学年上海市复旦大学附属中学高一下学期期末考试数学试题.docx
《学年上海市复旦大学附属中学高一下学期期末考试数学试题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《学年上海市复旦大学附属中学高一下学期期末考试数学试题.docx（50页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
学年上海市复旦大学附属中学高一下学期期末考试数学试题
2018-2019学年上海市复旦大学附属中学高一下学期期末考试数学试题
一、单选题
1．对于函数f（x）=2sinxcosx，下列选项中正确的是（）
A．f（x）在（
，）上是递增的42
B．f（x）的图象关于原点对称
C．f（x）的最小正周期为
2
D．f（x）的最大值为2
【答案】B
【解析】【详解】
解:
是周期为
的奇函数,
对于A,
在
上是递减的,错误;
对于B,
是奇函数,
图象关于原点对称,
正确;
对于C,
是周期为
错误;
对于D,
所以B选项是正确的.
的最大值为1,错误;
2．已知数列
{a}
n
是公差不为零的等差数列，函数
f（x）
是定义在R
上的单调递增的奇函数，数列{f（a）}
n
的前n项和
为S，对于命题：
n
①若数列
{a}
n
为递增数列，则对一切nN
*
，
S0
n
②若对一切nN
*
，
S0，则数列{a}nn
为递增数列
③若存在mN*，使得
S0
m
，则存在kN*，使得
a0
k
④若存在kN
*
，使得
a0
k
，则存在mN
*
，使得
S0
m
其中正确命题的个数为（）
A．0
B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】利用函数奇偶性和单调性，通过举例和证明逐项分析.【详解】
33
①取
an5，f（x）x，则Sf（a）f（4）40n11
，故①错；
②对一切nN*，
S0，则f（a）0n1
，又因为
f（x）
是R
上的单调递增函数，所以
a0，若{a}1n
递减，设
a0,a
k
k1
0
，且
S
2k1
f（a）f（a）...f（a）f（a12k
k1
）...f（a
2k1
）
，
且
aaaa...2a0，所以aa,aa,...,aa12k122kk112k122kk
k2
，则
f（a）f（a1
2k1
）,f（a）f（a）,...,f（a）f（a22kk
k2
）
，则
S
2k1
f（a）f（a）...f（a）f（a12k
k1
）...f（a
2k1
）0
，与题设矛盾，所以
{a}
n
递增，故②正确；
③取
a2n3，则a1，a1，令f（x）x，所以f（a）f（a）0，但是a2n30n1212n
，故③错误；
④因为
a0，所以aak1
2k1
aa
2
2k2
...2a0
k
，
所以
aa,aa,...,aa12k122k2k1k1
，
则
f（a）f（a1
2k1
）,f（a）f（a2
2k2
）,...,f（a）f（a）
k1k1
，
则
S
2k1
f（a）f（a）...f（a）f（a）...f（a12kk1
2k1
）0
，则存在mN*，使得
S0
m
，故④正确.
故选：
C.
【点睛】
本题函数性质与数列的综合，难度较难.这也是一种常规思路.
二、填空题
分析存在性问题时，如果比较难分析，也可以从反面去举例子说明命题不成立，
3．计算
lim
n
2
n3
3n1
__________．
【答案】
2
3
【解析】采用分离常数法对所给极限式变形，可得到极限值.【详解】
2n3
limlimn3n1n
211
2n
2112lim[]
3n1n33（3n1）3
.
【点睛】
本题考查分离常数法求极限，难度较易.
4．实数2和8的等比中项是__________．【答案】4
【解析】所求的等比中项为：
284
.
5．函数
yarctanx，x（0,1）的反函数为__________．
【答案】
ytanx,x（0,
4
）
【解析】将函数变形为【详解】
xf（y）
的形式，然后得到反函数，注意定义域.
因为
yarctanx，所以xtany
，则反函数为：
ytanx
且
x（0,
4
）
.
【点睛】
本题考查反三角函数的知识，难度较易.给定定义域的时候，要注意函数定义域.
