自动控制原理闭环零点对二阶系统的暂态影响分析分析.docx
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自动控制原理闭环零点对二阶系统的暂态影响分析分析
闭环零点对二阶系统暂态的影响
作者:
智世宁班级：
10电本2班学号：
4100208211
纲要
二阶系统的单位阶跃响应是典型的二阶系统。
所以剖析二阶系统的单位阶跃响应，关于研究自动控制系统的暂态特征拥有重要意义。
在实质工作中，在必定的条件下，经常需要把一个高阶系统降为二阶系统来办理，这样的近似办理能够大大简化剖析方法，减少计算量，并且任然不失其运动过程的基天性质。
二阶系统在欠阻尼时的响应虽有振荡，但阻尼比ξ取值适合，则系统既有响应的迅速性，又有过渡过程的安稳性，所以在控制过程中常把二阶系统设计为欠阻尼的状况。
大部分高阶系统中含有一对闭环主导极点，则该系统的动向响应就能够近似的用这对主导极点所描绘的二阶系统来表达。
本论文是经过直接求解系统在单位阶跃信号作用下的时域响应来剖析系统
的性能的。
经过对设零点系统与未设零点系统上涨时间、峰值时间、最大超调量、调理时间等暂态特征各个方面的对照，以及零点地点的变化对各动向性能变化趋向最后找到闭环零点对实质二阶系统的作用成效。
重点字：
暂态响应动向指标单位阶跃二阶系统欠阻尼闭环零点
1前言
由二阶微分方程描绘的系统，称为二阶系统。
欠阻尼振荡的二阶系统在实质
中能够当作是稳固的系统，所以剖析欠阻尼系统拥有实质意义。
二阶系统的单位
阶跃响应是反应二阶系统实质的重要表现形式。
我们在实质生产过程中，二阶系
统老是需要知足工程最正确参数的要求，可是经过改变开环放大系数的方法可能会
增大系统稳态偏差。
所以需要经过设置零点的方法进而达到既知足工程所需的阻
尼比，又保证系统稳态精度的目的。
正是因为闭环零点对二阶系统这样重要，所
以此文主要剖析闭环零点对二阶系统单位阶跃响应的影响。
1二阶系统的描绘
一个系统的阶次是由其最简闭环传达函数分母S的最高次项的幂决定的。
而二阶系统就是以2为S的最高次幂的闭环传达函数所对应的系统典型。
简单来说，由二阶微分方程所描绘的系统就叫做二阶系统。
1.1二阶系统构造图及传达函数
1
图1.1-1二阶系统标准形式的构造图
由图可知：
二阶系统的开环传达函数为：
2
WK
s
n
ss
2
n
二阶系统的闭环传达函数为：
2
WB
s
n
s
2
2
ns
2
n
1.2二阶系统单位阶跃响应
1，可得该二阶系统的单位阶跃响应
当输入单位阶跃信号时
Xrs
s
ω2
为：
X
c
s
Xr（s）
WB（s）
ss2
n
ω2
2ξωs
n
n
求其拉氏反变换有
e
nt
（t
0）
Xc
t
1
sin
dt
①
1
2
2
1
2
此中阻尼振荡角频次：
1
n，阻尼角：
d
arctan
1.3二阶系统极点散布图
σ
图1.3-101时的极点散布图
2
1.4二阶系统动向特征
1.4.1上涨时间
tr（系统输出量第一次达到稳态值时所用的时间）
令①中tt
r
时Xct
1
e
ntr
sin
0
得
dtr
1
2
在系统没有达到最后的稳固从前，为知足上式，使sin（dtr）0
得
tr
②
d
1
2
n
1.4.2峰值时间tm（系统输出量第一次达到最大值时所用的时间）
令①中dxct0则第一个峰值对应的时间
dt
tm
③
d1
2
n
1.4.3最大超调量%（发生在第一个周期的峰值时间处）
因为
Xcm
Xc
100%
且在单位阶跃输入下，稳固值Xc
1
%
Xc
所以得
1
2
100%
④
%e
1.4.4调理时间ts（xc（t）与稳态值xc（
）之间的偏差达到同意范围而不再高出
的动向过程时间）
ts5%
3
（0
0.9）
n
ts2%
4
（0
0.9）
⑤
n
2拥有零点的二阶系统的动向剖析
3
