第15章等腰三角形及轴对称图形导学案修改稿.docx

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第15章等腰三角形及轴对称图形导学案修改稿

十八里中心中学八年级数学导学案

课题：

15.1轴对称图形

（1）主备人：

柴修利

【学习目标】

1．感受生活中的轴对称图形，理解轴对称图形的概念、性质（重点）

2.能识别简单的轴对称图形，并指出其对称轴（难点）。

【学习过程】

一、学前准备

1.观察教材第113面图案，用自己的话说说这些图形的特征。

2.列举生活中常见的轴对称图形（至少3个）。

3.画出下面图形的对称轴。

4.画一个轴对称图形，并画出它的对称轴。

二．合作探究

1．按教材第114面图16-3右边文字提示折叠蜻蜓图案，

如果一个图形沿着____________折叠，_______两旁的_____能够__________,那么这个图形叫做_______________,这条______叫做这个图形的_____________。

2.完成教材第114面“操作”，再完成第116面练习2，轴对称图形有哪些性质？

3.完成教材第114面练习1，与同学交流完成情况。

4.试一试

如图，把一张纸片对折后，用笔尖在纸上扎出图（3）所示的图案，将纸打开后铺平，观察你所得的图案．位于折痕两侧的部分有什么关系？

与同伴交流你的想法．

【学习检测】

1.计算器中的十个数字中，是轴对称图形的有____________________。

2.26个字母中是轴对称图形的有__________________________。

3.线段有____条对称轴，是_______________________,角的对称轴是__________________，等腰三角形的对称轴______________________。

4.如图，其中是轴对称图形的是（）。

5.图中的图形都是轴对称图形，请你试着画出它们的对称轴。

6.完成下面图案创作。

7.习题15.1第2、3题。

【学习小结】

1、我的收获：

2、我的困惑

十八里中心中学八年级数学导学案

课题：

15.1轴对称图形

（2）主备人：

柴修利

【学习目标】

理解轴对称的概念、性质（重点），轴对称和轴对称图形的区别和联系（难点），能作出简单的平面图形经过一次轴对称变换后的图形，了解线段的垂直平分线的概念。

【学习过程】

一．学前准备

1.下左图给出了一个图案的一半，其中的虚线是这个图案的对称轴.

（1）你能猜出整个图案的形状吗？

（2）你能画出这个图案的另一半吗？

2.观察分析上右图特征，

沿直线MN对折，△ABC与△A1B1C1会___________，点A与点A1_____，AA1与直线MN__________,AD与A1D长度_________。

二．合作探究

1.阅读教材第115面“观察”，把一个图形沿_________________，如果它能够与另一个图形_____________，那么称这两个图形成____________________。

_____________________是对称轴，____________________________是对称点。

2.下图中点A与点B、AD与BD、△ADP与△BDP的关系是怎样的？

（点A与点B关于直线MN________,点A与点B到直线MN的距离________,……）

归纳：

①直线MN与AB的关系是怎样的？

___________________________________________________叫做线段的垂直平分线。

②轴对称的性质有哪些？

③△ADP、△BDP与△ABP的关系是怎样的？

写出轴对称和轴对称图形的区别和联系。

④作出已知图形关于直线L的对称图形，再完成教材第116面练习3.

怎样判断平面内两图形是否关于某直线对称？

【学习检测】

1.判断下面每组图形是否关于某条直线成轴对称.

2.右图是从镜中看到的一串数字，这串数字应为.

3.探究活动已知:

如图,CDEF是一个矩形的台球面，有黑白两球分别位于点A、B两点，试问怎样撞击黑球A，使A先碰到台边EF反弹后再击中白球B？

【学习小结】

1、我的收获：

2、我的困惑

十八里中心中学八年级数学导学案

课题：

15.1轴对称图形（3）主备人：

柴修利

【学习目标】

1、了解平面直角坐标系中关于坐标轴对称的两个点的坐标的关系（重点）；

2、能在平面直角坐标系中作出简单的平面图形经过一次轴对称变换后的图形并写出对称点的坐标（难点）

【学习过程】

一．学前准备

1．如图，仿照例子利用“两个圆、两个三角形和两条平行线段”设计一个轴对称图案，并说明你所要表达的含义．

2.如图:

