因式分解含答案doc.docx
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因式分解含答案doc
因式分解
序号公式记忆特征
1
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
(十字相乘法)
(1)常数项两数积
(2)一次项系数两数和
(3)二次项系数为1
2
a2-b
2-b
2=(a-b)(a+b)
(平方差公式)
22
a+2ab+b
=(a+b)
2
3
a2-2ab+b
2-2ab+b
2=(a-b)
2
(完全平方公式)
4
a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)
2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)
(完全平方公式扩展)
2
(1)三数平方和
(2)两两积的2倍
a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)
3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)
3
5
a3-3a
3-3a
2b-3ab2+b3=(a-b)
3
对照完全平方公式相互加强记忆
(完全立方公式)
(1)近似完全平方公式
6
a3+b3=(a+b)(a
3+b3=(a+b)(a
a3-b
3-b
3=(a-b)(a
2-ab+b2)
2+ab+b2)
(2)缺项之完全立方公式
(a+b)[(a+b)
2-3ab]=(a+b)
3-3ab(a+b)
(a-b)[(a+b)
2+3ab]=(a-b)3+3ab(a+b)
7a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a
3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a
2+b2+c2-ab-ac-bc)对照公式4相互加强记忆
(1)短差长和;
8
an-b
n-b
n=(a-b)(a
n-1+an-2b+an-3b2+⋯+abn-2+bn-1)n=整数
(平方差公式扩展)
(2)a指数逐项递减1;
(3)b指数逐项递增1;
(4)长式每项指数和恒等于n-1。
(1)短式变加长式加减相间;
9
an-b
n-b
n=(a+b)(a
n-1-a
(立方差公式扩展)
n-2b+an-3b2-⋯+abn-2-b
n-1)n=偶数
(2)a指数逐项递减1;
(3)b指数逐项递增1;
(4)每项符号b指数决定偶加奇减。
10
an+bn=(a+b)(a
n+bn=(a+b)(a
n-1-a
(立方和公式扩展)
n-2b+an-3b2-⋯+abn-2-b
n-1)n=奇数
对比公式9的异同
运用公式法分解因式时,要根据多项式的特点,根据字母、系数、指数、符号等正确恰
当地选择公式.
例1分解因式:
(1)-2x
5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4;
(2)x3-8y3-z3-6xyz;
解
(1)原式=-2x
n-1yn(x4n-2x2ny2+y4)
=-2x
n-1yn[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]
=-2x
n-1yn(x2n-y2)
2
=-2x
n-1yn(xn-y)2(xn+y)2.
(2)原式=x3+(-2y)
3+(-2y)
3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)
=(x-2y-z)(x
2+4y2+z2+2xy+xz-2yz).
例2分解因式:
a
3+b3+c3-3abc.
本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6).
分析我们已经知道公式
(a+b)
3=a3+3a2b+3ab2+b
3
的正确性,现将此公式变形为
a3+b3=(a+b)
3+b3=(a+b)
3-3ab(a+b).
这个式也是一个常用的公式,本题就借助于它来推导.
解原式=(a+b)
3-3ab(a+b)+c3-3abc
=[(a+b)3+c
3]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)[(a+b)
2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a
2+b2+c2-ab-bc-ca).
说明公式(6)是一个应用极广的公式,用它可以推出很多有用的结论,例如:
我们将公
式(6)变形为
a
3+b3+c3-3abc
3+b3+c3=3abc;当a+b+c>0时,则a3+b3+c3-3abc≥0,即a3+b3+c
3
显然,当a+b+c=0时,则a
≥3abc,而且,当且仅当a=b=c时,等号成立.
如果令x=a
3≥0,y=b3≥0,z=c3≥0,则有
等号成立的充要条件是x=y=z.这也是一个常用的结论.
※※变式练习
1分解因式:
x
15+x14+x13+⋯+x2+x+1.
分析这个多项式的特点是:
有16项,从最高次项x
15开始,x的次数顺次递减至0,由
此想到应用公式an-b
n-b
n来分解.