6．在等差数列
a
n
中，
a
1
2，aa10，则a357
．
【答案】8
【解析】【详解】
设等差数列
a
n
的公差为d
，
则
aaaa2a6d1035171
，
所以
a10a102871
，故答案为8.
1
7．用列举法表示集合xcos（x）,x[0,]
32
__________．
【答案】
{0,
2
3
}
【解析】先将x的表示形式求解出来，然后根据范围求出x的可取值.【详解】
因为
cos（x
3
）
1
，所以x2k,kZ，又因为x[0,233
]
，所以
k0
，此时
x0
2
或，则可得集3
2
合：
{0,}.
3
【点睛】
本题考查根据三角函数值求解给定区间中变量的值，难度较易.
2
21
2
8．在ABC中，角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c
，若面积S
a2b2c22
，则角C__________．
【答案】arctan2
【解析】根据面积公式计算出tanC的值，然后利用反三角函数求解出C的值.【详解】
因为S
1a2b2c2absinC
22
，所以absinCa2b2c22abcosC，则tanC2，则有：
Carctan2
.
【点睛】
本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，难度较易.利用面积公式的时候要选择合适的公式进行化简，可根据所求角进行选择.
9．已有无穷等比数列
a
的各项的和为1，则a的取值范围为__________．n2
【答案】
2,0
0,
1
4
【解析】根据无穷等比数列的各项和表达式，将a用公比q表示，根据q的范围求解a的范围.
22
【详解】
因为
S
a
11且|q|11q
，又
111
aaq（1q）q（q），且q（1,0）（0,1），则a（2,0）（0,]
244
.
【点睛】
本题考查无穷等比数列各项和的应用，难度一般.关键是将待求量与公比之间的关系找到，然后根据的取值范围解决问题.
10．已知函数
f（x）2sin（
x
46
）
，若对任意
xR都有f（x）f（x）f（x）（x,xR
1212
）成立，则
xx
12
的最
小值为__________．
【答案】4
【解析】根据
f（x）和f（x）12
的取值特点，判断出两个值都是最值，然后根据图象去确定
xx
12
最小值.
【详解】
因为
f（x）f（x）f（x）12
对任意
xR成立，所以f（x）
1
取最小值，
f（x）
2
取最大值；
xx
12
取最小值时，x与x必为同一周期内的最小值和最大值的对应的x，则
12
xx
12
min
T
2
2
，且T8，故
||
xx
12
min
4
.
pq
【点睛】
任何一个函数
f（x）
，若有
f（x）f（x）f（x）12
对任何x定义域成立，此时必有：
f（x）min，f（x）max12
.
11．若
a,b
是函数
fxx2pxqp0,q0
的两个不同的零点，且
a,b,2
这三个数可适当排序后成等差数
列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于________．
【答案】9
【解析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p，ab=q，再由a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a，b的方程组，求得a，b后得答案．
【详解】
由题意可得：
a+b=p，ab=q，
∵p＞0，q＞0，
可得a＞0，b＞0，
又a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，
也可适当排序后成等比数列，
可得
解①得：
①或
；解②得：
②．
．
∴p=a+b=5，q=1×4=4，
则p+q=9．
故答案为9．
点评：
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题．
【思路点睛】
解本题首先要能根据韦达定理判断出a，b均为正值，当他们与-2成等差数列时，共有6种可能，当-2为等差中项时，
因为，所以不可取，则-2只能作为首项或者末项，这两种数列的公差互为相反数；又a,b与-2可排序成等比数列，由等比中项公式可知-2必为等比中项，两数列搞清楚以后，便可列方程组求解p，q．
12．设函数
f（x）Asin（x）（A,
是常数，A0,
0
）.若
f（x）
在区间
[
]
62
上具有单调性，且
2
f（）f（）f（），则f（x）236
的最小正周期为_________.