画△A′B′C′，使它与△ABC关于横轴对称；画△A″B″C″，使它与△ABC关于纵轴对称。

已知点坐标

A（）

B（）

C（）

关于横轴对称的点的坐标

A′

B′

C′

关于纵轴对称的点的坐标

A″

B″

C″

二．合作探究

1.阅读教材第117面“思考”，

平面直角坐标系中点P（x,y）关于x轴的对称点P1的坐标是P1（,）,关于y轴的对称点P2的坐标是P2（,）。

2..点P（－2，1）关于x轴对称的点的坐标为（），关于y轴对称的点的坐标为（）。

思考：

你能归纳某点关于x轴、y轴对称点的坐标特征吗？

【学习检测】

一、基础性练习

1.习题16.1第4、5、6题

2.已知点A（－2，4），B（2，4），C（－1，2），D（1，2），E（－3，1），F（3，1）是平面坐标系内的6个点，很快分别写出它们关于x轴的对称点的坐标和关于y轴的对称点的坐标。

二、扩展性练习

1.若点P（2a+b，-3a）与点P′（8，b+2）关于x轴对称，则a=，b=.

2.平面直角坐标系中长方形ABCD,A（-1,1）,B（1,1）,C（1,0）,D（-1,0）,在下左图中画出它关于x轴对称的图形，在下右图中将它向下平移1个单位，这两个变换得到的结果一样吗？

3.画△A1B1C1，，，使它与△ABC关于直线x=1对称.

【学习小结】

1、我的收获：

2、我的困惑:

十八里中心中学八年级数学导学案

课题：

15.2线段的垂直平分线

（1）主备人：

柴修利

【学习目标】

1.会用尺规作线段的垂直平分线。

（作图的证明是难点）

2.理解线段的垂直平分线的性质定理及定理的应用。

（重点）

【学习过程】

一、学前准备

1.复习:

轴对称图形及性质，线段是轴对称图形吗？

2.线段的垂直平分线的定义。

二、合作探究

1.怎样作出一条线段的垂直平分线？

A．在薄纸上画一条线段AB，通过对折点A与点B重合，思考下列问题。

（1）将纸展开后铺平，记折痕所在的直线MN，直线MN与线段AB的交点为O,线段AO与BO的长度有什么关系？

（2）直线MN与线段AB有怎样的位置关系？

B．怎样用刻度尺画出线段的垂直平分线？

（写出你的画法）

C．用尺规怎样作出线段的垂直平分线呢？

（1）自主预习课本，作出线段的垂直平分线

（2）小组合作：

你能根据三角形全等的判定定理给出证明吗？

（证明时要说清垂直、平分）

 2.交流与发现

（1）请同学们在练习本上作线段AB的垂直平分线EF。

（2）在EF上任取一点P，连结PA、PB量出PA=，PB=观察这两个值有什么关系？

（3）再取一点P＇试一试，猜想EF上的所有点和点A、点B的距离。

（4）归纳总结：

线段垂直平分线的性质：

3.尝试证明线段垂直平分线的性质

小贴士：

要证明一个图形上每一个点都具有某种性质

只需要在图形上任意取一点作代表即可。

【学习检测】

一、基础性练习

1.已知：

直线L是线段AB的垂直平分线，C、D是L上的两点。

求证：

（1）△ABC、△ABD是等腰三角形；

（2）∠CAD=∠CBD

一、拓展性练习

1．如图1，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，求BC的长.

十八里中心中学八年级数学导学案

课题：

15.2线段的垂直平分线

（2）主备人：

柴修利

【学习目标】

1.理解线段的垂直平分线的性质定理的逆定理及其应用。

（重点）

2.理解三角形的三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等.

