=90O
根据题意知，∠CAD=∠BAD，
∴C?
DB?
D，∴点D是?
BC的中点．
∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD，又OA=OD
∴△AOF≌△OED（AAS），∴OE=AF=3cm，
∴DE=OD2OE252324（cm），
∴AD=AE2DE25324245cm
故选A．
【针对练习】
1．将半径为3的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，用图中阴影
部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（）
A．22B．2
C．D．3
2
【解答】过O点作OC⊥AB，垂足为D，交⊙O于点C，
11
由折叠可得，OD=CD=OC=OA，所以在Rt△AOD中，∠A=30°，又OA=OB,
所以∠B=30°，所以∠AOB=18°0﹣∠A﹣∠B=120°,所以?
AB的长为
锥的高=321222．故选：
A．
【点评】：
本题考查折叠的性质、直角三角形的性质、弧长计算、圆锥的侧面
展开图．
2、如图，在⊙O中，点C在优弧A⌒B上，将弧B⌒C沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为5，AB＝4，则BC的长是（）
解法一】连AC、DC、
OD，过C作CE⊥AB于E，过O作OF⊥CE于F，
∵B?
C沿BC折叠，∴∠CDB=∠H，∵∠H+∠A=180°，∴∠CDA+∠CDB=180°，∴∠A=∠CDA，∴CA=CD，∵CE⊥AD，∴AE=ED=1，∵OA5，AD=2，∴OD=1，∵OD⊥AB，∴OFED为正方形，∴OF=1，OC5，∴CF=2，CE=3，∴CB32.
【解法二】作D关于BC的对称点E，连AC、CE，
∵AB=4，AE=2AO=25∴BE=2，
由对称性知，∠ABC=∠CBE=4°5，∴AC=CE，
延长BA至F，使FA=BE，连FC，易证△FCA≌△BCE，
3、如图，点C在以AB为直径的半圆弧上，∠ABC=30°，沿直线CB将半圆折
叠，直径AB和?
BC交于点D，已知AB=6，则图中阴影部分的面积和周长分别等于．
A
解析】连CD，AC，由直径所对的圆周角为直角得到∠ACB=9°0，得到∠
A=60°，即△ACD为等边三角形，于是有弓形BD的面积=弓形CD的面积，阴影部分的面积=扇形DAC的面积，阴影部分的周长=半圆弧长加直径，然后根据扇形的面积公式和弧长公式计算即可．
【解答】
连CD，AC，如图，
∵AB为直径，∠ABC=3°0，
∴∠ACB=9°0，∠A=60°，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠DCB=3°0，
∴弓形BD的面积=弓形CD的面积，
∴阴影部分的面积=扇形DAC的面积=
1
阴影部分的周长=1?
2π?
3+6=3π．+6
2
故答案为3，3π+6．
2
4．如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是3.
26
【分析】连接OM交AB于点C，连接OA、OB，根据题意OM⊥AB且OC=MC=，继而求出∠AOC=6°0、AB=2AC=，然后根据S弓形ABM=S扇形OAB﹣S△AOB、
S阴影=S半圆﹣2S弓形ABM计算可得答案．
解答】解：
如图，连接OM交AB于点C，连接OA、OB，
由题意知，OM⊥AB，且OC=MC=在RT△AOC中，∵OA=1，OC=，
∴∠AOC=6°0，AB=2AC=，
∴∠AOB=2∠AOC=12°0，
则S弓形ABM=S扇形OAB﹣S△AOB
×21﹣2（
点评】本题考查了轴对称的性质的运用、勾股定理的运用、三角函数值的运
用、扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用，解答时运用轴对称的性质求解是关键．
5、如图，AB是半圆O的直径，且AB=8，点C为半圆上的一点．将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆弧BC恰好过圆心O，求图中阴影部分的面积（结果保留π）。
uuru
【解答】过点O作OD⊥BC于点D，交BC于点E，连接OC，则点E是B?
EC的中点，由折叠的性质可得点O为B?