解因为
x16-1=(x-1)(x
16-1=(x-1)(x
15+x14+x13+⋯x2+x+1),
所以
说明在本题的分解过程中,用到先乘以(x-1),再除以(x-1)的技巧,这一技巧在等式变
形中很常用.
2.拆项、添项法
因式分解是多项式乘法的逆运算.在多项式乘法运算时,整理、化简常将几个同类项合
并为一项,或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零.在对某些多项式分解因式时,需
要恢复那些被合并或相互抵消的项,即把多项式中的某一项拆成两项或多项,或者在多项
式中添上两个仅符合相反的项,前者称为拆项,后者称为添项.拆项、添项的目的是使多
项式能用分组分解法进行因式分解.
例3分解因式:
x3-9x+8.
分析本题解法很多,这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法,注意一下拆项、添
项的目的与技巧.
解法1将常数项8拆成-1+9.
原式=x3-9x-1+9
=(x
3-1)-9x+9
=(x-1)(x
2+x+1)-9(x-1)
=(x-1)(x
2+x-8).
解法2将一次项-9x拆成-x-8x.
原式=x3-x-8x+8
=(x
3-x)+(-8x+8)
=x(x+1)(x-1)-8(x-1)
=(x-1)(x
2+x-8).
解法3将三次项x3拆成9x3-8x
3拆成9x3-8x
3.
原式=9x3-8x
3-8x
3-9x+8
=(9x
3-9x)+(-8x3+8)
=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x
2+x+1)
=(x-1)(x
2+x-8).
解法4添加两项-x
2+x2.
.
原式=x3-9x+8
=x3-x
3-x
2+x2-9x+8
=x2(x-1)+(x-8)(x-1)
=(x-1)(x
2+x-8).
说明由此题可以看出,用拆项、添项的方法分解因式时,要拆哪些项,添什么项并无一
定之规,主要的是要依靠对题目特点的观察,灵活变换,因此拆项、添项法是因式分解诸
方法中技巧性最强的一种.
※※变式练习
1分解因式:
(1)x
9+x6+x3-3;
(2)(m
2-1)(n2-1)+4mn;
(3)(x+1)
4+(x2-1)2+(x-1)4;
(4)a
3b-ab3+a2+b2+1.
解
(1)将-3拆成-1-1-1.
原式=x9+x6+x3-1-1-1
=(x
9-1)+(x6-1)+(x3-1)
=(x
3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)
=(x
3-1)(x6+2x3+3)
=(x-1)(x
2+x+1)(x6+2x3+3).
(2)将4mn拆成2mn+2m.n
原式=(m2-1)(n
2-1)(n
2-1)+2mn+2mn
=m2n2-m2-n
2n2-m2-n
2+1+2mn+2mn
=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)
=(mn+1)2-(m-n)
2-(m-n)
2
=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1).
(3)将(x
2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2.
原式=(x+1)
4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)
4
=[(x+1)
4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)
2
=[(x+1)
2+(x-1)2]2-(x2-1)
2
=(2x
2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3).
(4)添加两项+ab-ab.
原式=a3b-ab
3b-ab
3+a2+b2+1+ab-ab
=(a
3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)
=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b
2+1)
=a(a-b)[b(a+b)+1]+(ab+b
2+1)
=[a(a-b)+1](ab+b
2+1)
=(a
2-ab+1)(b2+ab+1).
说明(4)是一道较难的题目,由于分解后的因式结构较复杂,所以不易想到添加
+ab-ab,而且添加项后分成的三项组又无公因式,而是先将前两组分解,再与第三组结合,
找到公因式.这道题目使我们体会到
拆项、添项法的极强技巧所在,同学们需多做练习,积累经验.
3.换元法
换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体,并用一个新的字母替
代这个整体来运算,从而使运算过程简明清晰.
例4分解因式:
(x
2+x+1)(x2+x+2)-12.