【学习过程】

一、学前准备

1.旧知回顾：

互逆命题和互逆定理的概念。

2.线段的垂直平分线性质定理的题设与结论各是什么？

3.证明命题的一般步骤:

二、合作探究

1.写出线段的垂直平分线性质定理的逆命题。

2.试证明其正确性。

给大家提供两种证明方法供参考：

（1）过点P作已知线段AB的垂线PO，再证明PO平分AB；

（2）取AB的中点O，证明

；请选一种方法证明试试。

3.学习例题，完成本题

已知：

如图△ABC中，边AB，BC的垂直平分线相交于点P．求证：

点P在AC的垂直平分线上．

本例说明，三角形三边的垂直平分线，该点到三角形的的距离相等。

【学习检测】一、基础性练习

1.如图所示，到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（）

A．三条中线的交点B．三条角平分线的交点

C．三条高的交点D．三条边的垂直平分线的交点

2.如图，点D在△ABC的边BC上，且BC=BD+AD，则点D在（）的垂直平分线上

A．ABB．ACC．BCD．不能确定

3.下列说法：

①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=PB；②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB；③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；④若EA=EB，则过点E的直线垂直平分线段AB．其中正确的个数有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

1.如图，A、B、C三点表示三个镇的地理位置，随着乡镇工业的发展需要，现三镇联合建造一所变电站。

要求变电站到三镇的距离相等。

请你作出变电站的位置（用P点表示，并说明你的理由）。

·A

·B

·C

十八里中心中学八年级数学导学案

课题：

15.3等腰三角形

（1）主备人：

柴修利

【学习目标】

1、掌握等腰三角形的性质1及其推论（重点）；

2、运用等腰三角形的性质1及其推论进行有关证明和计算（难点）。

【学习过程】

一．学前准备

认真阅读教材125-126页内容，完成下列问题：

1.请同学们把一张长方形的纸片对折，剪去（或用刀子裁）一个角，再把它展开，得到的是什么样三角形?

有两条边相等的三角形，叫做三角形，相等的两边叫做，另一条边叫做，两腰所夹的角叫做，底边与腰的夹角叫做。

2.剪出的三角形是轴对称图形吗？

它的对称轴是什么？

3.把刚才剪下的等腰三角形纸片，标上字母如图所示：

把边AB叠合到边AC上，这时点B与C重合，并出现折痕AD，观察图形，

△ADB与△重合，∠B=∠，∠BAD=∠，∠ADB=∠，BD=

二．合作探究

1.等腰三角形性质1：

等腰三角形的相等，简称：

这个命题的条件是___________________,结论是____________________.

已知：

在△ABC中，AB=AC

求证：

∠B=∠C

分析：

要证两个角相等可以转化前面所学过的三角形全等，而图形只有一个三角形，如何添加辅助线使它转化为两个三角形?

2.例题：

如图，MN是AB的垂直平分线，垂足为O，点C、D在MN上。

求证：

∠CAD＝∠CBD

证明：

∵CD是线段AB的垂直平分线（已知）

∴AC＝BC（）

∴∠＝∠（等边对等角）

同理：

∠DAB＝∠DBA

∴∠－∠＝∠－∠

即：

∠CAD＝∠CBD

思考：

你能用不同的方法证明吗？

【学习检测】

一、基础性练习

1.等腰直角三角形每一个锐角的度数是_____。

2.如果等腰三角形的底角等于40°，那么它的顶角的度数是多少？

3.如果等腰三角形的顶角是40°，那么它的底角的度数是多少？

4.如果等腰三角形有一个内角等于80°，那么这个三角形最小内角等于多少？

5.如果等腰三角形的一个角是40°，那么其它的两个角各是多少度？

6.如果等腰三角形的一个内角是120°，则其它的两个角各是多少度？

二、扩展性练习

1.等边三角形各内角有什么关系？

各等于多少度？

（1）等腰三角形中顶角与底角的关系：

顶角十底角=180°

（2）推论：

等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于°。

试证明此结论。

十八里中心中学八年级数学导学案

课题：

15.3等腰三角形

（2）主备人：

柴修利

【学习目标】

1、掌握等腰三角形的性质2（重点）。

2、运用等腰三角形的性质2进行有关证明和计算（难点）。

【学习过程】一．学前准备

1.等腰三角形的性质1________________________.