2.1拥有零点的二阶系统构造图及传达函数
Xr（s）
wn2（sz）
Xc（s）
z（s2
2ξwnswn2）
图2.1-1带零点的二阶系统构造图
拥有零点的二阶系统的闭环传达函数为：
Xc（s）
2
1）
wn2（s1）
wn（τs
τ
WB（s）
s2
2
1（s2
Xr（s）
2ξwns
wn
2ξwnswn2）
τ
此中τ为时间常数。
令1=z，则上式可写为以下形式：
τ
Xc（s）
wn2（sz）
2）
⑥
Xr（s）
z（s2
2ξwnswn
由式⑥可得，该系统的闭环传达函数拥有零点s
z，将式⑥分解，
由
Xc1（s）
wn2Xr（s）
2
s2
2ξwnswn
得
（）
1s
Xc1（s）
Xcs
Xc
z
2.2拥有零点的二阶系统的单位阶跃响应
为求其阶跃响应，设Xr（s）1，取初始条件为零，则Xc1（s）和Xc（s）的拉氏
s
反变换为
xc1（t）
1[
s（s
2
wn2
2
]
2ξwns
wn）
xc（t）
1[sXc1（s）]
1[Xc1（s）]
xc1（t）
1dxc1（t）
⑦
z
zdt
求出⑦中两项而后相加即得输出量，经过运算得
e
ξwnt
lz
ζwn
1
2
xc（t）1
sin（
1
ξ2wntθ）
ξwncos（1ξ2wntθ）⑧
1ξ2
z
l
l
上述式子中的“l”为极点与零点间的距离，在复平面上画出其地点（假定零点在极点左边）
4
jw
-P1
wn
l
φθσ
-ZZ
图2.2-1复平面上的零点与极点散布
由上图可知：
lzp1
（zξwn）
2
（wn
2
2zξwn
cosφ
wn
1ξ2
1ξ）
l
sinφ
l
故式子⑧能够写成：
xc（t）
eξwnt
l
2
φθ
⑨
1
sin
1ξwnt
1ξ2
z
式子中：
θarctan1ξ2
ξ
φarctanwn1
ξ2
zξwn
l
z2
2zξwn
wn2
z
z2
令r
ξwn
，则上式中的l
能够写为
z
z
l
12
2rξ2
r2
z
ξ
r代表闭环传达函数的复数极点的实部与零点实部之比。
所以式子⑨能够写为：
xc（t）1
22rξ2
r2
eξwntsin（1ξ2wntθφ）（t
0）⑩
ξ1ξ2
由此计算获得了典型的拥有零点的二阶系统的单位阶跃响应的公式，即为公式⑩。
3拥有零点的二阶系统的动向性能指标
由公式⑩获得了拥有零点的二阶系统的单位阶跃响应的公式：
xc（t）1
ξ2
2rξ2
r2
eξwntsin（1ξ2wntθφ）t0
ξ1ξ2
5
3.1上涨时间tr
在动向过程中，系统的输出第一次达到稳态值的时间称为上涨时间
tr。
依据定义
在公式⑩中令t
tr时，xc（t）
1，得
2
2rξ2
r2
eξwntsin（1
ξ2wnt
θφ）=0
ξ1ξ2
但在t
时期，即没有达到最后稳固从前，
22rξ2
r
2
ξwnt
，所以使
ξ1ξ2
e
>0
上式为零的原由是sin（1
2
）
，所以议论
sin（
1
2
θφ
ξwntθφ
=0
ξwnt
）=0
所出现的状况。
由sin（1
ξ2wntθφ）=0得：
1ξ2wnt
θφ=π
πθφ
○11
tr
1ξ2wn
3.2最大超调量%
最大超调量发生在第一周期中ttm时辰，即导数为0的时辰。
dxc（t）
dt
0
ttm
得
tan（1
ξ2wntθφ）
1
ξ2
ξ
所以
1ξ2wntθφarctan1ξ2
nπnπθ
ξ
即
1ξ2wntmφnπ
因为第一次达到最大值经过时间，所以n取值为
1，当n=1
时，
1ξ2wntm
φπ
t
m
○
πφ
12
1ξ2wn
6
因为
XcmXc
100%且在单位阶跃输入下，稳固值Xc1
%
Xc
所以得
（
-）
12
%e100%
3.3调理时间ts
调理时间ts是xc（t）与稳态值xc（）之间的偏差达到同意的范围而不再高出的
动向过程时间。
在动向过程中的偏差为