【答案】
π
【解析】【详解】
q
q
由
且
在区间
上具有单调性，知，函数
的对称中心为
，
由
设函数
所以，
即
解得
知函数
的最小正周期为
，
，所以
，故答案为.
的对称轴为直线，
，
，
【考点】函数
的对称性、周期性，属于中档题.
13．由正整数组成的数列
a
n
，b分别为递增的等差数列、等比数列，n
a
1
b1
1
，记
cabnnn
，若存在正整
数
k
（k2
）满足
c100，c1000，则c__________．k1k1k
【答案】262
【解析】根据条件列出不等式进行分析，确定公比、
k
、d
的范围后再综合判断.
【详解】
设等比数列公比为，等差数列公差为d
，因为
c
k1
100，c
k1
1000
1（k2）dqk2，所以
1kdqk1000
100
（*）
；又因
为
a
n
，b
n
分别为递增的等差数列、等比数列，所以q2且d1；又k2时11100
显然不成立，所以k3，
则
q
3
1000
，即
q9
；
因为q2，
100q
k22k2
，所以
k8
；因为
（k2）dd
，所以
d100
；
由（*）可知：
q
k
q
k2
2d900，则2d900（q
k
q
k2
）200，q
k2
（q
2
1）700
；又
c1kdqk
k1
ccqkqk21k1k1550q22222
k2
（q1）2
0
，
所以
根据
qk2q21700
qk2（q1）21100
，则有
qk2（q1）21100
3k8k4k3k4
可解得符合条件的解有：
或；当时，14d62q9q6q9q6
4
1000，解得
d0
不符，当
k
q
q
2
q
a
k3
q9
时，解得d90，符合条件；则
1
c550932（91）2
2
262
.
【点睛】
本题考查等差等比数列以及数列中项的存在性问题，难度较难.
根据存在性将变量的范围尽量缩小，通过不等式确定参
变的取值范围，然后再去确定符合的解，一定要注意带回到原题中验证，看是否满足.
14．已知无穷等比数列
{a}
n
满足：
对任意的nN*，
sina1，则数列{a}nn
公比的取值集合为__________．
qq4k1,kZ
【答案】
【解析】根据条件先得到：
a的表示，然后再根据
n
【详解】
{a}
n
是等比数列讨论公比的情况.
因为
sina1，所以ann
2
2k
kZ，即a
n
（4k1）2
kZ；取{a}
n
连续的有限项构成数列
{b}
n
，不妨令
b
1
（4k1）q（4k1）
kZ，则b
22
kZ
，且
b{a}2n
，则此时必为整数；
当
q4k,kZ
时，b2k（4k1）2
4（4k2k）2
{a}
n
，不符合；
当
q4k1,kZ
时，b
2
（4k1）24（4k22k）1
22
{a}
n
，符合，
此时公比
q4k1,kZ
；
当
q4k2,kZ
时，b（2k1）（4k1）2
4（4k23k）2
2
{a}
n
，不符合；
当
q4k3,kZ
时，b
2
（4k3）（4k1）4（4k24k）3
22
{a}
n
，不符合；
故：
公比
【点睛】
q4k1,kZ
.
本题考查无穷等比数列的公比，难度较难,找到思路，然后再准确分析.
分析这种抽象类型的数列问题时，经常需要进行分类，可先通过列举的方式
15．若等差数列
A．大于0
{a}
n
的前10项之和大于其前21项之和，则的值（）
16
B．等于0C．小于0D．不能确定
【答案】C
【解析】根据条件得到不等式，化简后可判断a的情况.
16
n
n2019
n2020
2
n
1
22
1
【详解】
据题意：
S
10
S，则10a45d21a210d，所以11a165d0，即11（a15d）0，则：
a0
2111116
，
故选：
C.
【点睛】
本题考查等差数列前n项和的应用，难度较易.等差数列前n项和之间的关系可以转化为a与d
1
的关系.