2.从性质1可知∠B=∠C，你还能找出哪些相等的量？

二．合作探究

1.运用数学语言表述所发现的规律，小组共同归纳得出：

性质2。

即：

等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合。

如图，在ABC中，AB=AC

（1）∵AD⊥BD，∴∠______=∠_____；______=______（等腰三角形底边上的高与______、______重合）

（2）∵AD是中线　∴_____⊥_____；∠_____=∠_____（等腰三角形底边上的中线与_____、_____重合）

（3）∵AD是角平分线　∴____⊥____；____=____（等腰三角形顶角的平分线与______、_____重合）

2.如图，五边形ABCDE中AB=AE，BC=DE，∠ABC=∠AED，点F是CD的中点．求证：

AF⊥CD.

分析：

要证明AF⊥CD，而点F是CD的中点，联想到这是等腰三角形特有的性质，于是连接AC、AD，证明AC=AD，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到结论．

证明：

连接AC、AD在△ABC和△AED中

∴△ABC≌△AED（SAS）

∴=（全等三角形的对应边相等）

又∵△ACD中AF是CD边的中线（已知）

∴AF⊥CD（）

【学习检测】一、基础性练习：

2.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=DC=AD，求：

△ABC各角的度数．

二、扩展性练习

如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，

求证：

∠ABC=∠ADC.

十八里中心中学八年级数学导学案

课题：

15.3等腰三角形（3）主备人：

柴修利

【学习目标】

1、巩固等腰三角形的性质及其应用（重点）；

2、对HL定理的证明过程的理解（难点）。

【学习过程】

一．学前准备

1.知识回顾：

等腰三角形的性质1._______________________________

等腰三角形的性质2._______________________________.

2.认真阅读教材127页内容，完成例题的自学。

例2.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求：

△ABC各角的度数。

分析：

图中共有几个等腰三角形?

__________________________．

根据等边对等角的性质，我们可以得到∠A=______，∠ABC=______=_______，再由∠BDC=∠A+______，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2____．再由三角形内角和为180°，就可求出△ABC的三个内角． 

解：

∵AB=AC，BD=BC=AD，

 ∴∠ABC=∠C=∠BDC．∠A=∠ABD（等边对等角）．

设∠A=x°，得方程

   ∴在△ABC中，∠A=_____°，∠ABC=∠C=______°．

例3.分析：

这里证明“HL”定理的过程中，使用了平移的方法。

将两个Rt△拼在一起的目的是利用“等边对等角”定理解决两个图形全等的问题。

二．合作探究

1.已知：

在△ABC中，点D、E在BC上，且AB=AC，AD=AE，求证：

BD=CE

分析：

证明角或线段相等，以前主要是通过证明两个三角形全等来实现，今后可以利用等腰三角形的性质来实现。

要根据题目中的条件寻求多种解决问题途

径。

证明：

过点A作AF⊥CB，垂足为F.

∵AB=AC（已知）

∴_____=______（）

又∵AD=AE（已知）

∴____=_____（）

∴____-_____=_____-______（等式性质）即BD=CE

2.等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？

试证明你的结果。

【学习检测】

.△ABC中，AB=AC，BE、CD是∠ABC和∠ACB的角平分线，求证：

BE=CD

二、扩展性练习

如图，ΔABE≌ΔACD，求证：

①OB=OC②BD=CE

十八里中心中学八年级数学导学案

课题：

15.3等腰三角形（4）主备人：

柴修利

【学习目标】

探索等腰三角形的判定定理（重、难点）及其推论1、2

【学习过程】

一．学前准备

1．知识回顾：

（1）等腰三角形有些什么性质呢？

（2）满足了什么样的条件就能说一个三角形是等腰三角形呢？

2.思考：

如图，位于在海上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B．如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？

3.在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？

（折纸猜测）

二．合作探究

1.已知：

在△ABC中，∠B=∠C（如图）求证：

AB=AC．

证明：

作∠BAC的平分线AD．

在△BAD和△CAD中

∵

∴△BAD≌△CAD（）．∴AB=AC．（）

等腰三角形的判定定理：

__________________________________________

____________________________．

你还能用什么方法证明请动手做一做

2.探索判定等边三角形的条件

（1）已知：

如图，在△ABC中，∠A=∠B=∠C．

求证：

△ABC是等边三角形．

证明：

∵∠A=∠B，

∴______=_______（等角对等边）．

又∵∠A=∠C，

∴______=________（等角对等边）．

∴_____=______=_______，即△ABC是______三角形．

等腰三角形判定定理推论1___________________________

（2）如果等腰三角形的顶角是60°，那么这个三角形是等边三角形吗？

为什么？

如果等腰三角形的底角是60°，那么这个三角形是等边三角形吗？

为什么？

等腰三角形判定定理的推论2.