xxc（）xc（t）
e
ξwnt
sin（1ξ2wntθφ）
1ξ2
当x0.05或0.02时采纳近似计算法获得：
eξwnt
0.05（或0.02）
1ξ2
由此求得调理时间为：
ts（5%）
3
，
0<ξ<0.9
ξwn
ts（2%）
4
0<ξ<0.9
ξwn
3.4振荡次数μ
振荡次数是指在调理时间ts内，xc（t）颠簸的次数。
依据这必定义可得振荡次数为：
μtstf
此中tf
2π
为阻尼振荡的周期时间。
1ξ2wn
4闭环零点的不一样对二阶系统动向指标的影响
4.1对上涨时间tr的影响
上涨时间tr
7
πθφ
tr
1ξ2wn
由上式能够看出上涨时间tr遇到wn，ξ，φ，θ的影响，当wn，ξ，θ必定
的时候，上涨时间tr只与φ相关。
-p1
-p1
-p1
-zφ
θ
φ
θ
φθ
-z
-z
z
z
z
图2
零点实部小于极点实部
图3
零点实部等于极点实部
图4
零点实部大于极点实部
由图2，图3，图4能够看出跟着z值的减小，零点愈来愈凑近虚轴，
φ值渐渐
增大，由tr
πθφ可得tr渐渐减小。
1ξ2wn
4.2对最大超调量%影响
超调量
（-
）
%e
1
2
100%
由式
m
3.1-1，图3.1-2，
○
的值随φ的值增大而减小，联合图
12
子能够看出，t
图2，图3，图4获得结论：
z值渐渐减小，φ值渐渐增大，tm渐渐减小，超
调量渐渐增大。
4.3对换节时间ts的影响
调理时间
ts（5%）
3
0<ξ<0.9
，
ξwn
ts（2%）
4
0<ξ<0.9
ξwn
由上边的两个式子能够看出，拥有零点的二阶系统的调理时间只与
ξ和wn有
8
关，与z的大小没关。
4.4振荡次数μ
μtstf
此中tf
2π
为阻尼振荡的周期时间。
1ξ2wn
由上述公式能够看出，振荡次数μ只与与阻尼ξ和振荡角频次wn相关，所以
振荡次数不受零点的地点影响，即与零点的大小没关。
5闭环零点的不一样对二阶系统暂态响应的影响
拥有零点的二阶系统传达函数：
wn2（sz）
s22ξwnswn2
下边是在极点地点不一样（θ值不一样）的状况下跟着闭环零点不停向负无量挪动过程中对系统的暂停态响应的图形
当0.5，wn5，系统无零点的二阶系统的阶跃响应曲线图
9
当0.5，wn5，z2的二阶系统的阶跃响应曲线图
当0.5，wn5，z4的二阶系统的阶跃响应曲线图
10
当0.5，wn5，z10的二阶系统的阶跃响应曲线图
当1.25，wn2，系统无零点的二阶系统的阶跃响应曲线图
11
当1.25，wn2，z2的二阶系统的阶跃响应曲线图
12
当1.25，wn2，z4的二阶系统的阶跃响应曲线图
13
当1.25，wn2，z10的二阶系统的阶跃响应曲线图
14
6总结
经过上述剖析能够看出，有拥有零点的二阶系统的响应指标与无零点的系统有很大的差异。
无零点的上涨时间ts只与阻尼ξ和振荡角频次wn相关，而在拥有零点的二阶系统中，上涨时间还与零点的实部相关，反应到图像上，即零点离虚轴越近上涨
ξw
时间越小。
由rn可知，r值越大，振荡性就越强。
最大超调量σ%也与零点的地点相关，z值越小，φ值越大，影响tm的值变小。
3
调理时间ts（5%）只与阻尼ξ和振荡角频次wn相关，所以不受零点地点
ξwn
的影响，相同，振荡次数也不受其影响。
参照文件：
【1】王建辉，顾树生．自动控制原理．[M].北京.清华大学第一版社．2007
【2】吴麒,自动控制原理.[M]北京:
清华大学第一版社．1990
【3】张元林,积分变换．[M]北京:
高等教育第一版社．2003
【4】高国燊，余文杰等．自动控制原理．[M].华南理工大学第一版社．2006
【5】胡寿松．自动控制原理．[M].科学第一版社．2007
15
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