OC的中点，∴S弓形BO=S弓形CO，在Rt△BOD中，OD=DE=
R=2，OB=R=4，∴∠OBD=30°，∴∠AOC=60°，∴S阴影=S扇形AOC=
2360
点评】本题考查扇形面积的计算．
6、如图，将?
BC沿弦BC折叠交直径AB于点D，若AD=4，DB=8，则BC的
长是．
【解析】根据折叠的性质知B?
C=?
BDC，连接CD、AC，则∠DBC+∠BCD=
∠CAD，即∠CAD=∠CDA；过C作AB的垂线，设垂足为E，则DE=AD，由此可求出BE的长，进而可在Rt△ABC中，根据射影定理求出BC的长．
解答】连接CA、CD；
根据折叠的性质，得?
BC=B?
DC
∴∠CAB=∠CBD+∠BCD∵∠CDA=∠CBD+∠BCD∴∠CAD=∠CDA，即△CAD是等腰三角形
过C作CE⊥AB于E，则AE=DE=2
∴BE=BD+DE=10在Rt△ACB中，CE⊥AB，根据射影定理得BC2=BE?
AB=10×12=120
则BC=120=230
【点评】：
本题考查的是折叠的性质，三角形外角的性质，圆周角定理
7．如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为G，
OG：
OC=3：
5，AB=8．
（1）求⊙O的半径；
2）点E为圆上一点，∠ECD=1°5，将沿弦CE翻折，交CD于点F，求图
中阴影部分的面积．
【解析】
（1）根据AB⊥CD，垂足为G，OG：
OC=3：
5，AB=8，可以求得⊙O
的半径；
（2）要求阴影部分的面积只要做出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数、扇
形的面积和三角形的面积即可解答本题．
解答】解：
（1）连接AO，如右图1所示，
∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，AB=8，
∴AG=AB=4，
2
∵OG：
OC=3：
5，AB⊥CD，垂足为G，
∴设⊙O的半径为5k，则OG=3k，
∴（3k）2+42=（5k）2，
解得，k=1或k=﹣1（舍去），
∴5k=5，即⊙O的半径是5；
（2）如图2所示，将阴影部分沿CE翻折，点F的对应点为M，
∵∠ECD=1°5，由对称性可知，∠DCM=3°0，S阴影=S弓形CBM，
连接OM，则∠MOD=6°0，
∴∠MOC=12°0，
S阴影=S扇形OMC﹣S△OMC=12052155325253
3602234
考点】本题考查①垂径定理；②扇形面积的计算；③翻折变换（折叠问题）
8.已知半圆O的直径AB=4，沿它的一条弦折叠．
（1）如图，若折叠后的圆弧与直径AB相切于点D，且AD：
DB=3：
1，求折痕EF的长；
（2）在使折叠后的圆弧与直径AB相切的过程中，请直接写出折痕EF的最大值和最小值．
【答案】
（1）11．
（2）最小值22,最大值：
23．
【解析】
（1）设折叠后的圆弧所在的圆心为O1，连接O1O，O1D，OE，设O1O交EF于点H，由折叠的轴对称性可知：
EF垂直平分O1O，再证明OA=OB=OE=2，根据AD：
DB=3：
1，可知BD=1，OD=1，由勾股定理可知：
O1O=5，从而可知OH=5，EH=11，根据EF=2EH即可求得问题的答案；
22
（2）先根据题意画出图形，再求得最大值和最小值即可．
【解答】
（1）如图1-1，设折叠后的圆弧所在的圆心为O1，连接O1O，O1D，
OE，设O1O交EF于点H．
由折叠的轴对称性可知：
EF是对称轴，∴EF垂直平分O1O．
又∵EF是⊙O的弦，∴010与EF相互垂直平分．
∵AB=4，∴OA=OB=OE=2．
∵AD：
DB=3：
1，∴BD=1，OD=1．
∴O1O=OD2O1D212225．
∴OH=25,EH=OE2-OH2=22-
∴EF=2EH=11．
2）如图1-2，折痕EF的有最小值，最小值=222222．
如图1-3，折痕EF的有最大值，最大值为23．
点评】本题考查①切线的性质；②.翻折变换（折叠问题）
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