_______________________________

【学习检测】

一、基础性练习

1.教材第131面练习1.

分析：

要证明AC=PB,因为二者不在同一个三角形中，故需要找一个桥梁，CP=PD这个条件可以将AC和PB联系起来，∠A=∠_____，∠_____=∠B，我们可以通过“等角对等边”来实现证明。

十八里中心中学八年级数学导学案

课题：

15.3等腰三角形（5）主备人：

柴修利

【学习目标】

1、学习定理“在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

”及其应用（重点）；

2、含30°角的直角三角形性质定理发现与证明（难点）。

【学习过程】

一．学前准备：

1.复习回顾：

等腰三角形判定定理的推论2__________________。

2.自学定理

（1）用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？

能拼出一个等边三角形吗？

说说你的理由．

（2）由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？

你能证明你的结论吗？

图

（1）中，已经知道它是等边三角形，所以AB=BC=AC．而∠ADB=90°，即AD⊥BC．根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得BD=DC=

BC．所以BD=

AB，即在Rt△ABD中，∠BAD=30°，它所对的边BD是斜边AB的一半．

二．合作探究

1.已知：

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．

求证：

BC=

AB．

分析：

从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长BC至D，

使CD=BC，连接AD．可得Rt△ABC≌Rt△ADC,易证△ABD是等边三角形，BC=DC=

BD．所以BC=

AB

证明：

定理：

在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么_____________________.

2.右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BC、DE要多长？

分析：

观察图形可以发现在Rt△AED与Rt△ACB中，由于∠A=30°，所以DE=

AD，BC=

AB，又由D是AB的中点，所以DE=

AB．

解：

二、扩展性练习

已知：

在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高．

求：

CD的长．

十八里中心中学八年级数学导学案

课题：

15.4角平分线

（1）主备人：

柴修利

【学习目标】

1.归纳总结已学的几种尺规作图。

2.会作角平分线以及过一点作已知直线的垂线（重点），证明作图的正确性（难点）。

【学习过程】

一、学前准备：

1.角平分线是指。

2.已学过的基本作图有哪些？

试完成之（不写作法保留作图痕迹）。

①作一条线段等于已知线段②作一个角等于已知角

③作线段的垂直平分线

3.请你尝试用折叠的方法，能否找出角的平分线？

二、合作探究

认真阅读教材内容，完成下列问题

㈠角是对称图形，是它的对称轴。

㈡探究学习

1.学习教材内容作角平分线。

2.根据作图证明OP是∠AOB的平分线。

提示：

这里可连接PM、PO、PN，应用全等三角形的判定和性质，以及角平分线的定义去证明。

思考：

①当∠ABC的两边成一条直线时，这时的角平分线与直线AB的关系是怎样的？

②平面内的点与直线的位置关系有哪几种?

㈢例题解析

1.过一点作已知直线的垂线。

（阅读教材P134内容，自己尝试作一下。

）

1经过已知直线上的一点作这条直线的垂线

2经过已知直线外的一点作这条直线的垂线

2.已知一直角边和斜边作直角三角形。

【学习检测】

1.作△ABC的三个内角的平分线。

2.已知底边及底边上的高，作等腰三角形。

十八里中心中学八年级数学导学案

课题：

15.4角平分线

（2）主备人：

柴修利

【学习目标】

1.理解角平分线的性质定理。

（重点）

2.能运用角平分线的性质定理去解决问题。

（是重点也是难点）

【学习过程】

一、学前准备

复习旧知：

1.叫做角平分线；

2.怎样用圆规和直尺作角平分线？

3．角是对称图形，是它的对称轴。

二、合