分析将原式展开,是关于x的四次多项式,分解因式较困难.我们不妨将x2+x看作一
个整体,并用字母y来替代,于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了.
解设x2+x=y,则
原式=(y+1)(y+2)-12=y
2+3y-10
=(y-2)(y+5)=(x
2+x-2)(x2+x+5)
=(x-1)(x+2)(x
2+x+5).
说明本题也可将x2+x+1看作一个整体,比如今x2+x+1=u,一样可以得到同样的结果,
有兴趣的同学不妨试一试.
例5分解因式:
(x
2+3x+2)(4x2+8x+3)-90.
分析先将两个括号内的多项式分解因式,然后再重新组合.
解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90
=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90
=(2x
2+5x+3)(2x2+5x+2)-90.
令y=2x2+5x+2,则
原式=y(y+1)-90=y
2+y-90
=(y+10)(y-9)
=(2x
2+5x+12)(2x2+5x-7)
=(2x
2+5x+12)(2x+7)(x-1).
说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础.
※※变式练习
1.分解因式:
(x
2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2.
解设x2+4x+8=y,则
原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)
=(x
2+6x+8)(x2+5x+8)
=(x+2)(x+4)(x
2+5x+8).
说明由本题可知,用换元法分解因式时,不必将原式中的元都用新元代换,根据题目需
要,引入必要的新元,原式中的变元和新变元可以一起变形,换元法的本质是简化多项式.
1.双十字相乘法
分解二次三项式时,我们常用十字相乘法.对于某些二元二次六项式
(ax
2+bxy+cy2+dx+ey+f),我们也可以用十字相乘法分解因式.
例如,分解因式2x2-7xy-22y
2-7xy-22y
2-5x+35y-3.我们将上式按x降幂排列,并把y当作常数,
于是上式可变形为
2x2-(5+7y)x-(22y
2-(5+7y)x-(22y
2-35y+3),
可以看作是关于x的二次三项式.
对于常数项而言,它是关于y的二次三项式,也可以用十字相乘法,分解为
即:
-22y
2+35y-3=(2y-3)(-11y+1).
再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解
所以,原式=[x+(2y-3)][2x+(-11y+1)]
=(x+2y-3)(2x-11y+1).
上述因式分解的过程,实施了两次十字相乘法.如果把这两个步骤中的十字相乘图合并
在一起,可得到下图:
它表示的是下面三个关系式:
(x+2y)(2x-11y)=2x
2-7xy-22y
2
;
(x-3)(2x+1)=2x
2-5x-3;
(2y-3)(-11y+1)=-22y
2+35y-3.
这就是所谓的双十字相乘法.
用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是:
(1)用十字相乘法分解ax,得到一个十字相乘图(有两列);2+bxy+cy2
(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上,要求第二、第三列构成的十字交叉之积的
和等于原式中的ey,第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx.
例1分解因式:
(1)x
2-3xy-10y2+x+9y-2;
(2)x
2-y2+5x+3y+4;
(3)xy+y
2+x-y-2;
(4)6x
2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2.
解
(1)
原式=(x-5y+2)(x+2y-1).
(2)
原式=(x+y+1)(x-y+4).
(3)原式中缺x2项,可把这一项的系数看成0来分解.
原式=(y+1)(x+y-2).
(4)
原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z).
说明(4)中有三个字母,解法仍与前面的类似.
2.求根法
我们把形如anxn-1x1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式,并n+an-1+⋯+a
用f(x),g(x),⋯等记号表示,如
f(x)=x
2-3x+2,g(x)=x5+x2+6,⋯,
当x=a时,多项式f(x)的值用f(a)表示.如对上面的多项式f(x)
f
(1)=1
2-3×1+2=0;
f(-2)=(-2)
2-3×(-2)+2=12.
若f(a)=0,则称a为多项式f(x)的一个根.
定理1(因式定理)若a是一元多项式f(x)的根,即f(a)=0成立,则多项式f(x)有一个
因式x-a.