16．已知数列
{a}
n
1
1n2019
的通项公式an1
，前n项和为
S
n
，则关于数列
{a}
n
、
S的极限，下面n
判断正确的是（）
A．数列
{a}
n
的极限不存在，
S
n
的极限存在
B．数列
{a}
n
的极限存在，
S
n
的极限不存在
C．数列
D．数列
{a}、Sn
{a}、Sn
n
n
的极限均存在，但极限值不相等的极限均存在，且极限值相等
【答案】D
【解析】分别考虑
{a}
n
与
S
n
的极限，然后作比较.
【详解】
因为
1
limalim（）xx2
n2009
0
，
又
limSlim（aa...an122019
xx
11
（1（）n2019）
）lim[（）n2019]01x2
2
，所以数列
{a}
n
、
S的极限均存在，n
且极限值相等，
故选：
D.
【点睛】
本题考查数列的极限的是否存在的判断以及计算，难度一般.注意求解
S
n
的极限时，若是分段数列求和的形式，一
定要将多段数列均考虑到.
三、解答题
17．已知等比数列
{a}
n
的前n项和为S
，a2
n1
，
a=2a+1632
，且
S0
2020
.
（1）求
{a}
n
的通项公式；
n
（2）是否存在正整数n，使得
S2020
n
成立？
若存在，求出n的最小值；若不存在，请说明理由.
【答案】
（1）
a2
（2）n
n1
；
（2）存在，
n13
【解析】
（1）根据条件求解出公比，然后写出等比数列通项；
（2）先表示出S，然后考虑
n
【详解】
S2020
n
的n的最小值.
（1）因为
a2
1
2q24q16
，所以q4或2，又
S0，则q2，所以a2
（2）2020n
n1
；
（2）因为
2（1
（2）n）2
S（1
（2）n）20201
（2）3
，则
（2）n3029
，当n为偶数时有
（2）n0
不符合；所以n为奇数，且
（2）11
2048，
（2）13
4096，所以n13且n为奇数，故
n
min
13
.
【点睛】
本题考查等比数列通项及其前n项和的应用，难度一般.注意分类讨论，因此n的奇偶会影响S的正负.
n
18．已知函数f（x）2cos2x23sinxcosx1
对于公比为负数的等比数列，分析前n项和所满足的不等式时，
（1）求函数
yf（x）
的单调递减区间；
（2）在锐角
ABC
中，若角C2B
，求f（A）的值域.
【答案】
（1）
k
6
k
2
3
，kZ；
（2）
（1,2]
【解析】
（1）利用二倍角、辅助角公式化简
f（x）
，然后利用单调区间公式求解单调区间；
（2）根据条件求解出A
的范
围，然后再求解f（A）的值域.【详解】
（1）
f（x）2cos
2
x23sinxcosx1cos2x13sin2x12sin（2x
6
）
，
令
2k
2
2x
6
2k
32
kZ，解得：
kxk,kZ263
，
所以单调减区间为：
k
6
k
2
3
，
kZ
；
C2B
（2）由锐角三角形可知：
2
ABC
27，所以A，则（2A）（,）
42636
，
max
又
f（A）2sin（2A
6
）
，所以
f（A）
min
7
2sin（）1，f（A）2sin2，则f（A）（1,2]62
.
【点睛】
本题考查三角恒等变换以及三角函数值域问题，难度较易.
根据三角形形状求解角范围的时候，要注意到隐含条件
ABC的使用.
19．已知数列
{a}满足：
a2，nan1
n1
（n1）an（n1）
n
，nN
*
.
（1）求证：
数列
{
a
n}
n
为等差数列，并求出数列
{a}
n
的通项公式；
（2）记
b
n
2（n1）a
n
（nN
*
），用数学归纳法证明：
bb
12
b1n
1（n1）2
，nN
*
【答案】
（1）证明见解析，
an（n1）n
；
（2）见解析
【解析】
（1）定义法证明：
【详解】
aa
n1ndn1n
；
（2）采用数学归纳法直接证明（注意步骤）.
由
na（n1）an（n
升级会员 