根据因式定理,找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根.对于任意
多项式f(x)要求出它的根是没有一般方法的,然而当多项式f(x)的系数都是整数时,即
整系数多项式时,经常用下面的定理来判定它是否有有理根.
定理2
的根,则必有p是a0的约数,q是an的约数.特别地,当a0=1时,整系数多项式f(x)
的整数根均为an的约数.
我们根据上述定理,用求多项式的根来确定多项式的一次因式,从而对多项式进行因式
分解.
例2分解因式:
x3-4x
3-4x
2+6x-4.
分析这是一个整系数一元多项式,原式若有整数根,必是-4的约数,逐个检验-4的约
数:
±1,±2,±4,只有
f
(2)=2
3-4×22+6×2-4=0,
即x=2是原式的一个根,所以根据定理1,原式必有因式x-2.
解法1用分组分解法,使每组都有因式(x-2).
原式=(x
3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)
=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)
=(x-2)(x
2-2x+2).
解法2用多项式除法,将原式除以(x-2),
所以
原式=(x-2)(x
2-2x+2).
说明在上述解法中,特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数,反之不成立,
即-4的约数不一定是多项式的根.因此,必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证.
※※变式练习
1.分解因式:
9x4-3x
4-3x
3+7x2-3x-2.
分析因为9的约数有±1,±3,±9;-2的约数有±1,±
为:
所以,原式有因式9x2-3x-2.
解9x
4-3x3+7x2-3x-2
=9x4-3x
4-3x
3-2x2+9x2-3x-2
=x2(9x
2(9x
3-3x-2)+9x2-3x-2
=(9x
2-3x-2)(x2+1)
=(3x+1)(3x-2)(x
2+1)
说明若整系数多项式有分数根,可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式,如上题
中的因式
可以化为9x2-3x-2,这样可以简化分解过程.
总之,对一元高次多项式f(x),如果能找到一个一次因式(x-a),那么f(x)就可以分解
为(x-a)g(x),而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式,这样,我们就可以继续对g(x)进
行分解了.
3.待定系数法
待定系数法是数学中的一种重要的解题方法,应用很广泛,这里介绍它在因式分解中的
应用.
在因式分解时,一些多项式经过分析,可以断定它能分解成某几个因式,但这几个因式
中的某些系数尚未确定,这时可以用一些字母来表示待定的系数.由于该多项式等于这几
个因式的乘积,根据多项式恒等的性质,两边对应项系数应该相等,或取多项式中原有字
母的几个特殊值,列出关于待定系数的方程(或方程组),解出待定字母系数的值,这种因
式分解的方法叫作待定系数法.
例3分解因式:
x2+3xy+2y2+4x+5y+3.
分析由于
(x
2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y),
若原式可以分解因式,那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x+y+n的形式,应用待定
系数法即可求出m和n,使问题得到解决.
解设
x2+3xy+2y2+4x+5y+3
=(x+2y+m)(x+y+n)
=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn,
比较两边对应项的系数,则有
解之得m=3,n=1.所以
原式=(x+2y+3)(x+y+1).
说明本题也可用双十字相乘法,请同学们自己解一下.
※※变式练习
1.分解因式:
x4-2x
4-2x
3-27x2-44x+7.
分析本题所给的是一元整系数多项式,根据前面讲过的求根法,若原式有有理根,则只可能
是±1,±7(7的约数),经检验,它们都不是原式的根,所以,在有理数集内,原式没有
一次因式.如果原式能分解,只能分解为(x
2+ax+b)(x2+cx+d)的形式.
解设
原式=(x
2+ax+b)(x2+cx+d)
=x4+(a+c)x
4+(a+c)x
3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd,
所以有
由bd=7,先考虑b=1,d=7有
所以
原式=(x
2-7x+1)(x2+5x+7).
说明由于因式分解的唯一性,所以对b=-1,d=-7等可以不加以考虑.本题如果b=1,
d=7代入方程组后,无法确定a,c的值,就必须将bd=7的其他解代入方程组,直到求出
待定系数为止.
本题没